2021-2022学年广东省东莞市石碣镇中考考前最后一卷数学试卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.如图,用一个半径为6cm的定滑轮带动重物上升,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,绳索端点G向下移动了3πcm,则滑轮上的点F旋转了( )
A.60° B.90° C.120° D.45°
2.下列计算正确的是
A.a2·a2=2a4 B.(-a2)3=-a6 C.3a2-6a2=3a2 D.(a-2)2=a2-4
3.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:
甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表数据,从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛,应该选择( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.如图,平面直角坐标系xOy中,四边形OABC的边OA在x轴正半轴上,BC∥x轴,∠OAB=90°,点C(3,2),连接OC.以OC为对称轴将OA翻折到OA′,反比例函数y=的图象恰好经过点A′、B,则k的值是( )
A.9 B. C. D.3
5.如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为( )
A.65° B.130° C.50° D.100°
6.在一个直角三角形中,有一个锐角等于45°,则另一个锐角的度数是( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
7.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN等于( )
A. B. C. D.
8.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC、BD于点E、P,连接OE,∠ADC=60°,AB=BC=1,则下列结论:
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=AD⑤S△APO=,正确的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图是将正方体切去一个角后形成的几何体,则该几何体的左视图为( )
A. B. C. D.
10.不等式3x<2(x+2)的解是( )
A.x>2 B.x<2 C.x>4 D.x<4
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.钓鱼岛周围海域面积约为170000平方千米,170000用科学记数法表示为______.
12.当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,且其中一个根为另一个根的2倍时,称之为“倍根方程”.如果关于x的一元二次方程x2+(m﹣2)x﹣2m=0是“倍根方程”,那么m的值为_____.
13.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的长为1,点P是线段BD上的一点,联结CP,将△BCP沿着直线CP翻折,若点B落在边AD上的点E处,且EP//AB,则AB的长等于________.
14.如图,已知⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD的度数是_____.
15.如图,一组平行横格线,其相邻横格线间的距离都相等,已知点A、B、C、D、O都在横格线上,且线段AD,BC交于点O,则AB:CD等于______.
16.在ABCD中,AB=3,BC=4,当ABCD的面积最大时,下列结论:①AC=5;②∠A+∠C=180o;③AC⊥BD;④AC=BD.其中正确的有_________.(填序号)
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)经过江汉平原的沪蓉(上海﹣成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①,一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向,测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处,测得∠ACB=68°.
(1)求所测之处江的宽度(sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.1.);
(2)除(1)的测量方案外,请你再设计一种测量江宽的方案,并在图②中画出图形.(不用考虑计算问题,叙述清楚即可)
18.(8分)如图,已知在中,,是的平分线.
(1)作一个使它经过两点,且圆心在边上;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)判断直线与的位置关系,并说明理由.
19.(8分)某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件.受美元走低的影响,从去年1至9月,该配件的原材料价格一路攀升,每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9,且x取整数)之间的函数关系如下表:
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1(元/件)
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台,原材料价格的涨势趋缓,10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12,且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势:
(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出y1 与x之间的函数关系式,根据如图所示的变化趋势,直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式;
(2)若去年该配件每件的售价为1000元,生产每件配件的人力成本为50元,其它成本30元,该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1(1≤x≤9,且x取整数),10至12月的销售量p2(万件)p2=﹣0.1x+2.9(10≤x≤12,且x取整数).求去年哪个月销售该配件的利润最大,并求出这个最大利润.
20.(8分)综合与实践﹣﹣﹣折叠中的数学
在学习完特殊的平行四边形之后,某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究.
问题背景:
在矩形ABCD中,点E、F分别是BC、AD 上的动点,且BE=DF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠,点C落在点C′处,点D落在点D′处,射线EC′与射线DA相交于点M.
猜想与证明:
(1)如图1,当EC′与线段AD交于点M时,判断△MEF的形状并证明你的结论;
操作与画图:
(2)当点M与点A重合时,请在图2中作出此时的折痕EF和折叠后的图形(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,标注相应的字母);
操作与探究:
(3)如图3,当点M在线段DA延长线上时,线段C′D'分别与AD,AB交于P,N两点时,C′E与AB交于点Q,连接MN 并延长MN交EF于点O.
求证:MO⊥EF 且MO平分EF;
(4)若AB=4,AD=4,在点E由点B运动到点C的过程中,点D'所经过的路径的长为 .
21.(8分)在正方形ABCD中,AB=4cm,AC为对角线,AC上有一动点P,M是AB边的中点,连接PM、PB,设A、P两点间的距离为xcm,PM+PB长度为ycm.
