2022年浙教版数学八下期末复习阶梯训练：特殊平行四边形（优生集训）

这是一份2022年浙教版数学八下期末复习阶梯训练：特殊平行四边形（优生集训），共44页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。


2022年浙教版数学八下期末复习阶梯训练：特殊平行四边形（优生集训）
一、综合题
1．如图1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 AOCD 的顶点 A ， C 分别在 y 轴和 x 轴上.直线 y=−33x+6 经过点 A ，与 a 轴交于点 E .已知 ∠D=90° ， ∠OAD=120° ， EC=43 . CF 平分 ∠OCD ，交 AD 于点 F ，点 P 是线段 CF 上一动点.

（1）求 AE 的长和 ∠AEO 的度数；
（2）若点 G 是平面内任意一点，当以 E 、 C 、 P 、 G 为顶点的四边形为菱形时，求点 G 的坐标；
（3）如图2，在线段 AE 上有一动点 Q ，点 P 与点 Q 分别同时从点 C 和点 A 出发，已知当点 P 从点 C 匀速运动至点 F 时，点 Q 恰好从点 A 匀速运动至点 E ，连结 PQ 、 PD 、 QF .问：在运动过程中，是否存在这样的点 P 和点 Q ，使得 ΔPFQ 的面积与 ΔPDQ 的面积相等.若存在，请直接写出相应的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由.
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=−x+2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B, 与直线 l2 交于点 C(m,3) ，直线 l2 与 x 轴交于点 D(−2,0) .

（1）求直线 l2 的解析式；
（2）如图2，点 P 在线段 CD 上，连接 AP,3SΔAPD=2SΔACD ，过点 P 的直线交 x 轴负半轴于点 M, 交 y 轴正半轴于点 N ，请问： 13MQ+12NO 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
（3）∴13MO+12NO=13×(43+2k)+12×(43k+2)=14+6k+183k+4=14k+6k+18k+123=k4k+6+38k+12=2k+38k+12=14当点 E 在直线 l1 上运动时，平面内是否存在一点 F ，使得以点 C、D、E、F 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.
3．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与AD交于F.AE与BF交于G.

（1）延长DC到H，使CH＝DE，连接BH.求证：四边形ABHE是矩形.
（2）在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝AD.
4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，经过点B的直线l2：y＝kx+b交x轴于点C，且l2与l1关于y轴对称.

（1）求直线l2的函数表达式；
（2）点D，E分别是线段AB，AC上的点，将线段DE绕点D逆时针α度后得到线段DF.
①如图2，当点D的坐标为（﹣2，m），α＝45°，且点F恰好落在线段BC上时，求线段AE的长；
②如图3，当点D的坐标为（﹣1，n），α＝90°，且点E恰好和原点O重合时，在直线y＝3﹣ 13 上是否存在一点G，使得∠DGF＝∠DGO？若存在，直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
5．已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.

（1）如图1，求证：FB＝ED；
（2）点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GC＝GF.
①如图2，求∠GFA的度数；
②如图3，过点G作MH // AE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H.若AB＝3，BF＝1，求MH的长.
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是矩形，已知点B坐标为（10，8），M，N分别是OC，AB的中点．

（1）求证：四边形BCMN是矩形；
（2）点F是直线BC上一点，连接OF交直线MN于点E，当OF＝OA时，求直线AF的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线l经过点A，且解析式为y＝kx+b（k≠0），若直线l与线段EM相交，求k的取值范围．
7．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．

（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．
8．阅读短文，解决问题
定义：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”﹒例如：如图1，四边形 AEFD 为菱形， ∠BAC 与 ∠DAE 重合，点 F 在 BC 上，则称菱形 AEFD 为 ΔABC 的“亲密菱形”．

如图2，在 RtΔABC 中， ∠B=90° ， AF 平分 ∠BAC ，交 BC 于点 F ，过点 F 作 FD//AC ， EF//AB ．
（1）求证：四边形 AEFD 为 ΔABC 的“亲密菱形”；
（2）若 AC=12 ， FC=26 ，求四边形 AEFD 的周长；
（3）如图3， M 、 N 分别是 DF 、 AC 的中点，连接 MN ．若 MN=3 ，求 AD2+CF2 的值．
9．如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE= 1n AD（n为大于2的整数），连接BE，BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG。

（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB=4，n=3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当 S1S2=1730 时，求n的值（直接写出结果，不必写出解答过程）。
10．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=- 12 +x+6分别与x轴、轴交于点B、C，且与直线l2：y= 12 x交于A。

（1）分别求出A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为l2，求直线CD的函数表达式；
（3）在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
11．如图1，直线 y=(−n−1)x+2n+2(n>0) 与y轴交于点 An(xn,yn) ，与x轴交于点 Bn(xn',yn') .

