第03讲 有理数的乘除法（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新七年级数学核心考点讲与练（人教版）

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第03讲 有理数的乘除法（核心考点讲与练）
【知识梳理】
一．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
二．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
三．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
【核心考点精讲】
一．倒数（共3小题）
1．（2022•沈河区一模）下面四个数中，﹣2022的倒数是（　　）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是．
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（2021秋•驿城区校级期末）一个数的相反数是﹣0.7，则这个数的倒数是 　　．
【分析】先求出这个数，再求这个数的倒数即可．
【解答】解：﹣0.7的相反数是0.7，
0.7的倒数是．
故答案为：．
【点评】本题考查了相反数和倒数，求小数的倒数是先把小数化成分数，然后分子分母颠倒位置即可，这是解题的关键．
3．（2021秋•冷水滩区期末）﹣1的绝对值是 　1　，相反数是 　1　，倒数是 　　．
【分析】依据绝对值、相反数、倒数的定义解答即可．
【解答】解：﹣1，
﹣1的绝对值是1；相反数是1，倒数是．
故答案为：1，1，．
【点评】本题主要考查的是倒数、相反数、绝对值的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
二．有理数的乘法（共8小题）
4．（2022•张家口一模）计算：﹣1×8＝（　　）
A．﹣8 B．8 C．7 D．﹣9
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：﹣1×8
＝﹣（1×8）
＝﹣8，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．
5．（2022•绥化一模）下面说法中正确的是（　　）
A．两数的绝对值相等，则这两个数一定相等
B．两数之差为负，则两数均为负
C．两数之和为正，则两数均为正
D．两数之积为正则这两数同号
【分析】根据绝对值定义，有理数加法，减法和乘法法则逐项判断即可．
【解答】解：A、两数的绝对值相等，则这两个数不一定相等，故A错误，不符合题意；
B、两数之差为负，则两数不一定为负，故B错误，不符合题意；
C、两数之和为正，则两数不一定为正，故C错误，不符合题意；
D、两数之积为正，则这两数同号，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查有理数及相关运算法则，解题的关键是掌握绝对值定义，有理数加法，减法和乘法法则．
6．（2022•陕西一模）计算﹣2×（﹣4）的结果是（　　）
A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：﹣2×（﹣4）
＝+（2×4）
＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与0相乘都得0是解题的关键．
7．（2021秋•甘井子区期末）已知x＝﹣4，y＝﹣2，则|xy|的值等于 　8　．
【分析】将x与y的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：当x＝﹣4，y＝﹣2时，
原式＝|﹣4×（﹣2）|
＝|8|
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查有理数的乘法，解题的关键是熟练运用有理数的乘法，本题属于基础题型．
8．（2021秋•顺义区期末）计算 ．
【分析】采用乘法分配律计算即可，注意同号得正，异号得负．
【解答】解：原式＝﹣24242412﹣16+20＝﹣8．
【点评】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是注意符号的处理．
9．（2021秋•南昌期中）计算：已知|x|＝5，|y|＝3．若xy＜0，求|x﹣y|的值．
【分析】根据绝对值的定义得出x，y的值，根据xy＜0，知道x，y异号，分两种情况分别计算即可．
【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3，
∴x＝±5，y＝±3，
∵xy＜0，
∴x，y异号，
∴当x＝5，y＝﹣3时，|x﹣y|＝8；
当x＝﹣5，y＝3时，|x﹣y|＝8；
综上所述，|x﹣y|的值为8．
【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘法，有理数的减法，考查了分类讨论的数学思想，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．
10．（2021秋•永年区期中）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：
小明，原式；
小军：原式；
（1）根据上面的解法对你的启发，请你再写一种解法；
（2）用你认为最合适的方法计算：．
【分析】（1）把49写成（50），然后利用乘法分配律进行计算即可得解；
（2）把﹣19写成（﹣20），然后利用乘法分配律进行计算即可得解．
【解答】解：（1）49（﹣5）
＝（50）×（﹣5）
＝50×（﹣5）（﹣5）
＝﹣250
＝﹣249；
（2）﹣19（﹣8）
＝（﹣20）×（﹣8）
＝﹣20×（﹣8）（﹣8）
＝160
＝159．
【点评】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键．
11．（2022春•阜宁县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）．
（1）计算：M（5）+M（6）；
（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；
（3）试说明：2×M（n）与M（n+1）互为相反数．
【分析】（1）根据新定义的法则及有理数乘法的法则进行计算即可；
（2）根据新定义的法则进行计算，即可得出结果；
（3）根据新定义的法则分别计算2×M（n）与M（n+1），即可得出结果．
【解答】解：（1）M （5）+M （6）
＝（﹣2）5+（﹣2）6
＝﹣32+64
＝32；
（2）2M（2021）+M （2022）
＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022
＝2×（﹣22021）+22022
＝﹣22022+22022
＝0；
（3）2M（ n ）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，
M （ n+1）＝（﹣2）n+1，
∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1 互为相反数，
∴2M（ n ）与 M （ n+1）互为相反数．
【点评】本题考查了有理数的乘法及相反数，掌握新定义的含义及有理数的乘法法则是解决问题的关键．
三．有理数的除法（共4小题）
12．（2022春•普陀区校级期中）计算：（）×（）÷（﹣3）．
【分析】先确定结果的符合，将除化为乘，再约分即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序及相关法则．
13．（2021春•虹口区校级期中）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则进行计算得出答案．
【解答】解：原式


