2023届高考物理一轮复习单元双测——机械振动A卷 Word版含解析

这是一份2023届高考物理一轮复习单元双测——机械振动A卷 Word版含解析，共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
第十五单元 机械振动
（A卷）基础知识过关卷
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在用单摆测量重力加速度的实验中，用多组实验数据做出周期（T）的平方和摆长（L）的T2-L图线，可以求出重力加速度g。已知三位同学做出的T2-L图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是（　　）

A．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
B．出现图线c的原因可能是误将51次全振动记为50次
C．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L
D．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
2．如图所示，表面光滑、半径为R的圆弧形轨道AP与水平地面平滑连接，AP弧长为S，。半径为r的小球从A点静止释放，运动到最低点P时速度大小为v，重力加速度为g，则小球从A运动到P的时间是（　　）

A． B． C． D．
3．用频闪照片法研究弹簧振子的振动将拍摄的影像按时间先后从左到右依次排布，如图所示，下面说法正确的是（　　）

A．这是一个波形图
B．图中A影像表示振子正向右运动
C．图中A影像表示振子正向上运动
D．图中A影像表示振子的加速度正在减小
4．如图甲，当盛沙的漏斗下面的薄木板被沿箭头方向水平加速拉出时，可近似看作做简谱振动的漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲线如图乙所示。当沙摆摆动经过平衡位置时开始计时（设为第Ⅰ次经过平衡位置），当它第30次经过平衡位置时测得所需的时间为29s（忽略摆长的变化）。根据以上信息，下列说法正确的是（　　）

A．图甲中的箭头方向为图乙中从左到右的方向
B．该沙摆的摆长约为50cm
C．由图乙可知薄木板做的是匀加速运动，且加速度大小约为7.5×10－3m/s2
D．当图乙中的C点通过沙摆正下方时，薄木板的速率约为0.095m/s
5．如图所示，木块在水中沿竖直方向做简谐运动。运动过程木块受到的合力F和动能Ek随相对平衡位置的位移x、运动的速度v和相对平衡位置的位移x随时间t变化的关系图像可能正确的是（　　）

A． B．
C． D．
6．如图所示，一质量为M的物块静止于A点，绳长为L，现给物块施加一初速度v，物块抵达B点时的速度恰好为0，且此时拉物块B的绳与竖直方向成45°夹角，绳长保持不变，若不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）

A．物块将做简谐运动
B．满足关系式v2=gL
C．物块第二次经过A点时的速度与第一次经过A点时的速度不同
D．设物块在运动时绳与竖直方向的夹角为β（β ≤ 45°），则当夹角为β时，绳子对物块的拉力大小为Mg(2 - cosβ)
7．如图所示，倾角为的光滑斜面顶端有一固定挡板，轻弹簧上端与挡板相连，下端与滑块相连。当弹簧处于原长时，由静止释放滑块，滑块运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，已知重力加速度为。则（　　）

A．滑块在最低点的加速度大于
B．弹簧劲度系数越大，滑块的振幅越小
C．弹簧劲度系数越大，滑块的最大速度越大
D．斜面的倾角越大，滑块最大速度位置离挡板越近

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
8．做单摆实验时，小球可能在水平面内做圆周运动形成圆锥摆。为避免单摆做圆锥摆引起的误差，可采用双线摆代替单摆来改进实验装置。如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，两根线的长度均为l、与竖直方向的夹角均为θ，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．若单摆做圆锥摆运动，其做圆锥摆运动的周期小于单摆的周期
B．这个双线摆的摆长为l＋
C．这个双线摆的周期为T=
D．图中双线摆的θ角越小越好
E.小球宜采用密度大的铅球或者铁球
9．在弛豫过程中通过测定横向磁化矢量M x y 可得知生物组织的磁共振信号。按法拉第定律，磁矢量M x y的变化使环绕在人体周围的接收线圈产生感应电动势，这个可以放大的感应电流即MR信号。90°脉冲后，由于受时间的影响，磁共振信号以指数曲线形式衰减，称为自由感应衰减，如图所示。对此下列说法正确的是（　　）

