第06讲 代数式及求值（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新七年级数学核心考点讲与练（人教版）

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第06讲 代数式及求值（核心考点讲与练）
【知识梳理】
一．代数式
代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
　　例如：ax+2b，﹣13，2b23，a+2等．
注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．
②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．
二．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
三．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
【核心考点精讲】
一．代数式（共5小题）
1．（2022•邯郸一模）“m与n差的3倍”用代数式可以表示成（　　）
A．3m﹣n B．m﹣3n C．3（n﹣m） D．3（m﹣n）
【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m与n的差，再表示出差的3倍即可．
【解答】解：“m与n差的3倍”用代数式可以表示为：3（m﹣n）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”、“平方”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
2．（2021秋•息县期末）下列各组式子中，不一定相等的一组是（　　）
A．a+b与b+a B．3a与a+a+a
C．3（a+b）与3a+b D．a3与a•a•a
【分析】根据加法的交换律、合并同类项、去括号法则以及乘方的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、a+b与b+a相等，故本选项不符合题意；
B、∵a+a+a＝3a，
∴3a与a+a+a相等，
故本选项不符合题意；
C、∵3（a+b）＝3a+3b，
∴3（a+b）与3a+b不相等，
故本选项符合题意；
D、∵a•a•a＝a3，
∴a3与a•a•a相等，
故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了代数式，解题关键是根据所给算式采取适合的方法逐个分析解答．
3．（2021秋•西城区校级期中）下列各式中：（1）；（2）（a﹣b）÷c；（3）n﹣3人；（4）2•5；（5）2.5a2b．其中符合代数式书写要求的个数为 　1　．
【分析】根据代数式的书写要求解答即可．
【解答】解：（1）3a应写成a，当带分数与字母相乘时，应将带分数变成假分数．
（2）（a﹣b）÷c应写成，当表示商数关系时，应按分数的形式来书写，将“除号”变成“分数线”．
（3）应写成（n﹣3）人．
（4）2•5应写成2×5．当两数相乘时应用“×”号．
（5）2.5a2b符合书写要求．
因此（1）、（2）、（3）、（4）都不符合代数式书写要求，只有（5）符合代数式书写要求．
故答案为：1．
【点评】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
4．（2021秋•郏县期中）代数式：像2a+3b，3x，2x2﹣5x﹣1，4+3（x﹣1）等式子，都是用运算符号把 　数　和 　表示数的字母　连接而成的，像这样的式子叫作代数式．
【分析】根据代数式的定义解答即可．
【解答】解：像2a+3b，3x，2x2﹣5x﹣1，4+3（x﹣1）等式子，都是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫作代数式．
故答案为：数，表示数的字母．
【点评】本题考查了代数式的定义：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
5．（2021秋•潍坊期末）下列各式符合代数式书写规范的是（　　）
A．18×b B． C． D．m÷2n
【分析】根据代数式的书写规则，数字与字母之间的乘号应省略，分数不能为带分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．
【解答】解：A、正确书写格式为：18b，故此选项不符合题意；
B、正确书写格式为：x，故此选项不符合题意；
C、是正确的书写格式，故此选项符合题意；
D、正确书写格式为：，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了代数式的书写规则，能够根据代数式书写的标准规则对各项进行分析，得出答案是解题的关键．
二．列代数式（共6小题）
6．（2022春•黑山县期中）m的2倍与n的差大于0表示为：　2m﹣n＞0　．
【分析】先求倍数，然后求差，最后大于0即可．
【解答】解：m的2倍为2m，与n的差为：2m﹣n，
∴m的2倍与n的差大于0表示为：2m﹣n＞0．
故答案为：2m﹣n＞0．
【点评】本题考查列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”、“小于”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
7．（2022•西湖区一模）边长分别为a和b（其中a＞b）的两个正方形按如图摆放，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B．2ab C．a2+ab D．
【分析】利用两个正方形面积减去空白三角形的面积，即可得到部分阴影部分的面积，再加上阴影三角形的面积，即可求解．
【解答】解：∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，
∴阴影部分的面积为：a2+b2﹣a（a+b）+b（a﹣b）＝，
故选：A．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是将阴影部分看作两部分进行求解．
8．（2022春•定州市月考）如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路．余下部分作为耕地．
（1）当修筑的道路宽为2米时，耕地面积为 　540　平方米，
（2）当修筑的道路宽为a（0＜a≤5）时，道路所占的面积为 　﹣a2+52a　（用含a的式子表示）平方米．