＝1．
【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．（2021秋•鞍山期末）两个不相等的有理数a，b，若a+b＝0，则的值是 　﹣1　．
【分析】根据a+b＝0，得到a＝﹣b，代入代数式求值即可得出答案．
【解答】解：∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了有理数的除法，根据a+b＝0，得到a＝﹣b是解题的关键．
15．（2021秋•平罗县期末）计算：．
【分析】把除法转化为乘法，根据乘法分配律计算即可．
【解答】解：

363636
＝﹣27﹣6+15
＝﹣18．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，把除法转化为乘法是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2021·全国七年级专题练习）计算8÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣16 C．﹣6 D．10
【答案】A
【分析】根据有理数的除法法则进行计算即可．
【详解】解：原式＝﹣8÷2＝﹣4．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的除法法则．熟记法则是解题的关键．
2．（2021·广东七年级期末）计算：﹣×□＝1，则□内应填的数是（　　）
A．﹣7 B．﹣1 C． D．7
【答案】A
【分析】根据有理数的乘法法则计算可求解．
【详解】解：∵，
∴□内应填的数是﹣7，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
3．（2021·陕西西安·交大附中分校七年级期末）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据倒数的定义进行答题．
【详解】解：的倒数是，
故选：A．
【点睛】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
4．（2021·内蒙古七年级期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完，一天之后“一尺之捶”剩尺，两天之后剩尺，那么3天之后，这个“一尺之棰”还剩（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】C
【分析】两天之后尺，那么只要计算第三天截去的一半还剩多少即可求解．
【详解】解：两天之后剩尺，那么第三天截去了×＝尺，所以三天后，这个“一尺之棰”还剩－＝尺．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的运算，读懂题意并掌握有理数的运算法则是解题的关键．
5．（2021·全国七年级课前预习）下列把除法转换为乘法的过程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
6．（2021·湖南七年级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则的值等于（ ）
A．2021 B．2020 C．2021！ D．2020！
【答案】A
【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，进而可得出结论．
【详解】解：1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，

