2021-2022学年北京市东城区汇文中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市东城区汇文中学七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是

A.  B.  C.  D.

2. 下面四个数中，无理数是

A.  B.  C.  D.

3. 下列结论正确的是

A. 的立方根是 B. 没有立方根
C. 立方根等于本身的数是 D.

4. 下列命题中，假命题是

A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 如果，，那么

5. 若不等式组的解集为，则以下数轴表示中正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 若，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，直线，相交于点，平分，，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是

A.  B.  C.  D.

9. 如图是北京地铁部分线路图若崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，则复兴门站的坐标为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，如果将图中任意一条线段沿方格线的水平或竖直方向平移格称为“步”，那么通过平移要使图中的条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要

1. 步
   B. 步
   C. 步
   D. 步

二．填空题（本题共8小题，共16分）

11. 写出一个比大且比小的无理数：          ．
12. 如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．
     

13. 的平方根是______．
14. 把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果那么”的形式是：______．
15. 的与的和不小于，用不等式表示为______．
16. 在平面直角坐标系中，若点到轴的距离是，则的值是______ ．
17. 算法统宗是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：有名和尚分个馒头，正好分完．如果大和尚一人分个，小和尚人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚人，小和尚人，可列方程组为          ．
18. 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，规定以下两种变化：
    如；
    ．
    根据以上规定：
    ______；
    ______．

三．选择题（本题共10小题，共74分）

19. 计算：．
20. 解不等式：．
21. 解方程组：．
22. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

23. 完成下面的证明
    已知：如图，，，．
    求证：．
    证明：，
    ______
    
    ．
    即．
    __________________
    ．
    ，
    ______
    
    ．
24. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，将三角形平移，使点与点重合，得到三角形，其中点，的对应点分别为，．
    画出三角形；
    写出点，的坐标；
    三角形的面积为______．

25. 关于的方程的解是负数，求字母的值．
26. 如图，，平分，交于点，于点，交于点．
    依题意补全图形；
    设，
    ______用含的式子表示；
    猜想与的数量关系，并证明．

27. “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：

求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．

28. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们把，两点横坐标差的绝值与它们纵坐标差的绝对值的和叫做，两点间的折线距离，记作．
    即：如果，那么
    已知，，求出的值；
    已知，，求的取值范围；
    已知，动点，若，两点间的折线距离与，两点间的折线距离的差的绝对值是，直接写出的值并画出所有符合条件的点组成的图形．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、在第一象限，故本选项错误；
B、在第四象限，故本选项错误；
C、在第二象限，故本选项错误；
D、在第三象限，故本选项正确．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

2.【答案】

【解析】解：、是无理数，故本选项符合题意；
B、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、．是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽得到的数；以及像，等有这样规律的数．
 

3.【答案】

【解析】解：、的立方根是，故本选项错误；
B、的立方根是，故本选项错误；
C、立方根等于它本身的数是、、，故本选项错误；
D、，，故本选项正确；
故选D．
根据立方根的定义逐项判断即可．
本题考查了立方根的应用，注意：一个正数的立方根是正数、的立方根是，一个负数的立方根是负数．
 

4.【答案】

【解析】解：、对顶角相等，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本选项说法是真命题，不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、如果，，那么，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选：．
根据对顶角相等、垂直的定义、平行线的性质、不等式的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握对顶角的性质、垂直的判断、平行线的性质、不等式的性质是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来 向右画； ， 向左画 ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“ ”，“ ”要用实心圆点表示；“ ”，“ ”要用空心圆点表示．把已知解集表示出数轴上即可．
【解答】

解：若不等式组的解集为 ，则以下数轴表示中正确的是 ，
故选 B

 

6.【答案】

【解析】解：、不等式的两边都加上，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
B、不等式的两边都减去，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、不等式的两边都乘，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、不等式的两边都除以，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质解答即可．
此题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；
不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
 

7.【答案】

【解析】解：平分，，
，
与是邻补角，
，
，
，
．
故选：．
根据角平分线的定义得出，由邻补角定义求出，再根据垂直定义即可求出的度数．
本题考查了垂线、邻补角、角平分线的定义；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：如图，，
．
故选：．
延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：由题意可建立如图所示平面直角坐标系，