A．该图像类似于受迫运动
B．该图像类似于阻尼振动
C．该图像的频率取决于固有频率
D．该图像的振动频率由振动系统决定
10．如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体A，A和B通过细绳绕过定滑轮连接，已知A的质量为mA，B的质量为mB，弹簧的劲度系数为k，不计滑轮摩擦，开始时A位于O点，系统处于静止状态A在P点时弹簧处于原长，现将A物体由P点静止释放，A物体不会和定滑轮相碰，当B向下运动到最低点时绳子恰好被拉断且弹簧未超过弹性限度。已知弹簧振子的周期公式为，则下列说法正确的是（　　）

A．绳子能承受的最大拉力为2mBg
B．弹簧的最大弹性势能是
C．绳断后A物体回到位置O时的速度大小为
D．从绳断到A物体第一次回到位置O时所用的时间
三、非选择题：共6小题，共54分，考生根据要求作答。
11．如图，做“用单摆测重力加速度”的实验装置。

（1）实验前根据单摆周期公式推导出重力加速度的表达式，四位同学对表达式有不同的观点。
同学甲认为，T一定时，g与l成正比。
同学乙认为，l一定时，g与T2成正比。
同学丙认为，l变化时，T2是不变的。
同学丁认为，l变化时，l与T2比值是定值。
其中观点正确的是_________（选填“甲”、“乙”、“丙”或“丁”）
（2）实验时摆线与悬点连接处用铁架夹住摆线，用米尺测得摆线长度，用秒表测得摆球直径和50次全振动时间。下表是某次记录的一组数据，请填空。
次数
摆线长度（cm）
摆球直径（cm）
50次全振动时间（s）
摆长L（cm）
重力加速度g
（m/s2）
1
87.00
2.0
100.0
______
______
（3）某同学实验时，随意地将摆线绕在铁架上，其他操作同上，则其对测得重力加速度的结果_________（选填“有影响”或“无影响”），理由是_______________。
12．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，某同学测出多组摆长L与周期T的数据，并输入计算机生成如图所示的T2－L图像，计算机显示图线的斜率为k，根据T2－L图像__________（填写“能”或“不能”）求出当地的重力加速度，如填写“能”，写出重力加速度的表达式g=__________。

13．如图，轻质弹簧一端固定，另一端连接套在水平光滑杆上的质量为m的小球A，A以O点为平衡位置振动。小球B在竖直平面内以O′为圆心做匀速圆周运动（O与O′在同一竖直线上），角速度为ω，半径为R。用竖直向下的平行光照射小球B，可以观察到小球B在水平杆上的“影子”和小球A在任何瞬间都重合。由此可知：小球A的振动周期为______，弹簧的劲度系数为______。

14．长度为L的轻杆和固定在杆自由端上的小铅球组成一个单摆，小铅球的质量为m。现在杆上再套一颗同质量的珍珠，它可以沿着过距轻杆上端处的水平线自由地滑动，如图所示，求这种异型摆微小振动时的周期。忽略空气阻力和一切摩擦。









15．某型号的网红“水帘秋千”如图所示，它与平常秋千的不同之处是钢铁做成的秋千架上装有273个独立竖直向下的出水孔，在系统控制下能够间断性出水，从而形成一个有孔洞的水帘。假设秋千摆长。人坐在座板上，头顶到座板的距离为，鞋底到座板的距离为，忽略绳的重力和空气阻力，人与座板整体的重心在座板上。假设秋千的摆动周期与同摆长的单摆做简谐运动的周期相同；出水孔打开时，水的初速度为零。以秋千座板从最高点刚要向下摆动时作为计时起点，此刻，比座板略宽的范围内的所有出水孔都是关闭的。取，，，，。计算结果均保留到小数点后面两位。求：
（1）在秋千第一次从最高点运动到最低点的过程中，哪个时刻打开出水孔，水刚好不能淋湿人的头顶；
（2）在秋千第二次到达最低点之前最迟哪个时刻关闭出水孔，水刚好不能淋湿人体的任何部位；
（3）接第（2）问，当秋千第二次到达最低点时，水又刚好不能淋湿人的头顶，那么，出水孔关闭了多长时间。




