2021江西师大附中高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

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江西师大附中高二年级数学（理）期末试卷 命题人： 审题人： 2021．1一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数，则的值为( ) BA． B. C. D. 2．设函数 QUOTE 在上可导，则 QUOTE 等于( ) CA.  QUOTE B.  QUOTE C.  QUOTE D.以上都不对3．将点的极坐标化成直角坐标是(　　)BA. B. C. D.4．命题 则是(　　)DA. B. C. D. 5．已知为偶函数且，则等于(　　)CA．0 B．4 C．8 D．166．双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）CA． B． C． D．7．.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数( )AA．2 B．3 C． D．8．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数的最小值为（ ）AA. B. C. D.9．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(   )D A. QUOTE  B. QUOTE  C. QUOTE  D. QUOTE  10．函数的定义域为，，对任意，都有，则不等式的解集为（ ）CA．或 B．C． D．或11．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆,令我们印象深刻. 如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为: 圆 圆 ，圆 若过原点的直线 与圆、均相切，则截圆所得的弦长为（ ）AA. B. C. D.解析：法一：设过点的直线. 由直线与圆 、圆 均相切，得 解得 (1). 设点到直线的距离为 则 (2). 又圆的半径直线截圆所得弦长 结合(1)(2)两式，解得 法二：设直线与圆 、圆分别切于点 、B；与圆的另一个交点为.取中点，连结、、、.由 易知 所以直线截圆所得弦长12．若函数有零点，则实数的取值范围是（ ）AA. B. C. D. 解析： 则 易知为单调递增函数，且 所以当时，递减; 当时, , 递增，所以 所以，故选 A. （或者分别研究这两个函数它们的单调性都是在时取得最小值）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13．已知函数，则 QUOTE ________. 214．用数学归纳法证明等式： QUOTE ，验证 QUOTE 时，等式左边________ ． 答案为：.15．已知拋物线的焦点为为坐标原点，的准线为且与轴相 交于点，为上的一点，直线与直线相交于点，若, 则的标准方程为 . 解析：因为 所以则即 解得 所以 联立直线与抛物线方程 解得 所以 则抛物线标准方程为16．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是 ． 解析：由题可知: 所以函数在单调递减，在单调递增，故函数的极大值为 .所以在开区间内的最大值一定是又, 所以 得实数的取值范围是三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． (本小题满分10分)在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点．（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；（2）求的长．【解析】（1）曲线的普通方程为 ……………………5分（2）方法一：直线的参数方程为（为参数），……………………6分将此参数方程代入并化简得 ……………………8分设点所对应的参数分别为，则，则 ……………………10分方法二：，所以，.18．（本小题满分12分）已知圆，问是否存在斜率为1的直线，使以被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由。【解析】假设存在直线，设其方程为.解方程组 得 ① ……………………5分设 则 . ……………………6分又. ……………………10分解得 或 把和分别代入①式，验证判别式均大于0 .故存在或所以存在满足条件的直线方程或……………………12分19．（本小题满分12分）已知函数．若函数的图象在处的切线方程为，求的值；若函数在上是增函数，求实数的最大值．【解析】(1)由题意，得则又函数的图象在处的切线方程为y则 解得又则 即 解得3. ……………………6分（2）由题意可知，，即 恒成立, 恒成立. 设 则 令 解得 …………8分令 解得令 解得在上单调递减，在上单调递增， ……………………10分在In3处取得极小值, 的最大值为 ……………………12分20．（本小题满分12分） 如图，点是曲线上的动点(点在轴左侧)，以点为顶点作等腰梯形，使点在此曲线上，点为曲线与轴的交点.设，等腰梯形的面积为.（1）写出函数的解析式，并写出函数的定义域；（2）当为何值时，等腰梯形的面积最大？求出最大面积. 【解析】(1) 根据题意，设点D ,由是曲线上的动点得: 由于椭圆与轴交点为 故所以 即: ……………………6分(2) 方法一：结合 对两边平方得:令则所以当时, 当时所以在区间单调递增，在上单调递减， 所以在处取到最大值, .所以当时取到最大值, . ……………………12分（方法二：，所以在区间单调递增，在上单调递减.）21．（本小题满分12分）已知动圆过点 且动圆内切于定圆: 记动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若、是曲线上两点，点 满足 求直线的方程.【解析】 (1)由已知可得 则点的轨迹是以 、 为焦点, 长轴长为的椭圆，则 因此曲线的方程是 ……………5分(2)因为, 则点是的重心, 易得直线的斜率存在, 设直线的方程为, ……………………7分联立 消 得: 且 ①② ……………………10分由①②解得 则直线的方程为 即 ……………………12分（或者求的中点坐标(-1,1)用点差法求的斜率为，由点斜式求直线的方程.）22．（本小题满分12分）已知函数为常数 函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像与直线相切，求实数的值；（3）当时,在上有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1),令可得,当时,,所以在(0,1)上单调递减，在上单调递增。当 时， 或所以在上单调递减，在 上单调递增;当时,所以在上单调递增。当时,或所以在 上单调递减，在上单调递增. ……………………3分(2)设切点为则(1),由 可得 (2),联立(1)（2）可得, 设，，在单调递减，在单调递增，又，所以，所以. ……………………7分（3）由已知可得令由题意知在上有两个不同零点.则， ……………………8分（a的范围求出得1分）函数的两个极值点为（），则和是在 上的两个不同零点.所以， ……………………9分（的范围求出得1分） 令则所以在上单调递增，…………………10分所以有其中,即又恒成立,所以故实数的取值范围为. ……………………12分