小东根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如表:
x/cm
0
1
2
3
4
5
y/cm
6.0
4.8
4.5
6.0
7.4
(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象.
(3)结合画出的函数图象,解决问题:PM+PB的长度最小值约为______cm.
22.(10分)如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座BC=0.60米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.50米米,篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米,篮板底部支架HF与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮框D到地面的距离(精确到0.01米).
(参考数据:cos75°≈0.2588, sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,,)
23.(12分)为缓解交通压力,市郊某地正在修建地铁站,拟同步修建地下停车库.如图是停车库坡道入口的设计图,其中MN是水平线,MN∥AD,AD⊥DE,CF⊥AB,垂足分别为D,F,坡道AB的坡度=1:3,AD=9米,点C在DE上,CD=0.5米,CD是限高标志牌的高度(标志牌上写有:限高 米).如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长,则该停车库限高多少米?(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈3.16)
24.(1)如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,∠MPN=90°,且∠MPN的直角顶点在BC边上,BP=1.
①特殊情形:若MP过点A,NP过点D,则= .
②类比探究:如图2,将∠MPN绕点P按逆时针方向旋转,使PM交AB边于点E,PN交AD边于点F,当点E与点B重合时,停止旋转.在旋转过程中,的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
(2)拓展探究:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD⊥AB,⊙A的半径为1,点E是⊙A上一动点,CF⊥CE交AD于点F.请直接写出当△AEB为直角三角形时的值.
参考答案
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1、B
【解析】
由弧长的计算公式可得答案.
【详解】
解:由圆弧长计算公式,将l=3π代入,
可得n =90,
故选B.
【点睛】
本题主要考查圆弧长计算公式,牢记并运用公式是解题的关键.
2、B
【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式逐项进行计算即可得.
【详解】A. a2·a2=a4 ,故A选项错误;
B. (-a2)3=-a6 ,正确;
C. 3a2-6a2=-3a2 ,故C选项错误;
D. (a-2)2=a2-4a+4,故D选项错误,
故选B.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
3、A
【解析】
首先比较平均数,平均数相同时选择方差较小的运动员参加.
【详解】
∵=>=,
∴从甲和丙中选择一人参加比赛,
∵=<<,
∴选择甲参赛,
故选A.
【点睛】
此题主要考查了平均数和方差的应用,解题关键是明确平均数越高,成绩越高,方差越小,成绩越稳定.
4、C
【解析】
设B(,2),由翻折知OC垂直平分AA′,A′G=2EF,AG=2AF,由勾股定理得OC=,根据相似三角形或锐角三角函数可求得A′(,),根据反比例函数性质k=xy建立方程求k.
【详解】
如图,过点C作CD⊥x轴于D,过点A′作A′G⊥x轴于G,连接AA′交射线OC于E,过E作EF⊥x轴于F,
设B(,2),
在Rt△OCD中,OD=3,CD=2,∠ODC=90°,
∴OC==,
由翻折得,AA′⊥OC,A′E=AE,
∴sin∠COD=,
∴AE=,
∵∠OAE+∠AOE=90°,∠OCD+∠AOE=90°,
∴∠OAE=∠OCD,
∴sin∠OAE==sin∠OCD,
∴EF=,
∵cos∠OAE==cos∠OCD,
∴,
∵EF⊥x轴,A′G⊥x轴,
∴EF∥A′G,
∴,
∴,,
∴,
∴A′(,),
∴,
∵k≠0,
∴,
故选C.
【点睛】
本题是反比例函数综合题,常作为考试题中选择题压轴题,考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等,解题关键是通过设点B的坐标,表示出点A′的坐标.
5、C
【解析】
试题分析:∵PA、PB是⊙O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠OAP=∠OBP=90°,又∵∠AOB=2∠C=130°,则∠P=360°﹣(90°+90°+130°)=50°.故选C.
考点:切线的性质.
6、C
【解析】
根据直角三角形两锐角互余即可解决问题.
【详解】
解:∵直角三角形两锐角互余,
∴另一个锐角的度数=90°﹣45°=45°,
故选C.
【点睛】
本题考查直角三角形的性质,记住直角三角形两锐角互余是解题的关键.
7、A
【解析】
连接AM,根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC,根据勾股定理求得AM的长,再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长.
【详解】
解:连接AM,
∵AB=AC,点M为BC中点,
∴AM⊥CM(三线合一),BM=CM,
∵AB=AC=5,BC=6,
∴BM=CM=3,
在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,
∴根据勾股定理得:AM=
=
=4,
又S△AMC=MN•AC=AM•MC,
∴MN=
= .