16．已知质量为的物体在受到的回复力作用下，将做简谐运动，其偏离平衡位置的位移与时间t的关系到遵循规律，其中，为比例系数，A为振幅。如图，一竖直光滑的足够长圆管，内有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端固定于地面上，上端与一质量为m的圆盘a相连，圆盘a静止时所在位置为O。另一质量为2m的圆盘b从距O高度为的P点由静止开始下落，与a发生碰撞，瞬间粘在一起向下运动，运动的最低点为Q。两圆盘厚度不计，半径相同且略小于圆管半径。在运动过程中，弹簧形变始终在弹性限度内，且当形变量为时，弹性势能为。重力加速度为g，忽略一切阻力。求：
（1）整个运动过程系统损失的机械能；（2）圆盘a、b碰后做简谐运动的振幅；（3）从圆盘b开始下落到第一次运动至最低点Q所用的时间。



第十五单元 机械振动
（A卷）基础知识过关卷
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在用单摆测量重力加速度的实验中，用多组实验数据做出周期（T）的平方和摆长（L）的T2-L图线，可以求出重力加速度g。已知三位同学做出的T2-L图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是（　　）

A．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
B．出现图线c的原因可能是误将51次全振动记为50次
C．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L
D．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
【答案】C
【解析】A．由单摆周期公式

整理得

图线的斜率

图线c的斜率比图线b的斜率小，故图线c对应的g值大于图线b对应的g值，A错误；
B．若误将51次全振动记为50次，导致周期偏大，测得重力加速度偏小，B错误；
CD．图线a与图线b对比可知，相同的周期，摆长整体偏小相同的量，故原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L，漏加小球的半径，C正确，D错误。
故选C。
2．如图所示，表面光滑、半径为R的圆弧形轨道AP与水平地面平滑连接，AP弧长为S，。半径为r的小球从A点静止释放，运动到最低点P时速度大小为v，重力加速度为g，则小球从A运动到P的时间是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为AP弧长为S，且，所以小球做单摆运动，根据单摆的周期公式可得

由题意可知，摆长为

小球从A运动到P的时间为四分之一个周期，即有

ACD错误，B正确。
故选B。
3．用频闪照片法研究弹簧振子的振动将拍摄的影像按时间先后从左到右依次排布，如图所示，下面说法正确的是（　　）

A．这是一个波形图
B．图中A影像表示振子正向右运动
C．图中A影像表示振子正向上运动
D．图中A影像表示振子的加速度正在减小
【答案】D
【解析】A．图中所示为弹簧振子在不同时刻拍摄的影像，所以该图为振动图像，故A错误；
BCD．从图中可看出，图中A下一时刻影像向平衡位置靠近，所以振子正向下运动，位移变小，回复力变小，则加速度正在减小，故BC错误，D正确。
故选D。
4．如图甲，当盛沙的漏斗下面的薄木板被沿箭头方向水平加速拉出时，可近似看作做简谱振动的漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲线如图乙所示。当沙摆摆动经过平衡位置时开始计时（设为第Ⅰ次经过平衡位置），当它第30次经过平衡位置时测得所需的时间为29s（忽略摆长的变化）。根据以上信息，下列说法正确的是（　　）

A．图甲中的箭头方向为图乙中从左到右的方向
B．该沙摆的摆长约为50cm
C．由图乙可知薄木板做的是匀加速运动，且加速度大小约为7.5×10－3m/s2
D．当图乙中的C点通过沙摆正下方时，薄木板的速率约为0.095m/s
【答案】D
【解析】A．木板被沿图甲中箭头方向水平加速拉出，则沿箭头相反方向波形应该越来越长，即图甲中的箭头方向为图乙中从右到左的方向，故A错误；
B．设单摆的周期为，则有

解得

由单摆周期公式可得

故B错误；
C．由图乙中数据可知，木板在连续且相等的时间段内的位移差恒定，约为

由匀变速直线运动的规律可知木板做匀加速运动，加速度大小为

故C错误；
D．匀变速直线运动在一段时间间隔的中间时刻的瞬时速度，等于这段时间内的平均速度，所以有

故D正确。
故选D。
5．如图所示，木块在水中沿竖直方向做简谐运动。运动过程木块受到的合力F和动能Ek随相对平衡位置的位移x、运动的速度v和相对平衡位置的位移x随时间t变化的关系图像可能正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A．根据简谐运动的规律可得，浮力与重力平衡，则有