（1）按题意填表：
n
1
2
3
4
5
An
xn
0
0
0
0
0
yn
4
　
　
　
　
Bn
xn'
2
　
　
　
　
yn'
0
0
0
0
0
（2）由（1）中表格中的数据可以发现：
①对于 An(xn,yn) ，x− = 　 　， y−= 　 　， Sx2=　 　， Sy2=　 　；
②直线 y=(−n−1)x+2n+2(n>0) 一定经过的点的坐标为　 　；
（3）如图2，正方形OPQR是△ OAB 的内接正方形，设正方形的边长为m，
求证：1＜m＜2.
12．在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上（点E、F、G不与正方形的顶点重合），BE，FG相交于点O，且FG⊥BE.

（1）猜想BE与FG的数量关系并证明；
（2）证明：DG=AF+AE；
（3）若AE= 3 ，FG=4，请直接写出点C到直线BE的距离；
13．如图，已知 △ABC ，直线 PQ 垂直平分 AC ，与边 AB 交于点 E ，连接 CE ，过点 C 作 CF//BA 交 PQ 于点 F ，连接 AF ．

（1）求证： △AED≌△CFD ；
（2）求证：四边形 AECF 是菱形；
（3）若 ED=6 ， AE=10 ，则菱形 AECF 的面积是多少？
14．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC、CE于点F、G

（1）求证：CE=DF；
（2）若AB=3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为　 　，CG+DG的长为　 　
15．如图，在矩形ABCD中，AB =2，E、F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形CEFD沿EF折叠，C、D的对应点分别为点G、H，EG交边AD于点M，延长HF交边BC于点N

（1）求证：四边形EMFN是菱形；
（2）若FN⊥BC，直接写出四边形EMFN的一条对角线的长；
（3）若EF=MF，求EN的长
16．如图①，四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上一点，连接AE、CE

（1）求证：AE=CE；
（2）如图②，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，点O为BP的中点，连接OE。若∠PBC=30°，求∠POE的度数；
（3）在(2)的条件下，若OE= 2 ，求CE的长。
17．如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间为t秒（t>0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD可能成为菱形吗？如果可能，求出相应的t值；如果不可能，说明理由．
18．如图：在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，连接BE、CE，若BE平分∠ABC，EC平分∠DCB，点G是BC边的中点．

（1）求∠BEC的度数．
（2）若AE=5，CE=6，求△BEC的周长．
（3）判断四边形ABGE的形状并证明．
19．如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．

（1）求证： △ABE≌△CDF ；
（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.
20．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．

（1）如图1，若∠BAE＝30°，AE＝3，求菱形ABCD的周长及面积；
（2）如图2，作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD；
（3）如图3，设AE与对角线BD相交于点G，若CE＝4，BE＝8，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值．
21．如图，四边形ABCD为菱形，P为对角线BD上一点，连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC．

（1）求证：∠AEB＝∠PCD；
（2）当PA＝PD且PC⊥BE时，求∠ABC的度数；
（3）若∠ABC＝90°，△PCE是等腰三角形．直接写出∠PEC的度数　 　．
22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．

（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
23．如图所示的是与菱形有关的三个图形．

（1）如图1，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连接AE、EF、AF．若AC＝3，则CE+CF的长为　 　．
（2）如图2，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连接AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连接EF．若BC＝3，求CE+CF的长．
（3）在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是边BC延长线上的点，连接AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD的延长线于点F，连接EF．当BC＝3，EF⊥BC时，在图3中，将图形补充完整并求△AEF的周长．
24．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，过点 C 的直线MN//AB，D为 AB 边上一点，过点 D 作 DE⊥BC，垂足为点 F，交直线 MN 于点 E，连接 CD，BE．

（1）求证：CE=AD；
（2）当D为AB中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，当 ∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形?请说明你的理由．
25．请认真完成下列数学活动

典例再现：如图1，▱ABCD的对线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．
（1）尝试发现
按图1填空：
①若▱ABCD的周长是24，OE＝2，则四边形ABFE的周长为　 　；
②若▱ABCD的面积是20，则四边形ABFE的面积是　 　．
（2）应用发现
如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AC＝43，AD＝6，求四边形ABFE的面积．
（3）应用拓展
如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，若∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝25，则△ABC的面积是　 　．
26．某数学兴趣小组在课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在 △ABC 中， ∠BAC=90° ， AB=AC ，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B ， C 重合），以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF ，连接 CF ．

（1）观察猜想
如图1，当点 D 在线段 BC 上时，
①BC 与 CF 的位置关系为： ▲ ；
②BC ， DC ， CF 之间的数量关系为： ▲ ；
请将结论直接写在横线上，并给予证明；
（2）数学思考
如图2，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出符合题意结论再给予证明．

答案解析部分
1．【答案】（1）解：令 x=0 ， y=6 ；令 y=0 ， x=63 .
∴OA=6 ， OE=63 .
由勾股定理得， AE=12 .
∵AO=12AE ， ∠AOE=90° ，
∴∠AEO=30°
（2）解：可以考虑 ΔPEC 为等腰三角形.
过点 G 作 GK⊥x 轴于点 K

情形①（如图1） PE=PC 时，点 G 在直线 AE 上.
∵ 四边形 PEGC 是菱形， PG 与 EC 互相垂直平分，设 PG 与 EC 交点为 K
∴OK=OE+12EC=63+23=83 ，
∵∠PCK=30° ，
CK=12EC=23
设 PC=2a （ a>0 ），则 PK=a
根据勾股定理： PC2=PK2+CK2
(2a)2=a2+(23)2
解得： a=2
∴PC=2
∴KG=12PG=12PC=2 .
∴G(83,−2) .
情形②（如图2） PE=CE 时，此时点 G 在 CD 上.
∵∠PEC=120° ，
∴∠PEK=60° ， ∠EPK=30°
∴EK=12PE=23 ，
PK=PE2−KE2=3EK=6 .
∴P(43−6) .
∴G(83,6) .