【分析】（1）将阴影部分平移之后，余下部分为长方形，根据长和宽求解即可；
（2）将阴影部分平移之后，将两部分阴影面积相加，减去重叠部分的面积即可．
【解答】解：如图，将阴影部分平移后，

（1）当修筑的道路宽为2米时，
耕地的长为（32﹣2）米，耕地的宽为（20﹣2）米，
∴耕地的面积为：
（32﹣2）×（20﹣2）
＝540（平方米），
故答案为：540；
（2）当修筑的道路宽为a（0＜a≤5）时，
道路所占面积为：
32a+20a﹣a2
＝﹣a2+52a，
故答案为：﹣a2+52a．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是利用平移将耕地部分组成一个长方形．
9．（2022春•舞钢市期中）某种细菌每分钟由1个裂变成3个，经过4分钟后，由1个裂变成34个，再经过x分钟，1个这样的细菌可以裂变成（　　）
A．3（x+4）个 B．（x+4）3个 C．（34+3）x个 D．3x+4个
【分析】根据每分钟由1个裂变成3个，数量是之前的3倍求解可得．
【解答】解：根据题意可知，再经过x分钟，1个这样的细菌可以裂变成3x+4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查列代数式，有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的定义和运算法则．
10．（2022春•鼓楼区期中）如图，在长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若小长方形的长为x，宽为y，阴影部分面积为S，则S＝　x2﹣xy+6y2　（用含有x，y的代数式表示）．

【分析】用含有x，y的代数式表示长方形ABCD的面积，再减去六个小长方形的面积即可求解．
【解答】解：AD＝3y+x，AB＝x+2y，
长方形ABCD的面积＝（3y+x）（x+2y）＝x2+5xy+6y2，
∴S＝x2+5xy+6y2﹣6xy＝x2﹣xy+6y2．
故答案为：x2﹣xy+6y2．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是用含有x，y的代数式表示出AB和CD．
11．（2022春•埇桥区校级期中）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示）留下一个“T”型的图形（阴影部分）．
（1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简．
（2）若y＝3x＝30米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．

【分析】（1）用大长方形面积减去两个小正方形面积；
（2）先求出x，然后将x、y的值代入即可．
【解答】解：（1）（2x+y）（x+2y）﹣2y2
＝2x2+4xy+xy+2y2﹣2y2
＝2x2+5xy；
（2）∵y＝3x＝30米，
∴x＝10（米），
2x2+5xy
＝2×100+5×10×30
＝1700（平方米），
20×1700＝34000（元）．
答：铺完这块草坪一共要34000元．
【点评】本题考查了列代数式，整式的混合运算，正确运用运算法则计算是解题的关键．
三．代数式求值（共3小题）
12．（2022•三门峡一模）已知a2﹣3a＝2，则﹣3a2+9a﹣1的值为（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣3 D．3
【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵a2﹣3a＝2，
∴原式＝﹣3（a2﹣3a）﹣1
＝﹣3×2﹣1
＝﹣6﹣1
＝﹣7．
故选：A．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
13．（2022春•海淀区校级期中）有一个数值转换机，原理如图：
当输入的x＝81时，输出的y＝　　．

【分析】计算x的算术平方根，判断是不是无理数，如果不是就返回计算，如果是就输出答案．
【解答】解：＝9，不是无理数，返回，
＝3，不是无理数，返回，
是无理数，输出，
故答案为：．
【点评】本题考查了代数式求值，掌握x的算术平方根是不是无理数，如果不是就返回计算，如果是就输出答案是解题的关键．
14．（2022春•金东区期中）如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草．
（1）小路的面积为 　ab　平方米；种花的面积为 　πa2　平方米（结果保留π）．
（2）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3）．