则运动过程木块受到的合力F应该过二四象限，A错误；
B．随着增大，势能增大，由能量守恒可得，动能应减小，B错误；
CD．因为木块在水中沿竖直方向做简谐运动，故运动的速度v和相对平衡位置的位移x随时间t变化的关系图像都应该是三角函数的波形，D错误，C正确。
故选C。
6．如图所示，一质量为M的物块静止于A点，绳长为L，现给物块施加一初速度v，物块抵达B点时的速度恰好为0，且此时拉物块B的绳与竖直方向成45°夹角，绳长保持不变，若不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）

A．物块将做简谐运动
B．满足关系式v2=gL
C．物块第二次经过A点时的速度与第一次经过A点时的速度不同
D．设物块在运动时绳与竖直方向的夹角为β（β ≤ 45°），则当夹角为β时，绳子对物块的拉力大小为Mg(2 - cosβ)
【答案】C
【解析】A．由题知物块B的绳与竖直方向成45°夹角，不满足单摆摆角小于5°（现在一般认为是小于10°）的条件，则物块的运动不能视为简谐运动，A错误；
B．根据动能定理有
- mg(L - Lcos45°) = 0 - mv2
经过计算有
v2= (2 - )gL
B错误；
C．由于速度是矢量，第一次经过C点的速度方向向左，第二次经过C点的速度方向向右，则物块第二次经过A点时的速度与第一次经过A点时的速度不同，C正确；
D．当夹角为β时对物块受力分析如下图

根据受力分析有
FT= mgy = mgcosβ
D错误。
故选C。
7．如图所示，倾角为的光滑斜面顶端有一固定挡板，轻弹簧上端与挡板相连，下端与滑块相连。当弹簧处于原长时，由静止释放滑块，滑块运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，已知重力加速度为。则（　　）

A．滑块在最低点的加速度大于
B．弹簧劲度系数越大，滑块的振幅越小
C．弹簧劲度系数越大，滑块的最大速度越大
D．斜面的倾角越大，滑块最大速度位置离挡板越近
【答案】B
【解析】AB．设滑块沿斜面下滑的距离为x，弹簧劲度系数为k，最低点时，滑块减小的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能有

可得


可得滑块在最低点的加速度等于，弹簧劲度系数越大，滑块的振幅越小故B正确，A错误；
CD．当滑块加速度等于零时，滑块速度最大，由


可得


可得弹簧劲度系数越大，滑块的最大速度越小，斜面的倾角越大，滑块最大速度位置离挡板越远，故CD错误；
故选B。

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
8．做单摆实验时，小球可能在水平面内做圆周运动形成圆锥摆。为避免单摆做圆锥摆引起的误差，可采用双线摆代替单摆来改进实验装置。如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，两根线的长度均为l、与竖直方向的夹角均为θ，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．若单摆做圆锥摆运动，其做圆锥摆运动的周期小于单摆的周期
B．这个双线摆的摆长为l＋
C．这个双线摆的周期为T=
D．图中双线摆的θ角越小越好
E.小球宜采用密度大的铅球或者铁球
【答案】ACE
【解析】A．若为圆锥摆时，则

解得

小于单摆的周期

选项A正确；
B．这个双线摆的摆长为
L=lcosθ＋
选项B错误；
C．这个双线摆的周期为

选项C正确；
D．图中双线摆的θ角太小的话，摆动起来越不稳定，选项D错误；
E．小球宜采用密度大的铅球或者铁球，以减小空气阻力的影响，选项E正确。
故选ACE。
9．在弛豫过程中通过测定横向磁化矢量M x y 可得知生物组织的磁共振信号。按法拉第定律，磁矢量M x y的变化使环绕在人体周围的接收线圈产生感应电动势，这个可以放大的感应电流即MR信号。90°脉冲后，由于受时间的影响，磁共振信号以指数曲线形式衰减，称为自由感应衰减，如图所示。对此下列说法正确的是（　　）

A．该图像类似于受迫运动
B．该图像类似于阻尼振动
C．该图像的频率取决于固有频率
D．该图像的振动频率由振动系统决定
【答案】BCD
【解析】A．受迫振动的振幅和频率都是不变，则该图像于受迫运动不是类似的，选项A错误；
B．由图像可知，振幅之间递减，则该图像类似于阻尼振动，选项B正确；
CD．该图像的频率取决于固有频率，而固有频率是由振动系统决定的，选项CD正确；
故选BCD。
10．如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体A，A和B通过细绳绕过定滑轮连接，已知A的质量为mA，B的质量为mB，弹簧的劲度系数为k，不计滑轮摩擦，开始时A位于O点，系统处于静止状态A在P点时弹簧处于原长，现将A物体由P点静止释放，A物体不会和定滑轮相碰，当B向下运动到最低点时绳子恰好被拉断且弹簧未超过弹性限度。已知弹簧振子的周期公式为，则下列说法正确的是（　　）