则复兴门站的坐标为．
故选：．
根据北海北站和崇文门站的坐标建立如图所示平面直角坐标系，据此可得答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由图形知，中间的线段向左平移个单位，上边的直线向右平移个单位，最下边的直线向上平移个单位，只有这样才能使构造的三角形平移的次数最少，其它平移方法都多于步．
通过平移使图中的条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要步．

故选：．
根据图示和平移的性质，注意正确的计数，查清方格的个数，从而求出步数．
本题考查图形的平移变换，注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行，另外使平移后成为三角形．
 

11.【答案】答案不唯一

【解析】

【分析】
此题主要考查了实数的大小比较，无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
根据无理数的定义和实数大小比较方法解答即可．
【解答】
解：写出一个比 大且比 小的无理数： ， 答案不唯一
故答案为 答案不唯一 ．   

12.【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短

【解析】

【分析】
本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【解答】
解：根据连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
沿 开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．   

13.【答案】

【解析】解：
，即的平方根是．
故答案为：．
直接根据平方根的定义即可解决问题．
此题主要考查了平方根的概念，要求学生能够正确求出一个正数的平方根．
 

14.【答案】如果两直线平行，那么同位角相等

【解析】解：“两直线平行，同位角相等”的条件是：“两直线平行”，结论为：“同位角相等”，
写成“如果，那么”的形式为：“如果两直线平行，那么同位角相等”，
故答案为：如果两直线平行，那么同位角相等．
一个命题都能写成“如果那么”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
本题考查了一个命题写成“如果那么”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，难度较易．
 

15.【答案】

【解析】解：的与的和不小于，用不等式表示为．
故答案为：．
和不小于，即最后算的和应大于或等于．
此题考查了由实际问题抽象一元一次不等式的知识，属于基础题，理解“不小于”的含义是解答本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：因为点到轴的距离是，
所以，
解得．
故答案为：．
根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值可得到的值．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：设大和尚有人，则小和尚有人，根据题意得，
故答案为：．
设大和尚有人，则小和尚有人，根据“有个和尚”和大和尚一人分个，小和尚人分一个刚好分完个馒头”列出方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组．
 

18.【答案】 

【解析】解：

故答案为：
且
，，
故答案为：
根据所给规定进行进行计算即可；
根据所给规定进行进行计算即可．
此题主要考查了点的坐标，关键是正确理解题目意思．
 

19.【答案】解：原式
．

【解析】直接利用二次根式的性质、立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为得．

【解析】先去括号，再移项合并同类项，然后系数化为即可，再用数轴表示解集．
本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
 

21.【答案】解：
由得，，
把代入得，，
解得，
把代入得，，
所以，方程组的解是．

【解析】本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
先把第二个方程整理得到，然后利用代入消元法求解即可．
 

22.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

23.【答案】两直线平行，同位角相等      同位角相等，两直线平行  垂直的定义

【解析】证明：，
两直线平行，同位角相等，
，
，
即，
同位角相等，两直线平行，
，
，
垂直的定义，
，
．
故答案为：两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行；垂直的定义．
由平行线的性质得到，可推出，即可判定，由平行线的性质得到，即可得解．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”及“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图所示，即为所求．

由图知，，；
三角形的面积为，
故答案为：．

【解析】将点、、分别向右平移个单位长度、向上平移个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
根据所作图形可得答案；
利用割补法：用矩形的面积减去三个三角形的面积求解即可．
本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及割补法求三角形的面积．
 

25.【答案】解：解方程得，
方程的解是负数，
，
．

【解析】解方程得出，根据方程的解为负数得出关于的不等式，解之可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

26.【答案】

【解析】如图：

，
，
平分，
，
故答案为；
，
证明：，
．
．
平分，
．
．
过画，即可；
根据余角的定义和角平分线的定义可得；
根据角平分线定义可得，再根据可得，，可得．
此题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等．
 

27.【答案】解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元．

【解析】设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

28.【答案】解：由题意可知：；
，
，
；
，，
由题意可知：，
当时，
等式的左边，此时不满足题意；
当时，
等式的左边，
即，
解得：或，
当时，
等式的左边，不符合题意，
综上所述，点或，
如图所示．

【解析】根据题意给出的公式即可求出答案．
根据题意给出的公式列出不等式后即可求出的取值范围．
根据题意给出的等量关系列出等式即可求出点的坐标．
本题考查绝对值的性质，解题的关键是正确理解题意给出的公式，本题属于中等题型．