2021赣州高二下学期期末考试数学（理）试卷含答案

赣州市2020~2021学年度第二学期期末考试

高二数学试卷（理科）    2021年6月

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1.在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.变量x，y的线性相关系数为，变量m，n的线性相关系数为，下列说法错误的是（    ）

A.若，则说明变量x，y之间线性相关性强

B.若，则说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强

C.若，则说明变量x，y之间的相关性为正相关

D.若，则说明变量x，y之间线性不相关

3.若随机变量X的分布列如右表，则的值为（    ）

A. B.1 C. D.

4.设的导函数为，则的值为（    ）

A.0 B. C. D.

5.一个袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，若不放回地依次任取两个球，设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，则在A发生的条件下B发生的概率为（    ）

A. B. C. D.

6.已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的复角，.若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的复角为；其中正确的命题个数为（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（    ）

A.24 B.48 C.60 D.72

8.记，则的值为（    ）

A.-1 B.0 C.1 D.128

9.对任意，不等式恒成立，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C. D.

10.函数的图象如图所示，其导函数为，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

11.某次抽奖活动准备了8张奖券，其中标有“奖20元”、“奖10元”、“奖5元”各一张，另外五张均为“祝你好运”，现有4人来抽奖，每人抽两张，则不同的中奖情况有（    ）

A.24 B.60 C.420 D.2520

12.若不等式恰好有两个整数解，则实数a的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13.设随机变量，且，则________________.

14.定积分的值是______________.

15.多项式的展开式中，含的系数为____________.

16.已知.

①当时，恒成立；

②当时，的零点为且；

③当时，是的极值点；

④若有三个零点，则实数k的取值范围为.

以上结论正确的序号是_____________.

三、解答题（本题共6道小题，17题10分，18~22题每小题12分，共70分）

17.（本小题满分10分）

曲线的参数方程是：（s为参数），曲线的参数方程是：（t为参数）.

（1）求曲线，的普通方程；

（2）求曲线与曲线所围成的封闭图形的面积.

18.（本小题满分12分）

根据教育部部署，我省从2021年秋季入学的高一新生起推进高考综合改革，将迎来“3+1+2”新高考模式.“3”指的是：语文、数学、英语，统一必考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选考一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选考两科.某中学为了在暑期招聘老师时考虑各学科所需老师数，模拟调查了高一年级2000名学生的选科意向，随机抽取了100人统计选考科目人数如下表：

（1）补全上表，根据表中数据计算判断是否有90%的把握认为“选考物理与性别有关”？

（2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查本校高一年级的3名学生.设这3人中选考物理的人数为X，求X的分布列及数学期望；

附：，其中

19.（本小题满分12分）

在极坐标系中，O为极点，直线l的方程为，直线l与极轴交于点E，且动点F满足，若点F的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）A，B是曲线C上的两动点，且，求的最小值.

20.（本小题满分12分）

已知函数

（1）函数在点处的切线方程是，求a，b的值；

（2）当时，在区间上的最小值为，求的解析式.

21.（本小题满分12分）

“赣南脐橙名扬天下”，每年脐橙成熟的季节，各大销售商，线上线下发挥各自优势销售脐橙.某电商统计了2016至2020这五年的销售情况（将2016年视为第一年），如下表：

（1）若每年的销量y与年份x具有较强线性相关性，求y关于x的线性回归方程，并估计今年（2021年）能销售出多少千斤？

（2）根据目前树上的挂果形势，今年的脐橙又将是一个丰收年，该电商为了吸引新老客户，打算在脐橙开采时实施一元一份的“秒杀”抢购活动（每人只有一次机会），每份n斤（，）.现有甲、乙两人将参加这一抢购活动，若他们抢购成功的概率分为p，q，当，记两人共抢购到X斤，求X的数学期望，当取最大值时n的值.

附：回归方程，其中

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求证：.

赣州市2020~2021学年度第二学期期末考试

高二数学（理科）参考答案

一、选择题

二、填空题

13.0.34； 14.； 15.； 16.②④.

三、解答题

17.（1）曲线的普通方程是：.…………………………………………2分

曲线中两式相加得：.……………………………………………………4分

因为，所以.

故曲线的普通方程是：.…………………………………………5分

由，解得两曲线的交点分别是：，.…………………………6分

所以围成的面积是：.…………………………10分

18.（1）补全表格如图.……………………………………2分

根据联表中数据得：

.………………………………4分

因为，所以没有90%的把握认为“选考物理与性别有关”.…………………………5分

（2）由题意可知，学生选考物理得概率为.………………………………………………6分

X的所有可能取值为0，1，2，3.…………………………………………………………7分

，，

，.………………11分

所以X的分布列为

.……………………………………12分

（直接判断出X服从，的二项分布，对应给分）

19.（1）令得，所以点E的直角坐标为.……………………………………2分

∵，所以点F的轨迹曲线C为以E为圆心，半径为1的圆.………………………………3分

其极坐标方程为.………………………………………………………………5分

（2）设，，

，.…………………………………………7分

.………………………………………………10分

所以当时，有最小值，最小值为-2.……………………………………12分

20.（1）∵，∴.……………………………1分

因为函数在点处切线方程是，

则有.……………………………………………………3分

解得.………………………………………………………………5分

（2）由上可知，时，∴

令得，，.………………………………………………6分

①当即时，有在上恒成立，即在上是增函数，

∴.…………………………………………………………7分

②当即时，有在上，在上，即在上是减函数，在上是增函数，

∴.……………………………………………………9分

③当即时，有在上恒成立，即在上是增函数，

∴.………………………………………………………………11分

所以在区间上的最小值的解析式为.………………12分

21.（1），.…………………………1分

.……………………………………4分

.………………………………………………………………………………5分

所以y关于x的线性回归方程为，当时，

估计今年（2021年）能销售出11.75千斤.……………………………………………………6分

（2）X的所有可能取值为0，n，.…………………………………………………………7分

，，

∴

.………………………………………………9分

令，，得

令得.……………………………………………………10分

所以有在大于零，在小于零，即有在上是增函数，在是减函数，所以的最大值为.

即当时，的最大值为.…………………………………………12分

22.（1）函数定义域为，.………………………………1分

令，所以.

①当时，恒成立，在上单调递减.………………………………2分

②当时，方程有两根：，，

（1）若，，，在上单调递增，

在单调递减.…………………………………………3分

（2）若，，在，上单调递减，

在上单调递增.………………………………4分

综上所述：①当时，在上单调递减；

②当时，在，上单调递减，

在上单调递增；

③当时，在上单调递增，在上单调递减.………………5分

（2）由已知得需证，因为，，所以

当时，不等式显然成立.………………………………………………6分

当时，，所以只需证，

即证.……………………………………………………7分

令，则，

令，则.…………………………………………………………8分

所以，，，，

在为增函数，在为减函数.所以.………………9分

令，，

则时，，时，，

所以在上为减函数，在上为增函数，.………………11分

所以，但两边取等的条件不相等，即证得，

所以.…………………………………………………………12分