广西专用高考数学一轮复习单元质检六数列A含解析新人教A版文.

单元质检六　数列(A)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=15,S9=99,则等差数列{an}的公差是(　　)

A. B.4 C.-4 D.-3

答案:B

解析:∵数列{an}是等差数列,a6=15,S9=99,

∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.∴公差d=a6-a5=4.

2.(2020全国Ⅱ,文6)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=(　　)

A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1

答案:B

解析:设等比数列{an}的公比为q.

∵a5-a3=12,a6-a4=24,∴=q=2.

又a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,∴a1=1.

∴an=a1·qn-1=2n-1,

Sn==2n-1.

∴=2-=2-21-n.

故选B.

3.在等差数列{an}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列{an}的前5项的和为(　　)

A.15 B.20 C.25 D.15或25

答案:A

解析:设{an}的公差为d.

∵在等差数列{an}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,

∴解得

∴S5=5a1+d=5×(-1)+5×4=15.故选A.

4.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=(　　)

A.9 B.12 C.16 D.36

答案:D

解析:由3a1-+3a15=0,得=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即-6a8=0.

因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17==36.

5.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=(　　)

A.-2 B.-1 C. D.

答案:B

解析:∵S2=3a2+2,S4=3a4+2,∴S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q>0,解得q=,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x).若数列{an}满足a1=,且an+1=,则f(a11)=(　　)

A.2 B.-2 C.6 D.-6

答案:C

解析:设x>0,则-x<0.

因为f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).

由a1=,且an+1=,得a2==2,

a3==-1,

a4=,

……

所以数列{an}是以3为周期的周期数列,

即a11=a3×3+2=a2=2.

所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=2anan+1,则a6=　　　　　. 

答案:

解析:由题意知an>0,由an-an+1=2anan+1,得=2,

即数列是以=1为首项,2为公差的等差数列.

所以+5×2=11,即a6=.

8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1,则an=　　　　　. 

答案:-3n-1

解析:令n=1,则2S1=3a1+1,又S1=a1,所以a1=-1.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3an-3an-1),整理得an=3an-1,即=3(n≥2).

因此,{an}是首项为a1=-1,公比为q=3的等比数列,

即an=-3n-1.

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求Sn,并求Sn的最小值.

解：(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.

由a1=-7得d=2.

所以{an}的通项公式为an=2n-9.

(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.

所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.

10.(15分)已知数列{an}满足an=6-(n∈N*,n≥2).

(1)求证:数列是等差数列;

(2)若a1=6,求数列{lg an}的前999项的和.

答案：(1)证明∵(n≥2),

∴数列是等差数列.

(2)解∵是等差数列,且,d=,

∴(n-1)=.∴an=.

∴lgan=lg(n+1)-lgn+lg3.

设数列{lgan}的前999项的和为S,

则S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg1000-lg999)

=999lg3+lg1000=3+999lg3.

11.(15分)记Sn为数列{an}的前n项和,若a1=19,Sn=nan+1+n(n+1).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=|an|,数列{bn}的前n项和为Tn,求T20的值.

解：(1)当n≥2时,因为Sn=nan+1+n(n+1),①

所以Sn-1=(n-1)an+n(n-1),②

①-②得,an=nan+1-(n-1)an+2n,

即an+1-an=-2(n≥2).

又S1=a2+2,即a2-a1=-2,

所以数列{an}是以19为首项,-2为公差的等差数列,

所以an=19+(n-1)·(-2)=21-2n.

(2)由(1)知an=21-2n,所以bn=|an|=|21-2n|.

因为当n≤10时an>0,当n>10时an<0,

所以bn=

所以T20=b1+b2+…+b20

=(19+17+…+1)+(1+3+…+19)

=2×(19+17+…+1)

=2×=200.