高考数学一轮复习单元质检三导数及其应用含解析新人教A版理

这是一份高考数学一轮复习单元质检三导数及其应用含解析新人教A版理，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质检三　导数及其应用(时间:100分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　)A.7 m/s B.6 m/sC.5 m/s D.8 m/s答案:C解析:根据瞬时速度的意义,可得3s末的瞬时速度是v=s'|t=3=(-1+2t)|t=3=5.2.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于(　　)A.2 B.-2 C. D.-答案:B解析:因为y=的导数为y'=,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k=-.又因为直线ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a·=-1,解得a=-2.3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是(　　)A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1答案:B解析:求导得y'=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.4.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-]∪[,+∞) B.[-]C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-)答案:B解析:由题意,知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,故Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-≤a≤.5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是(　　)A.0 B.1 C.2 D.3答案:A解析:由f'(x)=2x+1-=0,得x=或x=-1(舍去).当0<x<时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增.则f(x)的最小值为f+ln2>0,所以无零点.6.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x答案:D解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.7.已知当x∈时,a≤+ln x恒成立,则a的最大值为(　　)A.0 B.1 C.2 D.3答案:A解析:令f(x)=+lnx,则f'(x)=.当x∈时,f'(x)<0;当x∈(1,2]时,f'(x)>0.∴f(x)在区间内单调递减,在(1,2]上单调递增,∴在x∈上,f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即a的最大值为0.8.已知函数f(x)=ln x+tan α的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为(　　)A. B. C. D.答案:A解析:∵f(x)=lnx+tanα,∴f'(x)=.令f(x)=f'(x),得lnx+tanα=,即tanα=-lnx.设g(x)=-lnx,显然g(x)在区间(0,+∞)内单调递减,而当x→0时,g(x)→+∞,故要使满足f'(x)=f(x)的根x0<1,只需tanα>g(1)=1.又0<α<,∴α∈.9.已知a=(x2-1)dx,b=1-log23,c=cos,则a,b,c的大小关系是(　　)A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a答案:B解析:∵a=(x2-1)dx=-1=-≈-0.667,b=1-log23=1-≈-0.58,c=cos=-≈-0.866,∴c<a<b,故选B.10.已知函数f(x)=--x2的最大值为f(a),则a等于(　　)A. B. C. D.答案:B解析:∵f'(x)=--2x,∴f'(1)=-f'(1)-2,解得f'(1)=-,∴f(x)=-x2,f'(x)=,令f'(x)>0,解得x<,令f'(x)<0,解得x>,故f(x)在区间内递增,在区间内递减,故f(x)的最大值是f,a=.11.若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是(　　)A. B.C. D.答案:C解析:若f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.由x2-ax+1=0,得a=x+.因为x∈,y=x+的值域是,当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.所以实数a的取值范围是,故选C.12.若存在两个不相等正实数x,y,使得等式x+a(y-2ex)(ln y-ln x)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是(　　)A. B.C.  D.(-∞,0)答案:A解析:由题意知,a=.设=t(t>0,且t≠1),则a==(2e-t)lnt.令f(t)=(2e-t)lnt,f(t)≠0,则f'(t)=-(1+lnt).令=1+lnt,得t=e.由数形结合可知,当t>e时,f'(t)<0;当0<t<e时,f'(t)>0.所以f(t)≤e,且f(t)≠0,所以0<≤e或<0,解得a<0或a≥.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数y=x-x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于　　　　　. 答案:解析:由x-x2=0,得x=0或x=1.因此,所围成的封闭图形的面积为(x-x2)dx=.14.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-∞,+∞)内是减函数,则实数a的取值范围是　　　　　. 答案:(-∞,-3]解析:由题意可知f'(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立,则解得a≤-3.15.函数f(x)=e|x-1|,函数g(x)=ln x-x+a,若∃x1,x2使得f(x1)<g(x2)成立,则a的取值范围是　　　　　. 答案:(2,+∞)解析:由题意,若∃x1,x2使得f(x1)<g(x2)成立,可转化为f(x)min<g(x)max成立,由函数f(x)=e|x-1|,根据指数函数的图象与性质可知,当x=1时,函数f(x)=e|x-1|取得最小值,此时最小值为f(1)=1.又由g(x)=lnx-x+a,则g'(x)=-1=(x>0),当x∈(0,1)时,g'(x)>0,则函数g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,则函数g(x)单调递减,所以当x=1时,函数有最大值,此时最大值为g(1)=a-1,令a-1>1,解得a>2,即实数a的取值范围是(2,+∞).16.已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,给出以下几个命题:①0<x0<;②x0>;③f(x0)+x0<0;④f(x0)+x0>0.其中正确的命题是　　　　　.(填出所有正确命题的序号) 答案:①③解析:由已知得f'(x)=lnx+x+1(x>0),不妨令g(x)=lnx+x+1(x>0),由g'(x)=+1,当x∈(0,+∞)时,有g'(x)>0总成立,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且g>0,又x0是函数f(x)的极值点,所以f'(x0)=g(x0)=0,即g>g(x0),所以0<x0<,即命题①成立,则命题②错;因为lnx0+x0+1=0,所以f(x0)+x0=x0lnx0++x0=x0(lnx0+x0+1)-=-<0,故③正确,而④错,所以填①③.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数f(x)=(x-)e-x.(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间内的取值范围.