A．绳子能承受的最大拉力为2mBg
B．弹簧的最大弹性势能是
C．绳断后A物体回到位置O时的速度大小为
D．从绳断到A物体第一次回到位置O时所用的时间
【答案】BCD
【解析】A．将A、B作为整体，A在P点时弹簧处于原长，根据牛顿第二定律

根据对称性，B到达最低点的加速度与初始位置大小相等，因此

解得绳子能承受的最大拉力

A错误；
B．A处于O位置时，根据平衡条件

物体B下降到最低位置时，根据对称性，弹簧伸长量为2x1 ，因此最大弹性势能

B正确；
C．绳断后A物体回到位置O时，根据机械能守恒

可得A的速度

C正确；
D．绳段后，平衡位置为P点，从绳断到A物体第一次回到位置O时所用的时间

D正确。
故选BCD。
三、非选择题：共6小题，共54分，考生根据要求作答。
11．如图，做“用单摆测重力加速度”的实验装置。

（1）实验前根据单摆周期公式推导出重力加速度的表达式，四位同学对表达式有不同的观点。
同学甲认为，T一定时，g与l成正比。
同学乙认为，l一定时，g与T2成正比。
同学丙认为，l变化时，T2是不变的。
同学丁认为，l变化时，l与T2比值是定值。
其中观点正确的是_________（选填“甲”、“乙”、“丙”或“丁”）
（2）实验时摆线与悬点连接处用铁架夹住摆线，用米尺测得摆线长度，用秒表测得摆球直径和50次全振动时间。下表是某次记录的一组数据，请填空。
次数
摆线长度（cm）
摆球直径（cm）
50次全振动时间（s）
摆长L（cm）
重力加速度g
（m/s2）
1
87.00
2.0
100.0
______
______
（3）某同学实验时，随意地将摆线绕在铁架上，其他操作同上，则其对测得重力加速度的结果_________（选填“有影响”或“无影响”），理由是_______________。
【答案】丁 88cm 有影响 如果实验时，随意地将摆线绕在铁架上，那么小球摆动时，悬点和摆长会发生变化，进而影响对加速度的测量。
【解析】(1)[1]根据

得

是当地重力加速度，与、无关，所以甲乙同学错误；
摆长变化时，会随之变化，丙同学错误；
l变化时，l与T2比值是定值，丁同学正确；
故选填“丁”。
(2)[2][3]摆长L等于摆线长度加摆球半径

由单摆公式

重力加速度

(3)[4][5]某同学，则其对测得重力加速度的结果有影响，理由是如果实验时，随意地将摆线绕在铁架上，那么小球摆动时，悬点和摆长会发生变化，进而影响对加速度的测量。
12．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，某同学测出多组摆长L与周期T的数据，并输入计算机生成如图所示的T2－L图像，计算机显示图线的斜率为k，根据T2－L图像__________（填写“能”或“不能”）求出当地的重力加速度，如填写“能”，写出重力加速度的表达式g=__________。

【答案】能
【解析】[1]由单摆的周期公式可得

因为图线斜率为，所以能求出当地的重力加速度。
[2]重力加速度的表达式

13．如图，轻质弹簧一端固定，另一端连接套在水平光滑杆上的质量为m的小球A，A以O点为平衡位置振动。小球B在竖直平面内以O′为圆心做匀速圆周运动（O与O′在同一竖直线上），角速度为ω，半径为R。用竖直向下的平行光照射小球B，可以观察到小球B在水平杆上的“影子”和小球A在任何瞬间都重合。由此可知：小球A的振动周期为______，弹簧的劲度系数为______。

【答案】 mω2
【解析】[1] 小球B在水平杆上的“影子”和小球A在任何瞬间都重合，则小球B在水平方向上的影子的速度时刻与小球A的速度相等，小球A振动周期与小球B做匀速圆周运动周期相等即

