高三数学变式题组训练《三角形“四心”的相关向量问题》

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高三 《三角形“四心”的相关向量问题》【母题】1.若G是△ABC所在平面上一点，且满足＋＋＝,则点G是ABC的      心;2.若O是△ABC所在平面上一点，且满足，则点O是△ABC的      心;3.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的      心.4.已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的       心； 变式题【变式1】三角形的重心相关向量问题例1、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（ C   ）A 外心   B 内心   C 重心   D  垂心例2、已知P是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点O满足则O点一定是△ABC的（  C   ）A 外心   B 内心   C 重心   D  垂心【变式2】三角形的外心相关向量问题例3、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,.则P点的轨迹一定通过△ABC的（ A   ）A 外心      B 内心       C 重心      D  垂心例4、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,.则P点的轨迹一定通过△ABC的（ A   ）A 外心      B 内心       C 重心      D  垂心【变式3】三角形的垂心相关向量问题例5、已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:则O是△ABC的_垂___心。【变式4】三角形的内心相关向量问题例5、已知非零向量与满足              ，则△ABC为（   ） A 三边均不相等的三角形     B  直角三角形   C 等腰非等边三角形         D  等边三角形 【母题】三个不共线的向量满足=+) == 0，则O点是△ABC的(    )A. 垂心          B. 重心           C. 内心         D. 外心   变式体系    变式题【变式1—三角形的内心相关向量问题】已知O是△ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是△ABC的(    )A. 外心         B. 内心        C. 重心          D. 垂心 【变式2-三角形的外心相关向量问题）已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过△ABC的(    )A. 重心          B. 垂心          C. 外心         D. 内心【变式3-三角形的重心相关向量问题】已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC的(    )A. 外心         B. 内心          C. 重心         D. 垂心【变式4-三角形的垂心相关向量问题】已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的(    )A. 外心         B. 内心        C. 重心          D. 垂心 参考答案（母题）解析：表示与△ABC中∠A的外角平分线共线的向量，由= 0知OA垂直∠A的外角平分线，因而OA是∠A的平分线，同理，OB和OC分别是∠B和∠C的平分线，故选C   （变式1）解析：∵，，则= 0，得. 因为与分别为和方向上的单位向量，设，则平分∠BAC. 又、共线，知AO平分∠BAC. 同理可证BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以O点是△ABC的内心.（变式2）解析：设BC的中点为D，则，则由已知得， ∴=== 0 . ∴DP⊥BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的外心. 选C . （变式3）由已知得，∴，即= 0，由上题的结论知O点是△ABC的重心. 故选C  （变式4）由，则，即，得，所以. 同理可证，. ∴O是△ABC的垂心. 选D.