解:(1)因为(x-)'=1-,(e-x)'=-e-x,所以f'(x)=e-x-(x-)e-x=.(2)由f'(x)==0,解得x=1或x=.因为x1f'(x) -0+0-f(x)↘0↗↘又f(x)=-1)2e-x≥0,所以f(x)在区间内的取值范围是.18.(12分)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.解:(1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1.当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.(2)f'(x)=ex-1-2ax.由(1)知f(x)≥f(0),即ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x.当a≤时,1-2a≥0,f'(x)≥0(x≥0),f(x)在区间[0,+∞)内是增函数,因为f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0.符合题意.当a>时,由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).所以f'(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),故当x∈(0,ln2a)时,f'(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)<0.不符合题意.综上可得a的取值范围为.19.(12分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<ex.答案:(1)解由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.因为f'(0)=1-a=-1,所以a=2.所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.令f'(x)=0,得x=ln2.当x<ln2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,极小值为f(ln2)=2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(2)证明令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x.由(1),得g'(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0,故g(x)在R上单调递增.因为g(0)=1>0,所以当x>0,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.20.(12分)已知函数f(x)=(ex-e)ex+ax2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解:(1)由题意得f'(x)=x(ex+1+2a),①当a≥0时,ex+1+2a>0,若x∈(-∞,0),则f'(x)=x(ex+1+2a)<0,函数f(x)单调递减,若x∈(0,+∞),则f'(x)=x(ex+1+2a)>0,函数f(x)单调递增;②当-<a<0时,若x∈(-∞,ln(-2a)-1),则f'(x)=x(ex+1+2a)>0,函数f(x)单调递增,若x∈(ln(-2a)-1,0),则f'(x)=x(ex+1+2a)<0,函数f(x)单调递减,若x∈(0,+∞),则f'(x)=x(ex+1+2a)>0,函数f(x)单调递增;③当a=-时,f'(x)=x(ex+1+2a)≥0恒成立,函数f(x)单调递增;④当a<-时,若x∈(-∞,0),则f'(x)=x(ex+1+2a)>0,函数f(x)单调递增,若x∈(0,ln(-2a)-1),则f'(x)=x(ex+1+2a)<0,函数f(x)单调递减,若x∈(ln(-2a)-1,+∞),则f'(x)=x(ex+1+2a)>0,函数f(x)单调递增.(2)当a=0时,f(x)=(ex-e)ex=0有唯一零点x=1,不符合题意;由(1)知,当a>0时,若x∈(-∞,0),则函数f(x)单调递减,若x∈(0,+∞),则函数f(x)单调递增,当x→-∞时,f(x)→+∞;当x→+∞时,f(x)→+∞,f(0)=-e<0必有两个零点;当-<a<0时,若x∈(-∞,ln(-2a)-1),则函数f(x)单调递增,若x∈(ln(-2a)-1,0),则函数f(x)单调递减,若x∈(0,+∞),则函数f(x)单调递增,f(ln(-2a)-1)=-2a(ln(-2a)-1)+a(ln(-2a)-1)2<0,f(0)=-e<0,函数f(x)至多有一个零点;当a=-时,函数f(x)单调递增,函数f(x)至多有一个零点;当a<-时,若x∈(-∞,0),则函数f(x)单调递增,若x∈(0,ln(-2a)-1),则函数f(x)单调递减,若x∈(ln(-2a)-1,+∞),则函数f(x)单调递增,f(0)=-e<0,函数f(x)至多有一个零点.综上所述,当a>0时,函数f(x)有两个零点.21.(12分)已知函数f(x)=ex-x2+a,x∈R的图象在x=0处的切线方程为y=bx.(e≈2.718 28)(1)求函数f(x)的解析式;(2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.答案:(1)解∵f(x)=ex-x2+a,∴f'(x)=ex-2x.由已知,得解得∴函数f(x)的解析式为f(x)=ex-x2-1.(2)证明令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,则φ'(x)=ex-1.由φ'(x)=0,得x=0.当x∈(-∞,0)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.故φ(x)min=φ(0)=0,从而f(x)≥-x2+x.(3)解f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立⇔>k对任意的x∈(0,+∞)恒成立.令g(x)=,x>0,则g'(x)==.由(2)可知当x∈(0,+∞)时,ex-x-1>0恒成立,由g'(x)>0,得x>1;由g'(x)<0,得0<x<1.故g(x)的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1),即g(x)min=g(1)=e-2.故k<g(x)min=g(1)=e-2,即实数k的取值范围为(-∞,e-2).22.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b2>3a;(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.答案:(1)解由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3+b-.当x=-时,f'(x)有极小值b-.因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,所以f=-+1=0,又a>0,故b=.因为f(x)有极值,故f'(x)=0有实根,从而b-(27-a3)≤0,即a≥3.当a=3时,f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=,x2=.列表如下:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗故f(x)的极值点是x1,x2.从而a>3.因此b=,定义域为(3,+∞).(2)证明由(1)知,.设g(t)=,则g'(t)=.当t∈时,g'(t)>0,从而g(t)在区间内单调递增.因为a>3,所以a>3,故g(a)>g(3)=,即.因此b2>3a.(3)解由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-a,.从而f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1++a+bx2+1=(3+2ax1+b)+(3+2ax2+b)+a()+b(x1+x2)+2=+2=0.记f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b-=-a2+,所以h(a)=-a2+,a>3.因为h'(a)=-a-<0,于是h(a)在(3,+∞)上单调递减.因为h(6)=-,于是h(a)≥h(6),故a≤6.因此a的取值范围为(3,6].