情形③（如图3） PC=CE 时，此时点 G 在 AE 上且 GE=43 .

∵∠GEK=30°
∴GK=12GE=23 ，
KE=GE2−GK2=3GK=6 .
∴G(63−6,23) .
（3）解：过点 P 作 PN⊥y 轴于点 N ，延长 PE 交 y 轴于点 M ，

∵OE=63,EC=43 ，
∴OM=12MC
设 OM=x （ x>0 ），则 MC=2x
∵MC2=OM2+OC2
∴(2x)2=x2+(103)2
解得： x=10
∴MC=20
∵∠D=90°,∠DCF=30°
∴∠AFM=∠DFC=60°
又 ∵∠DAM=60°
∴△MAF 是等边三角形
∴AM=AF=FM=OM−OA=10−6=4
∴FC=20−4=16
∵AE=2OA=12
∵∠OAD=120°,∠D=90°
∴∠DCO=60° ， ∠DAM=60°
∵CF 平分 ∠OCD
∴∠MCO=30°
∵∠AEO=30°
∴AE//MC
∵PN//y 轴
∴∠MPN=∠MCO=30°
由题意， AEVQ=FCVP ，则 12VQ=16VP ，
设 Q 的运动速度为 3v ，则 P 的运动速度为 4v ，运动时间为 t
则 AP=3vt,CP=4vt
①当 PQ//AD 时，如图所示，
S△PFQ=S△PDQ
∵MC//AE
∴ 四边形 AQPF 是平行四边形
∴FP=AQ
即 FC−4vt=3vt
vt=167
MP=MC−PC=20−4vt
∵∠MPN=30°,PN⊥y 轴
MN=12MP=10−2vt
ON=OM−MN=2vt=327
PN=PM2−MN2=3MN=3(10−2vt)=3837
∴P(3837,327)
②当 F,D 到 PQ 的距离相等时， S△PFQ=S△PDQ
如图，分别过 P,Q 作 PR⊥AD,QS⊥AD ，过 E 作 ET⊥MC 于点 T

∵∠MCO=30°
∴ET=12EC=43×12=23
由（1）知 ∠AEO=30°
∴∠OAE=60°
∵∠DAE=180°−∠MAD−∠OAE=60°
∴∠AQS=30°
∴AS=12AQ
∴SQ=AQ2+AS2=3AS2=3AS=32AQ
同理 ∠RPF=30° ， PR=32PF
∵∠DCF=30°,∠D=90°
∴FD=12FC=12×16=8
当 F,D 到 PQ 的距离相等时， S△PFQ=S△PDQ
∴S△PFQ=S△PDQ=12(S△FQD−S△PDF)
∵S△PQF=12PF⋅ET=3PF=3(16−4vt)
12(S△FQD−S△PDF)
=12(12FD⋅SQ−12FD⋅PR)
=14FD×32(AQ−PF)
=3(3vt−16+4vt)
=3(7vt−16)
∴3(16−4vt)=3(7vt−16)
解得： vt=3211
MP=MC−PC=20−4vt
∵∠MPN=30°,PN⊥y 轴
MN=12MP=10−2vt
ON=OM−MN=2vt=6411
PN=PM2−MN2=3MN=3(10−2vt)=46113
∴P(46113,6411)
综合①②可知点 P 的坐标为： P(3837,327) 或者 P(46113,6411)
∴ 存在两个这样的点 P ， P1(3873,327) 和 P2(46113,6411)
2．【答案】（1）解：由题可将点 C(m,3) 代入直线 l1:y=−x+2 ，
得： −m+2=3 ，
解得： m=−1 ，
∴C(−1,3) ；
设直线 l2 的解析式为： y=kx+b ，将点 C(−1,3) ， D(−2,0) 代入得，
−k+b=3−2k+b=0 ，解得， k=3b=6 ，
∴ 直线 l2 的解析式为： y=3x+6
（2）解： 13MO+12NO 是定值.理由如下：
∵3SΔAPD=2SΔACD ，
∴SΔAPDSΔACD=23 ，
∵SΔAPD 和 SΔACD 是等高不等底的三角形，
∴SΔAPDSΔACD=PDCD=23 ，
∵C(−1,3) ， D(−2,0) ，
∴P 的横坐标为： −2−23×(−1)=−43 ，纵坐标为： 3×23=2 ，即 P(−43 ， 2) ；
设 MN 的函数解析式为： y=kx+b ，将点 P 代入得， 2=−43k+b ，
∴b=2+43k ，则 y=kx+43k+2 ，
∴ON=43k+2 ，
令 y=kx+43k+2=0 ，得 x=−43−2k ，则 OM=43+2k ，
（3）解：存在.