【分析】（1）利用长方形和扇形面积公式求解；
（2）由于种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积，由此利用已知数据求出种草的面积．
【解答】解：（1）依题意得小路的面积为ab平方米，种花的面积为πa2平方米；
故答案为：ab，πa2．
（2）依题意该长方形场地上种草的面积3a×b﹣×4πa2﹣ab＝（2ab﹣πa2）平方米，
当a＝2，b＝10时，2ab﹣πa2＝2×2×10﹣3×2×2＝28平方米．
答：该长方形场地上种草的面积为28平方米．
【点评】本题主要考查了利用长方形和扇形的面积公式列出代数式，然后利用代数式求值解决实际问题．
【过关检测】
一．选择题（共7小题）
1．（2022•陵水县一模）当x＝2时，代数式3x﹣1的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．4
【分析】直接把已知数据代入得出答案．
【解答】解：当x＝2时，则3x﹣1＝2×3﹣1＝5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确代入数据是解题关键．
2．（2021秋•开封期末）下列各式中，符合整式书写规则的是（　　）
A．x×5 B． C． D．x﹣1÷y
【分析】根据这是书写规范进行辨别即可．
【解答】解：x×5应写成5x，
∴选项A不符合题意；
∵xy符合整式的规范书写规则，
∴选项B符合题意；
∵2xy应该写成xy，
∴选项C不符合题意；
∵x﹣1÷y应该写成x﹣，
∴选项D不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了整式正确书写规则的能力，关键是能准确理解以上知识，并能正确书写整式．
3．（2022•高青县一模）一种商品，先降价10%后又提价10%，现在商品的价格（　　）
A．比原价格高 B．比原价格低
C．与原价格相等 D．无法比较
【分析】设商品原价为a元，然后根据题意列式计算求得商品现价，从而进行比较．
【解答】解：设商品原价为a元，则商品现价为：
（1﹣10%）×（1+10%）a＝0.9×1.1a＝0.99a（元），
∵a＞0，
∴0.99a＜a，
∴商品现价比原价格低，
故选：B．
【点评】本题考查有理数混合运算的应用，理解“原价×（1±提价或降价的百分率）＝现价”是解题关键．
4．（2022•来安县一模）某种商品每件的标价是a元，按标价的八折销售时，仍可获利15%，则这种商品每件的进价为（　　）
A．0.8×（1﹣15%）a元 B．元
C．元 D．0.8×（1+15%）a元
【分析】根据标价＝进价×（1+利润率）即可求解．
【解答】解：由题意得：进价＝（元），
故选：C．
【点评】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
5．（2022•海曙区一模）如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（　　）

A．ad+bc B．ad+c（b﹣d）
C．ab﹣cd D．c（b﹣d）+d（a﹣c）
【分析】把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．
【解答】解：S阶梯型＝bc+（a﹣c）d＝bc，
S阶梯型＝ab﹣（a﹣c）（b﹣d），
S阶梯型＝ad+c（b﹣d），
故选：B．
【点评】本题主要考查列代数式，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．
6．（2022•九龙坡区模拟）按如图所示的运算程序，能使输出y值为3的是（　　）

A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【分析】根据所示的运算程序，求出当x＝1、2、3、4时，输出的y值分别为多少，判断出能使输出y值为3的是哪个即可．
【解答】解：当x＝1时，1是奇数，y＝＝6；
当x＝2时，2是偶数，y＝+1＝2；
当x＝3时，3是奇数，y＝＝2；
当x＝4时，4是偶数，y＝+1＝3；
∴按如图所示的运算程序，能使输出y值为3的是x＝4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，以及有理数的混合运算，解答此题的关键是要明确所给的运算程序．
7．（2021秋•翠屏区期末）下列代数式符合书写要求的是（　　）
A． B．ab÷c2 C． D．mn•
【分析】根据代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．对各选项依次进行判断即可解答．
【解答】解：A、带分数要写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意；
B、应写成分数的形式，原书写错误，故此选项不符合题意；
C、符合书写要求，故此选项符合题意；
D、系数应写在字母的前面，原书写错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了代数式的书写要求．正确掌握代数式的书写要求是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
8．（2022•东莞市一模）已知2n2﹣5n＝1，则﹣7﹣4n2+10n的值是 　﹣9　．
【分析】将2n2﹣5n＝1代入原式即可求出答案．
【解答】解：当2n2﹣5n＝1时，
原式＝﹣7﹣2（2n2﹣5n）
＝﹣7﹣2×1
＝﹣7﹣2
＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用对原式进行整理，本题属于基础题型．
9．（2021秋•萧山区期中）下列各式：ab•2，m÷2n，，，其中符合代数式书写规范的有 　2　个．
【分析】根据代数式的书写规则即可得出答案．
【解答】解：ab•2应该写成2ab，
m÷2n应该写成，
，书写规范，
综上所述，符合代数式书写规范的有2个，
故答案为：2．
【点评】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式．
10．（2022春•定远县期中）如图所示是小明设计的一个图案，则该图案的面积用含x的代数式表示为 　28x2﹣7x﹣2　．