故选A.
【点睛】
综合运用等腰三角形的三线合一,勾股定理.特别注意结论:直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边.
8、D
【解析】
①先根据角平分线和平行得:∠BAE=∠BEA,则AB=BE=1,由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得:△ABE是等边三角形,由外角的性质和等腰三角形的性质得:∠ACE=30°,最后由平行线的性质可作判断;
②先根据三角形中位线定理得:OE=AB=,OE∥AB,根据勾股定理计算OC=和OD的长,可得BD的长;
③因为∠BAC=90°,根据平行四边形的面积公式可作判断;
④根据三角形中位线定理可作判断;
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得:S△AOE=S△EOC=OE•OC=,,代入可得结论.
【详解】
①∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC=60°,
∴∠DAE=∠BEA,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE=1,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=BE=1,
∵BC=2,
∴EC=1,
∴AE=EC,
∴∠EAC=∠ACE,
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°,
∴∠ACE=30°,
∵AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACE=30°,
故①正确;
②∵BE=EC,OA=OC,
∴OE=AB=,OE∥AB,
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°,
Rt△EOC中,OC=,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BCD=∠BAD=120°,
∴∠ACB=30°,
∴∠ACD=90°,
Rt△OCD中,OD=,
∴BD=2OD=,故②正确;
③由②知:∠BAC=90°,
∴S▱ABCD=AB•AC,
故③正确;
④由②知:OE是△ABC的中位线,
又AB=BC,BC=AD,
∴OE=AB=AD,故④正确;
⑤∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=,
∴S△AOE=S△EOC=OE•OC=××,
∵OE∥AB,
∴,
∴,
∴S△AOP= S△AOE==,故⑤正确;
本题正确的有:①②③④⑤,5个,
故选D.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算;熟练掌握平行四边形的性质,证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键,并熟练掌握同高三角形面积的关系.
9、C
【解析】
看到的棱用实线体现.故选C.
10、D
【解析】
不等式先展开再移项即可解答.
【详解】
解:不等式3x<2(x+2),
展开得:3x<2x+4,
移项得:3x-2x<4,
解之得:x<4.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式,解题的关键是熟练的掌握解一元一次不等式的步骤.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11、
【解析】
解:将170000用科学记数法表示为:1.7×1.故答案为1.7×1.
12、-1或-4
【解析】
分析:
设“倍根方程”的一个根为,则另一根为,由一元二次方程根与系数的关系可得,由此可列出关于m的方程,解方程即可求得m的值.
详解:
由题意设“倍根方程”的一个根为,另一根为,则由一元二次方程根与系数的关系可得:
,
∴,
∴,
化简整理得:,解得 .
故答案为:-1或-4.
点睛:本题解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系:若一元二次方程的两根分别为,则.
13、
【解析】
设CD=AB=a,利用勾股定理可得到Rt△CDE中,DE2=CE2-CD2=1-2a2,Rt△DEP中,DE2=PD2-PE2=1-2PE,进而得出PE=a2,再根据△DEP∽△DAB,即可得到,即,可得,即可得到AB的长等于.
【详解】
如图,设CD=AB=a,则BC2=BD2-CD2=1-a2,
由折叠可得,CE=BC,BP=EP,
∴CE2=1-a2,
∴Rt△CDE中,DE2=CE2-CD2=1-2a2,
∵PE∥AB,∠A=90°,
∴∠PED=90°,
∴Rt△DEP中,DE2=PD2-PE2=(1-PE)2-PE2=1-2PE,
∴PE=a2,
∵PE∥AB,
∴△DEP∽△DAB,
∴,即,
∴,
即a2+a-1=0,
解得(舍去),
∴AB的长等于AB=.
故答案为.
14、32°
【解析】
根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°,求出∠A的度数,根据圆周角定理解答即可.
【详解】
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠ABD=58°,
∴∠A=32°,
∴∠BCD=32°,
故答案为32°.
15、2:1.
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E,延长EO交CD于点F,可得OF⊥CD,由AB//CD,可得△AOB∽△DOC,根据相似三角形对应高的比等于相似比可得,由此即可求得答案.
【详解】
如图,过点O作OE⊥AB于点E,延长EO交CD于点F,
∵AB//CD,∴∠OFD=∠OEA=90°,即OF⊥CD,
∵AB//CD,∴△AOB∽△DOC,
又∵OE⊥AB,OF⊥CD,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,
∴=,
故答案为:2:1.
【点睛】
本题考查了相似三角形的的判定与性质,熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解本题的关键.
