广西专用高考数学一轮复习考点规范练46直线的倾斜角与斜率直线的方程含解析新人教A版理

考点规范练46　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

基础巩固

1.(2020重庆期末)过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是,则实数m的取值范围是(　　)

A.0<m≤2 B.0<m<4

C.2≤m<4 D.0<m<2或2<m<4

答案:B

解析:由直线的倾斜角α的范围是,得直线的斜率存在时,有k<-1或k>1.

又kAB=,m≠2,故<-1或>1,

解得0<m<2或2<m<4.

当直线的斜率不存在时,m=2满足题意.

综上所述,实数m的取值范围是(0,4).

故选B.

2.已知直线l:ax+y-2+a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是(　　)

A.1 B.-1 C.2或1 D.-2或1

答案:C

解析:当a=0时,直线方程为y=2,显然不符合题意.

当a≠0时,令y=0,得到直线在x轴上的截距是,

令x=0,得到直线在y轴上的截距为2-a.

根据题意得=2-a,解得a=2或a=1,故选C.

3.直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足(　　)

A.ab>0,bc<0 B.ab>0,bc>0

C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0

答案:A

解析:因为直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为y=-x-,易知-<0且->0,故ab>0,bc<0.

4.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(　　)

A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0

C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0

答案:A

解析:易知A(-1,0).∵|PA|=|PB|,

∴P在AB的中垂线x=2上.∴B(5,0).

∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.

∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.

5.(2020云南保山期末)已知直线l过点P(1,0)且与线段y=2(-2≤x≤2)有交点,设直线l的斜率为k,则k的取值范围是(　　)

A[2,+∞) B

C(2,+∞) D

答案:A

解析:如图,kPB==2,kPA==-,

由于直线l与线段y=2(-2≤x≤2)有交点,

故k≥2或k≤-,故选A.

6.一条直线经过点A(2,-),并且它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是　　　　　　　　　　. 

答案:x-y-3=0

解析:因为直线y=x的倾斜角为30°,

所以所求直线的倾斜角为60°,

即斜率k=tan60°=

又该直线过点A(2,-),

故所求直线为y-(-)=(x-2),

即x-y-3=0.

7.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.

(1)直线l经过定点P(2,-1);

(2)直线l在y轴上的截距为6;

(3)直线l与y轴平行;

(4)直线l与y轴垂直.

解:(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,

把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=

(2)令x=0,得y=,且2m2+m-1≠0,

根据题意可知=6,且m≠-1或,

解得m=-或m=0.

(3)直线l与y轴平行,则有解得m=

(4)直线l与y轴垂直,则有解得m=3.

8.已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的方程.

解:∵点B在直线l2:2x+y-8=0上,

∴可设点B的坐标为(a,8-2a).

∵点P(0,1)是线段AB的中点,

∴点A的坐标为(-a,2a-6).

又点A在直线l1:x-3y+10=0上,

∴将A(-a,2a-6)代入直线l1的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.

∴点B的坐标是(4,0).

因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的方程为=1,即x+4y-4=0.

能力提升

9.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是(　　)

A  B(1,+∞)

C.(-∞,1) D.(-∞,-1)

答案:D

解析:设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=,满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)

10.已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△AOB的面积取最小值时,直线l的方程为　　　　　　　　　　. 

答案:2x+3y-12=0

解析:方法1:易知直线l的斜率k存在,且k<0,则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),

则A,B(0,2-3k),

所以S△AOB=(2-3k)

=(12+2×6)=12,

当且仅当-9k=,即k=-时等号成立.

所以当k=-时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为y-2=-(x-3),即2x+3y-12=0.

方法2:设直线l的方程为=1(a>0,b>0),将点P(3,2)代入得=1≥2,即ab≥24,当且仅当,

即a=6,b=4时等号成立,又S△AOB=ab,

所以当a=6,b=4时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为=1,即2x+3y-12=0.

11.直线l过点P(-2,1)且斜率为k(k>1),将直线l绕P点按逆时针方向旋转45°得直线m,若直线l和m分别与y轴交于Q,R两点.

(1)用k表示直线m的斜率;

(2)当k为何值时,△PQR的面积最小?并求出面积最小时直线l的方程.

解:(1)设直线l的倾斜角为α,则直线m的倾斜角为α+45°,由k>1,知α∈(45°,90°).

根据题意知直线m的倾斜角为α+45°,故km=tan(45°+α)=

(2)易得直线l的方程为y-1=k(x+2),直线m的方程为y-1=(x+2),

令x=0,得yQ=2k+1,yR=,

即S△PQR=|yQ-yR|·|xP|=

因为k>1,所以S△PQR==2=2≥4(+1).

由k-1=,得k=+1(k=1-舍去),

所以当k=+1时,△PQR的面积最小,最小值为4(+1),

此时直线l的方程是(+1)x-y+2+3=0.

高考预测

12.在平面直角坐标系xOy中,已知角θ的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在直线y=2x上,则sin=(　　)

A B.- C D.-

答案:C

解析:因为角θ终边落在直线y=2x上,所以tanθ=2,可得cos2θ=,所以sin

=-cos2θ=-(2cos2θ-1)=-=

故选C.