如图，设 l1 上的点 E(m,n) ，则 n=−m+2 ，
∴ 点 E 的坐标为 (m,−m+2) ，
∵ 四边形 CDEF 为菱形，
∴DC=DE ，
∵C(−1,3) ， D(−2,0) ，
∴CD=(−1−(−2)2+(3−0)2=1+9=10 ， DE=(m+2)2+(−m+2)2=2m2+8 ，
∴2m2+8=10 ，解得： m=±1 ，
∵ 点 E 在第一象限，
∴m=1 ，则 n=−m+2=1 ，
∴ 点 E 的坐标为 (1,1) .
3．【答案】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB // CD，AB＝CD，
∵CH＝DE，
∴CH＋CE＝DE＋CE，
即EH＝CD，
∴四边形ABHE是平行四边形，
∵AE⊥CD，
∴∠AEH＝90°，
∴平行四边形ABHE是矩形.
（2）证明：连接BK，如图2，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD // BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF，
∵AE＝AF，
∴AE＝AB，
由（1）得：四边形ABHE是矩形，
∴∠ABH＝∠BHE＝90°，AE＝BH，
∴∠BHK＝90°，AB＝BH，
∵AB // CD，AE⊥CD，
∴AE⊥AB，
∴∠BAG＝90°，
在△BHK和△BAG中，
HK=AG∠BHK=∠BAG=90°BH=BA ，
∴△BHK≌△BAG（SAS），
∴∠HBK＝∠ABG，
∴∠HBK＋∠HBF＝∠ABG＋∠HBF＝∠ABH＝90°，
∵∠CBK＋∠CBF＝90°，∠K＋∠HBK＝90°，
∴∠CBK＝∠K，
∴CK＝CB，
∴CK＝AD.
4．【答案】（1）解： ∵y=x+6 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，
∴A(−6,0) ， B(0,6) ，
∵l2 与 l1 关于 y 轴对称，
∴C(6,0) ，
设直线 l2 为： y=kx+b ，将 B 、 C 坐标代入得
6k+b=0b=6 ，解得 k=−1b=6 ，
∴ 直线 l2 的函数解析式为： y=−x+6 ；
（2）解：①将点 D(−2,m) 代入 y=x+6 中，得：
−2+6=m ，解得： m=4 ，
∴D(−2,4) ，
如图2，作 ∠DHF=45° ，

∵OA=OB=6 ，
∴∠EAD=∠EDF=∠DHF=45° ，
∴∠AED+∠ADE=135° ， ∠ADE+∠HDF=135° ，
∴∠AED=∠HDF ，
在 ΔADE 和 ΔHFD 中，
∠EAD=∠DHF∠AED=∠HDFDE=FD ，
∴ΔADE≅ΔHFD(AAS) ，
∴HF=AD=(−6+2)2+42=42 ， AE=HD ，
又 ∵OA=OB=OC=6 ， ∠AOB=∠COB=90° ，
∴ΔABO 和 ΔCOB 均为等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠CBO=45° ，
∴∠ABC=90° ，
∴∠HBF=180°−∠ABC=90° ，
∴ΔBFH 是等腰直角三角形，
∴BH=22FH=4 ，
∵AB=62 ，
∴AE=HD=AB+BH−AD=62+4−42=4+22 .
②将 D(−1,n) 代入 y=x+6 中，得： n=−1+6=5 ，
∴D(−1,5) ，则 DM=5 ， EM=1 ，
过 D 作 DM⊥x 轴于 M ，作 FN⊥DM 于 N ，如图3，

∵DE=DF ， ∠EDF=∠DME=∠FND=90° ，
∴∠MDE+∠FDN=90° ， ∠MDE+∠DEM=90° ，
∴∠FDN=∠DEM ，
在 ΔFDN 和 ΔDEM 中，
∠FND=∠DME∠FDN=∠DEMDF= ED ，
∴ΔFDN≅ΔDEM(AAS) ，
∴FN=DM=5 ， DN=EM=1 ，
∴BF=FN−BN=5−1=4 ， EB=MN=DM=DN=5+1=6 ，
∴F(4,6) ，
当点 F 、 O 、 G1 三点共线时，如图3， ∠DG1O=∠DG1F ，
设直线 EF 的解析式为 y=mx ，
∵F(4,6) ，
∴4m=6 ，
解得： m=32 ，
∴ 直线 EF 的解析式为 y=32x ，
当 32x=3−13 时， x=2−2133 ，
∴G1(2−2133 ， 3−13) ；
如图4，连接DG2，FG2，
过点D作DM⊥OG2，DN⊥FG2，
∵∠DG2F=∠DG2O ，
∴DM=DN，又DO=DF，
∴Rt△DG2M≅Rt△DFN （HL），
∴∠ODM=∠FDN，又∠ODN+∠FDN=90°，
∴∠ODM+∠ODN=90°，即∠MDN=90°，
∴四边形DMG2N是正方形，
∴∠OG2F=90°，