[2] 小球B做匀速圆周运动线速度为

加速度为

在水平方向上B的加速度水平分量与A的加速度相同，当小球A到达最左端和最右端时的加速度最大，此时B的加速度水平分量恰好等于其向心加速度，即小球A的最大加速度与小球B做匀速圆周运动的向心加速度相等为，则有
弹簧的弹力

解得弹簧的劲度系数为

14．长度为L的轻杆和固定在杆自由端上的小铅球组成一个单摆，小铅球的质量为m。现在杆上再套一颗同质量的珍珠，它可以沿着过距轻杆上端处的水平线自由地滑动，如图所示，求这种异型摆微小振动时的周期。忽略空气阻力和一切摩擦。

【答案】
【解析】先将摆拉至与竖直方向成 角的位置，放手后摆到平衡位置时的角速度为 ，由机械能守恒定律，有

设想有一单摆与之等效，振动时有相同的角速度 ，摆球质量为，摆长为，也从最大偏角为 的位置释放，同理有

得等效摆长

所以此摆的振动周期

15．某型号的网红“水帘秋千”如图所示，它与平常秋千的不同之处是钢铁做成的秋千架上装有273个独立竖直向下的出水孔，在系统控制下能够间断性出水，从而形成一个有孔洞的水帘。假设秋千摆长。人坐在座板上，头顶到座板的距离为，鞋底到座板的距离为，忽略绳的重力和空气阻力，人与座板整体的重心在座板上。假设秋千的摆动周期与同摆长的单摆做简谐运动的周期相同；出水孔打开时，水的初速度为零。以秋千座板从最高点刚要向下摆动时作为计时起点，此刻，比座板略宽的范围内的所有出水孔都是关闭的。取，，，，。计算结果均保留到小数点后面两位。求：
（1）在秋千第一次从最高点运动到最低点的过程中，哪个时刻打开出水孔，水刚好不能淋湿人的头顶；
（2）在秋千第二次到达最低点之前最迟哪个时刻关闭出水孔，水刚好不能淋湿人体的任何部位；
（3）接第（2）问，当秋千第二次到达最低点时，水又刚好不能淋湿人的头顶，那么，出水孔关闭了多长时间。

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）秋千的摆动周期为

水刚好不能淋湿人的头顶，即水恰好运动到头顶，有

代入数据解得

水落到头顶需要的时间为，则有
水刚好不能淋湿人的头顶，打开出水孔的时刻为

（2）水刚好不能淋湿人体的任何部位，即水刚好运动鞋底，有
水运动到鞋底的时间为，则有

解得

则在秋千第二次到达最低点之前关闭出水孔的时刻为

（3）当秋千第二次到达最低点时，水又刚好不能淋湿人的头顶，则关闭的时间为

16．已知质量为的物体在受到的回复力作用下，将做简谐运动，其偏离平衡位置的位移与时间t的关系到遵循规律，其中，为比例系数，A为振幅。如图，一竖直光滑的足够长圆管，内有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端固定于地面上，上端与一质量为m的圆盘a相连，圆盘a静止时所在位置为O。另一质量为2m的圆盘b从距O高度为的P点由静止开始下落，与a发生碰撞，瞬间粘在一起向下运动，运动的最低点为Q。两圆盘厚度不计，半径相同且略小于圆管半径。在运动过程中，弹簧形变始终在弹性限度内，且当形变量为时，弹性势能为。重力加速度为g，忽略一切阻力。求：
（1）整个运动过程系统损失的机械能；
（2）圆盘a、b碰后做简谐运动的振幅；
（3）从圆盘b开始下落到第一次运动至最低点Q所用的时间。

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）b从P点到O点，由动能定理得

碰撞过程由动量守恒，得

损失的机械能

可得

（2）圆盘a处于O点时，弹簧压缩了l0，由胡克定律得

碰后a、b一起运动了l1到达最低点Q，由能量守恒得

解得

a、b处于平衡位置M时，弹簧压缩了l2，由胡克定律得
3mg=kl2
所以振幅

（3）开始圆盘b做自由落体运动

由题意可知，a、b一起做简谐运动的周期

OM距离为

为振幅的一半，由简谐运动时间关系可知，从O到M的时间

从M到最低点Q的时间

所以总时间