【分析】把所求的图案分成三部分进行求解即可．
【解答】解：如图，

该图案的面积为：2x•[5x﹣（3x﹣2）]+（2x+6x+1）（3x﹣2）+2x
＝2x（2x+2）+（8x+1）（3x﹣2）+2x
＝4x2+4x+24x2﹣16x+3x﹣2+2x
＝28x2﹣7x﹣2，
故答案为：28x2﹣7x﹣2．
【点评】本题主要考查列代数式，解答的关键是把所求的图案分成几个规则的图形．
11．（2022•农安县校级模拟）现有1元纸币a张，5元纸币b张，共 　（a+5b）　元（用含a、b的代数式表示）．
【分析】用1元纸币总钱数加上5元纸币总钱数即可．
【解答】解：有1元纸币a张共a元，5元纸币b张共5b元，
所以一共（a+5b）元．
故答案为：（a+5b）．
【点评】本题考查了列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
12．（2022•椒江区二模）若x2﹣2x﹣3＝0，则3x2﹣6x﹣6＝　3　．
【分析】根据题意得：x2﹣2x＝3，整体代入求值即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴原式＝3（x2﹣2x）﹣6
＝3×3﹣6
＝9﹣6
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了代数式求值，考查了整体思想，把x2﹣2x＝3整体代入求值是解题的关键．
13．（2022春•江岸区校级月考）在一块长am，宽102m的草坪上修筑宽2m的小路（如图），则种草地面的面积是 　100（a﹣2）　m2．

【分析】根据平移，可把路移到右边和上面，再根据矩形的面积公式，可得答案．
【解答】解：把路移到右边和上面，
∵路的宽度是2m，
∴种草地面可以看成长是（a﹣2）m，宽是（102﹣2）m，
故绿地的面积是（a﹣2）×（102﹣2）＝100（a﹣2）m2．
故答案为：100（a﹣2）．
【点评】本题考查了列代数式，生活中的平移现象，利用矩形的面积公式得出是解题关键．
三．解答题（共3小题）
14．（2021秋•社旗县期中）（1）请你用生活解释6+（﹣2）＝4的意义．
（2）代数式（1+8%）x可以表示什么？
【分析】（1）根据收入为正，消费为负解释即可；
（2）根据代数式的意义解释即可．
【解答】解：（1）小明12月份赚了6千元，消费2千元，还剩下4千元（答案不唯一）；
（2）11月份的电费为x元，12月份的电费比11月份增长8%，（1+8%）x表示12月份的电费（答案不唯一）．
【点评】本题考查了有理数的加法，代数式的意义，掌握常见的代数式的意义是解题的关键．
15．（2022春•蜀山区校级期中）如图，有一长方形空地，其长为a、宽为b，现要在该空地种植两条防风带（图中阴影部分），防风带一边长为c，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形．
（1）用代数式表示剩余空地的面积；
（2）若a＝2b、c＝2，且防风带的面积为116，求原长方形空地的长和宽．

【分析】（1）依据平移变换即可得到剩余耕地面积等于边长分别为a﹣c和b﹣c的长方形的面积．
（2）若a＝2b、c＝2，且防风带的面积为116，列出等式求出原长方形空地的长和宽．
【解答】（1）由平移可得，剩余耕地面积为（a﹣c）（b﹣c）＝ab﹣ac﹣bc+c2，
答：剩余空地的面积为ab﹣ac﹣bc+c2．
（2）若a＝2b、c＝2，且防风带的面积为116，
则：（2b×2）+（b﹣2）×2＝116，解得b＝20，
∴a＝40；
答：原长方形空地的长为40，宽为20．
【点评】本题考查列代数式和代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式计算法则．
16．（2022•易县一模）一批书分给x名同学，如果每人分3本，那么余8本：如果每人分5本，那么最后一人分不到3本．
（1）书有 　（3x+8）　本（用含x的式子表示）．
（2）按后一种分法，最后一人分到 　（﹣2x+13）　本（用含x的式子表示）．
（3）有多少本书？有多少人？
【分析】（1）根据一批书分给x名同学，如果每人分3本，那么余8本即可得出答案；
（2）用书的总数减去（x﹣1）和人领的书即可得出答案；
（3）根据最后一人分不到3本列不等式组，根据x为整数求出x的值，从而得到书的总数．
【解答】解：（1）∵一批书分给x名同学，如果每人分3本，那么余8本，
∴书有（3x+8）本，
故答案为：（3x+8）；
（2）3x+8﹣5（x﹣1）
＝3x+8﹣5x+5
＝﹣2x+13，
故答案为：（﹣2x+13）；
（3）根据题意得：0＜﹣2x+13＜3，
解得：5＜x＜6.5，
∵x为整数，
∴x＝6，
∴3x+8
＝3×6+8
＝18+8
＝26，
答：有26本书，有6个人．
【点评】本题考查了列代数式，根据最后一人分不到3本列出不等式组是解题的关键．