设 G2(a,3−13) ，
∵∠FG2O=∠DG2O+∠DG2F=90° ，
∴G2O2+G2F2=OF2 ，
∴a2+(3−13)2+(a−4)2+(3−13−6)2=42+62 ，
解得： a1=a2=2 ，
∴G2(2,3−13) ；
当 DG3 平分 ∠OG3F 时，如图5，

∵DO=DF ， ∠DG3O=∠DG3F ，
∴OG3=FG3 ，
又 ∵DG3=DG3 ，
∴ΔDOG3≅ΔDFG3(SSS) ，
设 OF 与 DG3 交于点 H ，
∴OH=FH ，
∵O(0,0) ， F(4,6) ，
∴H(2,3) ，
设直线 DG 解析式为 y=k1x+b1 ，
∵D(−1,5) ， H(2,3) ，
∴−k1+b1=52k1+b1=3 ，
解得： k1=−23b1=133 ，
∴ 直线 DG 解析式为 y=−23x+133 ，
联立方程组 y=−23x+133y=3−13 ，
解得： x=2+3132y=3−13 ，
∴G3(2+3132 ， 3−13) ；
综上所述，符合条件的 G 的坐标为 G1(2−2133 ， 3−13) 或 G2(2,3−13) 或 G3(2+3132 ， 3−13) .
5．【答案】（1）证明：如图1， ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD ， ∠BAD=90°=∠D=∠ABC ，
∵AE⊥AF ，
∴∠EAF=∠DAB=90° ，
∴∠DAE=∠BAF ，
又 ∵∠D=∠ABF ， AB=AD ，
∴ΔABF≅ΔADE(ASA) ，
∴FB=ED ，
（2）解：①如图2，设 ∠GCF=x ，则 ∠DCG=90°−x ，
∵GC=GF ，
∴∠GCF=∠GFC=x ，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=CD ， ∠ADG=∠CDG=45° ，
又 ∵DG=DG ，
∴ΔADG≅ΔCDG(SAS) ，
∴AG=CG=GF ， ∠DCG=∠DAG=90°−x ，
∴∠AGD=180°−45°−(90°−x)=45°+x ，
∵∠BGF=∠DBC−∠GFB=45°−x ，
∴∠AGF=180°−(45°−x)−(45°+x)=90° ，
∴ΔAGF 是等腰直角三角形，
∴∠GFA=45° ；
②如图3，连接 FH ， AH ，

∵AB=3 ， BF=1 ，
∴AF=AB2+BF2=9+1=10 ， FC=4 ，
∵MH//AE ，
∴∠EAF=∠FMG=90° ，
又 ∵ΔAGF 是等腰直角三角形，
∴MG 是 AF 的垂直平分线，
∴AM=FM=102 ， AH=FH ，
∵AH2=AD2+DH2 ， FH2=FC2+CH2 ，
∴AD2+DH2=FC2+CH2 ，
∴9+(3−CH)2=16+CH2 ，
∴CH=13 ，
∴MH=FH2−MF2=16+19−52=7106 .
6．【答案】（1）解： ∵ 四边形 ABCO 是矩形，
∴OC=AB,OC//AB,∠B=90° ，
∵M,N 分别是 OC,AB 的中点，
∴CM=12OC,BN=12BA ，
∴CM=BN ，
∵OC//AB ，即 CM//BN ，
∴ 四边形 BCMN 是平行四边形，
∵∠B=90° ，
∴ 四边形 BCMN 是矩形；
（2）解： ∵B(10,8) ，
∴BC=OA=10,CO=AB=8 ，
∵OF=OA ，
∴OF=10 ，
∵ 四边形 BCMN 是矩形，
∴∠OCF=90° ，
在 Rt△OCF 中，
CF=OF2−OC2=102−82=6 ，
设直线 AF 的解析式为 y=mx+n(m≠0) ，
①若点 F 在 BC 上，则 F(6,8) ，
∵A(10,0) , F(6,8) ，
∴10m+n=06m+n=8 ，
解得 m=−2n=20 ，
∴y=−2x+20 ；
②如图，若点 F 在 BC 的延长线上，