故选A．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（2020·浙江杭州·）若，且，则（ ）
A． B．a，b异号且其中负数的绝对值较大
C． D．a，b异号且其中正数的绝对值较大
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法法则可得a、b为异号，再根据有理数的加法法则可得正数的绝对值较大，进而得到答案．
【详解】解：∵ab＜0，
∴a、b为异号，
∵a+b＞0，
∴正数的绝对值较大，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘法和加法法则，关键是掌握计算法则．
8．（2021·全国七年级专题练习）下列运算过程中，有错误的是（　　）
A．（3﹣4）×2＝3﹣4×2
B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）
C．9×16＝（10﹣）×16＝160﹣
D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]
【答案】A
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式＝3×2﹣×2＝6﹣9＝﹣3，符合题意；
B、原式＝﹣（4×125×7），不符合题意；
C、原式＝（10﹣）×16＝160﹣，不符合题意；
D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
9．（2021·全国七年级专题练习）计算：3×（）＝____．
【答案】
【分析】利用有理数的乘法法则直接计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
10．（2021·全国七年级课前预习）计算：
6×（－9）＝ __________
（－6）×0＝____________
×＝________
（）×＝_________
（－2）×××＝_____
（－6）×5××＝_______
【答案】－54 0 10
11．（2020·浙江杭州·七年级期末）在数，1，，5，中任两个数相乘除，其中最大的积是_________，最小的商是_______．
【答案】15 -5
【分析】根据有理数的乘除法法则分别计算，再比较可得结果．
【详解】解：最大的积是：-5×（-3）=15，
最小的商是：-5÷1=-5，
故答案为：15，-5．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法和比较大小，关键是掌握有理数的运算法则．
12．（2021·浙江七年级期中）在的“□”内分别填入“”，“”，“”三个运算符号（每个符号只能填1次），最大的运算结果________．
【答案】
【分析】由运算的结果最大先确定乘号的位置，再确定加号与减号的位置即可.
【详解】解：由运算的结果最大可得：的前面与后面都不能用“”，
从而可确定第一个的后面是“”，第二个的前面是“”，

故答案为：
【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，乘法运算，有理数的大小比较，掌握有理数的加减运算与乘法运算的运算法则是解题的关键.
13．（2021·全国七年级专题练习）计算：−2÷×2＝______．
【答案】
【分析】根据有理数乘除的性质计算，即可得到答案．
【详解】−2÷×2＝
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算的性质，从而完成求解．
14．（2021·陕西七年级期中）已知a、b都不为0，则的值为___________．
【答案】，3
【分析】分4种情况讨论：①a、b都是正数；②a、b都是负数；③a是正数，b是负数；④a是负数，b是正数
【详解】①a、b都是正数，；
②a、b都是负数，；
③a是正数，b是负数，；
④a是负数，b是正数，；
综上所述，的值为，3
故答案为：，3
【点睛】本题考查了有理数的绝对值定义和有理数除法法则，解答关键是根据题意对a、b符号进行分类讨论．
15．（2018·山东七年级期中）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则2*3=__________．
【答案】4
【分析】把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
故答案为：4
【点睛】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．（2021·全国七年级课前预习）根据“除法是乘法的逆运算”探究：
正数除以负数：8÷（－4）＝8×（______）
负数除以负数：（－8）÷（－4）＝（－8）×（______）
零除以负数：0÷（－4）＝0×（______）
可知，除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的_____
【答案】 倒数
17．（2021·全国七年级课前预习）探究：规定一楼地面的高度为0，从一楼向上的方向为正，从一楼向下的方向为负．
小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15 cm．如果小亮从1楼向上走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？
15×1 ＝____
15×2 ＝____
15×3 ＝____
小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15cm．如果小亮从1楼向下走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？
（－15）×1 ＝____
（－15）×2 ＝____
（－15）×3 ＝_____
观察上面的式子，根据你对有理数乘法的思考，填空：
正数乘以正数积为_____数
负数乘以正数积为______数
正数乘以负数积为______数
负数乘以负数积为______数
乘积的绝对值等于各乘数绝对值的_______
【答案】15 30 45 －15 －30 －45 正 负 负 正 积
三、解答题
18．（2021·全国七年级专题练习）计算：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）；
（2）（﹣2.4）；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×0.01；
（4）915．
【答案】（1）40.5；（2）；（3）-84；（4）
【详解】【分析】（1）原式变形后，约分即可得到结果；
（2）原式变形后，约分即可得到结果；
（3）原式利用乘法法则计算即可得到结果；
（4）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．
【详解】解：（1）原式8＝40.5；
（2）原式；
（3）原式＝﹣（14×6）×（100×0.01）＝﹣84；
（4）原式＝（10）×15＝150149．
19．（2021·全国七年级专题练习）计算下列各题：
（1）； （2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【详解】（1）原式

