高考数学一轮复习考点规范练65坐标系与参数方程含解析新人教A版理

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考点规范练65　坐标系与参数方程基础巩固1.在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.解:(1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=时,ρ0=4sin=2由已知得|OP|=|OA|cos=2.设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中,ρcosθ-=|OP|=2.经检验,点P2,在曲线ρcosθ-=2上.所以,l的极坐标方程为ρcosθ-=2.(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ.因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是.所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ,θ∈.2.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数,α∈R),在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρsin(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1和曲线C2相交于A,B两点,求|AB|的值.解:(1)由x2+(y-1)2=1,即C1:x2+(y-1)2=1.由ρsinsinθ-cosθ=y-x=2,即C2:x-y+2=0.(2)∵直线x-y+2=0与圆x2+(y-1)2=1相交于A,B两点,又x2+(y-1)2=1的圆心(0,1),半径为1,∴圆心到直线的距离d=,∴|AB|=23.(2020全国Ⅰ,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+3=0.(1)当k=1时,C1是什么曲线?(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.解:(1)当k=1时,C1:消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.(2)当k=4时,C1:消去参数t得C1的直角坐标方程为=1.C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0.由解得故C1与C2的公共点的直角坐标为.4.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+sin θ+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.解:(1)因为-1<1,且x2+=1,所以C的直角坐标方程为x2+=1(x≠-1).l的直角坐标方程为2x+y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数,-π<α<π).C上的点到l的距离为当α=-时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcos(1)把曲线C1的参数方程化为普通方程,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|·|PF|的值.解:(1)消去参数可得C1:y2=4x,C2:x-y-1=0.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB的中点为P(x0,y0),联立可得x2-6x+1=0.∴x1+x2=6,x1x2=1,∴AB中垂线的参数方程为(t为参数).①y2=4x.②将①代入②中,得t2+8t-16=0,∴t1·t2=-16.∴|PE|·|PF|=|t1·t2|=16.能力提升6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρsinm.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.解:(1)曲线C1的参数方程为消去参数,可得y=x2(-2≤x≤2),由ρsinm,得sinθ-cosθ=m,所以曲线C2的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)由可得x2-x-m=0,∵曲线C1与曲线C2有公共点,∴m=x2-x=∵-2≤x≤2,∴-m≤6.7.如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧所在圆的圆心分别是(1,0),,(1,π),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标.解:(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ0,M2的极坐标方程为ρ=2sinθ,M3的极坐标方程为ρ=-2cosθπ.(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知若0,则2cosθ=,解得θ=;若,则2sinθ=,解得θ=或θ=;若π,则-2cosθ=,解得θ=综上,P的极坐标为高考预测8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若|PA|·|PB|=|AB|2,求a的值.解:(1)∵ρsin2θ=acosθ(a>0),∴ρ2sin2θ=aρcosθ(a>0),即y2=ax(a>0).直线l的参数方程消去参数t,得普通方程为y=x-2.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a>0)中,得t2-(a+8)t+4(a+8)=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=(a+8),t1·t2=4(a+8).∵|PA|·|PB|=|AB|2,∴t1·t2=(t1-t2)2.∴(t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1·t2=5t1·t2,即[(8+a)]2=20(8+a),解得a=2或a=-8(不合题意,应舍去),∴a的值为2.