∵OF=OF′,OC=OC ， ∠OCF=∠OCF′ ，
∴△OCF≌△OCF′ ，
∴FC=F′C ，
即 F,F′ 关于 y 轴对称，
∴F′(−6,8) ，
∵A(10,0) ， F′(−6,8) ，
∴10m+n=0−6m+n=8 ，
解得 m=−12n=5 ，
∴y=−12x+5 ；
综上所述：直线 AF 的直线解析式为 y=−2x+20 或者 y=−12x+5 ；
（3）解：设直线 OF 的解析式为 y=kx ，
①若点 F(6,8) ，
则 k=43 ，
∴y=43x ，
当 y=4 时， x=3 ，
∴E(3,4) ，
∵B(10,8) ，四边形 ABCO 是矩形，
∴A(10,0) ，
设 AE 的直线解析式为 y=kx+b ，
∵A(10,0) ， E(3,4) ，
∴10k+b=03k+b=4 ，
解得 k=−47b=407 ，
∴AE 的解析式为： y=−47x+407 ；
∵OM=12OC=12AB=4 ，
∴M(0,4) ，
设直线 AM 的解析式为 y=k1x+b1 ，
∵A(10,0) ， M(0,4) ，
∴10k1+b1=0b1=4 ，
解得 k1=−25b1=4 ，
∴ 直线 AM 的解析式为 y=−25x+4 ，
∴−47≤k≤−25 ，
若点 F 的坐标为 (−6,8) ，
则直线 OF 的解析式为 y=−43x ，
当 y=4 时， x=−3 ，
∴E(−3,4) ，
设 AE 的直线解析式为 y=k2x+b2 ，
∵A(10,0) ， E(−3,4) ，
∴10k2+b2=0−3k2+b2=4 ，
解得 k=−413b=4013 ，
∴AE 的解析式为： y=−413x+4013 ，
∵ 直线 AM 的解析式为 y=−25x+4 ，
∴−25≤k≤−413
综合①②可知： −47≤k≤−413
7．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
∠OAM=∠OCN∠AMO=∠CNOAO=CO ，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD−DM，
∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2＋BN2，
∴（4−DM）2＝22＋DM2，
解得：DM＝ 32
8．【答案】（1）证明： ∵FD//AC,EF//AB ，
∴ 四边形 AEFD 为平行四边形，
∵AF 平分 ∠BAC ，
∴∠DAF=∠EAF ，
又 ∵FD//AC ，
∴∠DFA=∠EAF ，
∴∠DAF=∠DFA ，
∴AD=DF ，
∴ 四边形 AEFD 为菱形，
则根据“亲密菱形”的定义得：四边形 AEFD 为 △ABC 的“亲密菱形”；
（2）解： ∵EF//AB,∠B=90° ，
∴∠CFE=∠B=90° ，
∵ 四边形 AEFD 为菱形，
∴AE=EF ，
设 AE=EF=x(x>0) ，则 CE=AC−AE=12−x ，
在 Rt△CEF 中， CF2+EF2=CE2 ，即 (26)2+x2=(12−x)2 ，
解得 x=5 ，
即 AE=5 ，
则四边形 AEFD 的周长为 4AE=4×5=20 ；
（3）解：如图，取 AF 的中点 O ，连接 OM,ON ，

∵M 是 DF 的中点，
∴OM 是 △ADF 的中位线，
∴OM=12AD,OM//AD ，
同理可得： ON=12CF,ON//CF ，
∵∠B=90° ，即 AD⊥CF ，
∴OM⊥ON ，
在 Rt△MON 中， OM2+ON2=MN2=32=9 ，
则 AD2+CF2=(2OM)2+(2ON)2=4(OM2+ON2)=36
9．【答案】（1）解： ∵AB∥CD，∴∠EFO=∠BGO，
∵FG垂直平分BE，∴BO=OE，FB=EF，
在△EFO和△BGO中，∠EFO=∠BGO∠EOF=∠BOGEO=BO，
∴△EFO≌△BGO（AAS），
∴EF=BG，
∵AD∥BC，∴四边形BGEF为平行四边形，
∵FB=EF，∴四边形BGEF为菱形；
（2）解： 当AB=4，n=3时，∴AD=8，AE=163，
由勾股定理得BE=203，
∴AF=AE-EF=AE-BF，
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，即（163-BF）2+42=BF2，
解得BF=256，则AF=76，
菱形BGEF面积=12BE·FG=EF·AB，即12×203×FG=256×4，
解的FG=5；
（3）解： 设AB=x，则DE=2xn，
S1=BG·AB，S2=BC·AB
当 S1S2=1730 时 ，BG·ABAB·AD=1730，∴BG=1715x，
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，可得AF=815x，
∴AE=AF+FE=AF+BG=53x，DE=AD-AE=13x,
∴13x=2xn，∴n=6.
10．【答案】（1）解：直线 l1:y=−12x+6 ，当 x=0 时， y=6 ;当 y=0 时， x=12 ;∴A(12,0)、C(0,6)
解方程组 y=−0.5x+6y=0.5x 解得： x=6y=3∴A(6,3)
（2）解：设 D(x,0.5x) ，∵△ COD 上网面积为12，∴0.5×6×x=12
解得： x=4 ，∴D(4,2)
设直线 CD 的表达式为 y=kx+b ，把 C(0,6)、D(4,2) 代入得:
6=b2=4k+b 解得： k=−1b=6∴y=−x+6
（3）存在点 Q ,使以 O、C、P、Q 为顶点的四边形是菱形.
此时满足条件的点 Q 的坐标是 (6,6) 或 (−3,3) 或 (32,−32)
11．【答案】（1）解：填表：
n
1
2
3
4
5
An
xn
0
0
0
0
0
yn
4
6
8
10
12
Bn
xn'
2
2
2
2
2
yn'
0
0
0
0
0
（2）0；8；0；8；（2,0）
（3）解：设Q（m，m），∴m=(－n－1)m+2n+2
m= 2n+2n+2 =1+ nn+2 =2－ 2n+2
∴1＜m＜2.
12．【答案】（1）解: 猜想：BE=FG；证明：过F作FG⊥DC，H为垂足，