（2）原式

（3）原式
．

20．（2021·全国七年级课前预习）计算：
（1） （2）
【答案】（1）1；（2）
【详解】


21．（2021·江苏南京一中七年级月考）定义运算“”为：，求，．
【答案】3，35．
【分析】原式利用题中的新定义法则计算即可得到结果．
【详解】解：，
，
．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义法则、熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（2021·福建七年级期末）已知一些两位数相乘的算式：
62×11，18×22，34×11，15×55，63×39，54×11．
（1）观察上述算式，选出具有共同特征的3个算式，并说出它们的共同特征；
（2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、 直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；
（3）在已知算式中，其他算式可以用上面的规律进行简便运算吗？如何能，写出你的变形过程并直接写出最后结果．
【答案】（1）一个两位数与11相乘；（2）两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积；（3）18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825．
【分析】（1）确定因数为11的算式；
（2）计算并发现规律；
（3）根据发现的规律找算式即可．
【详解】（1）解：62×11，34×11，54×11，
这3个算式共同特征是：一个两位数与11相乘．
（2）解：62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594，
规律：两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积．
或表述成：某个两位数与11相乘，得数的百位上的数是这个两位数的十位数，得数的十位上的数是这个两位数各位数的和，个位上的数是这个两位数个位上的数．
（3）解：18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825，
【点睛】本题是计算类的规律题，观察所给的算式，找出算式之间数与数的关系，还有与结果的关系，得出结论，在根据规律解决问题．
23．（2021·西安市铁一中学七年级月考）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“*”，满足x*y＝xy﹣5
例如：1*2＝1×2﹣5＝﹣3
（1）请仿照上面的例题计算下列各题：
①2*（﹣3）；
②（4*5）*（﹣）；
（2）任意选择两个有理数，分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果；多次重复以上过程，你发现：□*〇　 　〇*□（用“＞”“＜”或“＝”填空）．
【答案】（1）①﹣11；②﹣；（2）＝
【分析】（1）①利用题中的新定义计算即可求出值；②利用题中的新定义计算即可求出值，先计算括号里面的再计算；
（2）设□和〇的数字分别为有理数a，b，利用新定义，分别计算□*〇与〇*□，再比较大小即可．
【详解】解：（1）①根据题中的新定义得：
原式＝2×（﹣3）﹣5
＝﹣6﹣5
＝﹣11；
②根据题中的新定义得：
原式＝（4×5﹣5）*（﹣）
＝15*（﹣）
＝15×（﹣）﹣5
＝﹣﹣5
＝﹣；
（2）设□和〇的数字分别为有理数a，b，
根据题意得：a*b＝ab﹣5，b*a＝ab﹣5，即a*b＝b*a，
则□*〇＝〇*□．
故答案为：＝．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（2021·重庆七年级期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果，那么我们把这个四位正整数叫做顺次数，例如四位正整数1369：因为，所以1369叫做顺次数．
（1）四位正整数中，最大的“顺次数”是__________，最小的“顺次数”是__________；
（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是2、7，且这个四位正整数是“顺次数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．
【答案】（1）9999，1111；（2）1267或2247
【分析】（1）根据“顺次数”的定义，直接写出答案即可；
（2）分两种情况：当时，当时，分别写出所有的顺次数，再验证能否被7整除，即可得到答案．
【详解】（1）根据“顺次数”的定义，四位正整数中，最大的“顺次数”是9999，最小的“顺次数”是1111，
故答案是：9999，1111；
(2）当时，可能是1227、1237、1247、1257、1267、1277，其中，只有1267是7的倍数；
当时，可能是2227、2237、2247、2257、2267、2277，其中，只有2247是7的倍数；
∴这个四位数是1267或2247．
【点睛】本题主要考查新定义问题，理解“顺次数”的定义，是解题的关键．