则AB=AD=FH，∠FHG=∠BAE=90°，易证：∠GFH=∠ABE。
∴ΔFGH≌ΔBEA，∴BE=FG；
（2）证明: ∵ΔFGH≌ΔBEA，∴GH=AE；∵AF=DH，∴DG=DH+HG=AF+AE；
（3）134
13．【答案】（1）证明： ∵PQ 为线段 AC 的垂直平分线，
∴AE=CE ， AD=CD ，
∵CF//AB ， ∴∠EAC=∠FCA ， ∠CFD=∠AED ，
在 △AED 与 △CFD 中，
∠EAC=∠FCA∠CFD=∠AEDAD=CD
∴△AED≌△CFD(AAS) ；
（2）证明： ∵△AED≌△CFD ，
∴AE=CF ，
∵EF 为线段 AC 的垂直平分线， ∴EC=EA ， FC=FA ， ∴EC=EA=FC=FA ，
∴ 四边形 AECF 为菱形；
（3）解： ∵ 四边形 AECF 是菱形，
∴AC⊥EF ，
∵ED=6 ， AE=10 ， ∴EF=2ED=12 ， AD=102−62=8 ． ∴AC=2AD=16 ，
∴ 菱形 AECF 的面积 =12AC⋅EF=12×16×12=96 ．
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∠B=∠DCF，BC=CD，∵CE⊥DF，
∴∠DGC=∠GFC+∠FCG = 90°，∵∠FCG+∠CEB = 90°，∴∠CEB =∠DFC，∴△CEB≌△DFC，∴CE = DF
（2）32；15
15．【答案】（1）证明：由翻折，得HF∥EG，FN ∥EM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠MFE =∠NEF ，且四边形EMFN是平行四边形，∵∠MEF =∠NEF，∴∠MEF =∠MFE，∴ME =MF，∴四边形EMFN为菱形．
（2）解：2 2
（3）解：∵EF =MF = ME，∴△MEF是等边三角形．过点E作EK⊥AD于点K，则EF2-FK2=EK2，即 34 EF2 =4，解得EF= 433 ，∴EN=EF= 433
16．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ，
∴AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE
∴△ABE≌△CBE（SAS）
∴AE=CE
（2）解：
∵ 四边形ABCD是正方形 ，
∴∠EBC=∠EDP=45°
∵ ∠PBC=30°，
∴∠EBP=15°
∵ PE⊥BD，点O为BP的中点，
∴OE=OB=OP
∴∠OEB=∠EBP=15°
∴∠POE=∠OEB+∠EBP=30°
（3）连接OC,

∵点O为BP的中点，∠BCP=90°
∴OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=30°
∴∠POC=∠OBC+∠OCB=60°
∴∠EOC=∠POE+∠POC=90°，
∵OE=OB=OC=2
∴CE=OC2+OE2=2
17．【答案】（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；
（2）解：能； 理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB=BC3=5，
∴AC=2AB=10，
∴AD=AC-DC=10-2t，
若使△DEF能够成为等边三角形，
则平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，
∴t=10-2t，
∴t=103，
即当t=103时，△DEF为等边三角形．
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB //CD
∴∠ABC＋∠DCB＝180°．
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，
∴∠EBC＝ 12∠ABC，∠ECB＝ 12∠DCB．
∴∠BEC＝180°−（∠EBC＋∠ECB）＝180°− 12（∠ABC＋∠DCB）＝90°．
（2）解：∵AD //BC，
∴∠AEB＝∠EBC．
∵∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB．
∴AE＝AB．
同理可得ED＝CD．
∴E点是AD中点
∴AD=2AE=10
∴BC=AD=10
在Rt△BEC中，利用勾股定理可得BE＝ BC2−CE2=8
所以 △BEC的周长＝BE＋BC＋CE＝8+10+6＝24；
（3）解：四边形 ABGE是菱形，证明如下：
由（2）可得E点是AD中点，
∵点G是 BC边的中点
∴AE=BG
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AE=BG
∴四边形 ABGE是平行四边形
又由（2）得AE＝AB
∴平行四边形 ABGE是菱形．
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=12OB，DF=12OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF
∴△ABE≅△CDF(SAS)
（2）解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG=AE，OA=OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形．
20．【答案】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，
∴AB=2BE ，
∵AE＝3，
∴AB2−BE2=(2BE)2−BE2=3BE2=32 ，
∴BE=3 ，
∴AB=23 ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=23 ，
∴菱形ABCD的周长为 23×4=83 ，面积为 AE×BC=3×23=63 ；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=∠ADF，AB=AD=BC=CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，
∵∠ABE=∠ADF，∠AEB=∠AFD，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴CE=CF，
∴∠CBF=∠CBD= 12（180°-∠C），
∴EF∥BD；
（3）解：连接CG，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADG=∠CDG，AD=CD，
在△ADG和△CDG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG， DG=DG，
∴△ADG≌△CDG，
∴AG=CG，△ADG和△CDG的面积相等，
∴S1﹣S2=S△CEG，
∵CE＝4，BE＝8，
∴AB=BC=CE+BE=12，
∵AE⊥BC，
∴AE=AB2−BE2=122−82=45 ，
设 EG=x ，则 CG=AG=45−x ，
∵EG2+CE2=CG2 ，
∴x2+42=(45−x)2 ，
解得： x=855 ，即 EG=855 ，
∴S1−S2=S△CEG=12CE×EG=12×4×855=1655 ．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PDA＝∠PDC，AD＝CD，AD∥BC，
在△PAD与△PCD中，
AD=CD∠PDA=∠PDCPD=PD ，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴∠PAD＝∠PCD，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PAD＝∠PCD
（2）解：如图1，

（方法一）∵PA＝PD，
∴∠PAD＝∠PDA，
设∠PAD＝∠PDA＝x，则∠BPC＝∠PDC+∠PCD＝∠PDA+∠PAD＝2x
∵PC⊥BE
∴2x+x＝90°，
∴x＝30°，
∴∠ABC＝2x＝60°；
（方法二）：延长CP交AD于M，
∵AD∥BC，PC⊥BC，
∴CM⊥AD
∵PA＝PD，
∴△PAM≌△PDM （HL），
∴AM＝DM，
∴CM垂直平分AD
连接AC，则AC＝CD＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
（3）30°或120°
22．【答案】（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形
（2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝ 12 ∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°
（3）解：方法一：如图3中，连接BM，MC，

∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵BE=CD∠BEM=∠DCMEM=CM ，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2 65 ，
∴DM＝ 22 BD＝ 130 ．
方法二：过M作MH⊥DF于H，

∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝ 12 CF＝3，
∴MH＝ 12 CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝ 112+32 ＝ 130 ．
23．【答案】（1）3
（2）解：如图，连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AB∥CD．
∴∠B+∠BCD=180°．
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCD=120°．
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC．
∴∠ACF=∠B=60°．
∵∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE．
∴∠BAE=∠CAF．
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．
∴CE+CF=CE+BE=BC=3．
（3）解：如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AB∥CD．
∴∠B+∠BCD=180°．
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCD=120°．
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC．
∴∠CAD=∠B=60°．
∵∠EAF=60°，
∴∠CAD-∠DAE=∠EAF-∠DAE．
∴∠CAE=∠DAF．
∵∠ACE=∠ADF=120°，AC=AD
∴△ACE≌△ADF（ASA）．
∴CE=DF，AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∵EF⊥BC，∠ECF=60°，
∴∠CFE=30°
∴CF=2CE，
∵CF=CD+DF=CD+CE；
∴CD=CE
∵CD=BC=3，
∴CE=3，
∴EF=CF2−CE2=62−32=33,
∴△AEF的周长为3EF=93 ．
24．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC//DE，
∵MN//AB，即 CE//AD，
∴ 四边形 ADEC 是平行四边形，
∴CE=AD．
（2）解：四边形 BECD 是菱形，
理由是： ∵ 点 D 为 AB 中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD//CE，
∴ 四边形 BECD 是平行四边形，
∵∠ACB=90∘，点 D 为 AB 中点，
∴CD=BD，
∴ 四边形 BECD 是菱形．
（3）解：当 ∠A=45∘ 时，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ABC=45∘，
由（2）可知，四边形 BECD 是菱形，
∴∠ABC=∠CBE=45∘，
∴∠DBE=90∘，
∴ 四边形 BECD 是正方形．
25．【答案】（1）18；10
（2）解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∵ OA＝OC＝23
∴在Rt△AOD中，OD＝AD2−OA2=36−12=24=26
∴S菱形ABCD＝12×43×46=242
∴S四边形ABFE＝12S菱形ABCD =122
（3）4
26．【答案】（1）解：①正方形 ADEF 中， AD=AF ，
∵∠BAC=∠DAF=90° ，
∴∠BAD=∠CAF ，
在 ΔDAB 与 ΔFAC 中，
AD=AF ∠BAD=∠CAF AB=AC  ，
∴ΔDAB≅ΔFAC(SAS) ，
∴∠B=∠ACF ，
∴∠ACB+∠ACF=90° ，即 BC⊥CF ；
故答案为：垂直；
②ΔDAB≅ΔFAC ，
∴CF=BD ，
∵BC=BD+CD ，
∴BC=CF+CD ；
故答案为： BC=CF+CD ；
（2）解： CF⊥BC 成立； BC=CD+CF 不成立， CD=CF+BC ．理由如下：
∵ 正方形 ADEF 中， AD=AF ，
∵∠BAC=∠DAF=90° ，
∴∠BAD=∠CAF ，
在 ΔDAB 与 ΔFAC 中，
AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC ，
∴ΔDAB≅ΔFAC(SAS) ，
∴∠ABD=∠ACF ，
∵∠BAC=90° ， AB=AC ，
∴∠ACB=∠ABC=45° ．
∴∠ABD=180°−45°=135° ，
∴∠BCF=∠ACF−∠ACB=135°−45°=90° ，
∴CF⊥BC ．
∵CD=DB+BC ， DB=CF ，
∴CD=CF+BC ．