16、①②④
【解析】
由当ABCD的面积最大时,AB⊥BC,可判定ABCD是矩形,由矩形的性质,可得②④正确,③错误,又由勾股定理求得AC=1.
【详解】
∵当ABCD的面积最大时,AB⊥BC,
∴ABCD是矩形,
∴∠A=∠C=90°,AC=BD,故③错误,④正确;
∴∠A+∠C=180°;故②正确;
∴AC==1,故①正确.
故答案为:①②④.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理.注意证得▱ABCD是矩形是解此题的关键.
三、解答题(共8题,共72分)
17、 (1)21米(2)见解析
【解析】
试题分析:(1)根据题意易发现,直角三角形ABC中,已知AC的长度,又知道了∠ACB的度数,那么AB的长就不难求出了.
(2)从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的.
解:(1)在Rt△BAC中,∠ACB=68°,
∴AB=AC•tan68°≈100×2.1=21(米)
答:所测之处江的宽度约为21米.
(2)
①延长BA至C,测得AC做记录;②从C沿平行于河岸的方向走到D,测得CD,做记录;③测AE,做记录.根据△BAE∽△BCD,得到比例线段,从而解答
18、(1)见解析;(2)与相切,理由见解析.
【解析】
(1)作出AD的垂直平分线,交AB于点O,进而利用AO为半径求出即可;
(2)利用半径相等结合角平分线的性质得出OD∥AC,进而求出OD⊥BC,进而得出答案.
【详解】
(1)①分别以为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于点和,
②作直线,与相交于点,
③以为圆心,为半径作圆,如图即为所作;
(2)与相切,理由如下:
连接OD,
为半径,
,
是等腰三角形,
,
平分,
,
,
,
,
,
,
为半径,
与相切.
【点睛】
本题主要考查了切线的判定以及线段垂直平分线的作法与性质等知识,掌握切线的判定方法是解题关键.
19、(1)y1=20x+540,y2=10x+1;(2)去年4月销售该配件的利润最大,最大利润为450万元.
【解析】
(1)利用待定系数法,结合图象上点的坐标求出一次函数解析式即可;
(2)根据生产每件配件的人力成本为50元,其它成本30元,以及售价销量进而求出最大利润.
【详解】
(1)利用表格得出函数关系是一次函数关系:
设y1=kx+b,
∴
解得:
∴y1=20x+540,
利用图象得出函数关系是一次函数关系:
设y2=ax+c,
∴
解得:
∴y2=10x+1.
(2)去年1至9月时,销售该配件的利润w=p1(1000﹣50﹣30﹣y1),
=(0.1x+1.1)(1000﹣50﹣30﹣20x﹣540)=﹣2x2+16x+418,
=﹣2( x﹣4)2+450,(1≤x≤9,且x取整数)
∵﹣2<0,1≤x≤9,∴当x=4时,w最大=450(万元);
去年10至12月时,销售该配件的利润w=p2(1000﹣50﹣30﹣y2)
=(﹣0.1x+2.9)(1000﹣50﹣30﹣10x﹣1),
=( x﹣29)2,(10≤x≤12,且x取整数),
∵10≤x≤12时,∴当x=10时,w最大=361(万元),
∵450>361,∴去年4月销售该配件的利润最大,最大利润为450万元.
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用,根据已知得出函数关系式以及利用函数增减性得出函数最值是解题关键.
20、(1)△MEF是等腰三角形(2)见解析(3)证明见解析(4)
【解析】
(1)由AD∥BC,可得∠MFE=∠CEF,由折叠可得,∠MEF=∠CEF,依据∠MFE=∠MEF,即可得到ME=MF,进而得出△MEF是等腰三角形;
(2)作AC的垂直平分线,即可得到折痕EF,依据轴对称的性质,即可得到D'的位置;
(3)依据△BEQ≌△D'FP,可得PF=QE,依据△NC'P≌△NAP,可得AN=C'N,依据Rt△MC'N≌Rt△MAN,可得∠AMN=∠C'MN,进而得到△MEF是等腰三角形,依据三线合一,即可得到MO⊥EF 且MO平分EF;
(4)依据点D'所经过的路径是以O为圆心,4为半径,圆心角为240°的扇形的弧,即可得到点D'所经过的路径的长.
【详解】
(1)△MEF是等腰三角形.
理由:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠MFE=∠CEF,
由折叠可得,∠MEF=∠CEF,
∴∠MFE=∠MEF,
∴ME=MF,
∴△MEF是等腰三角形.
(2)折痕EF和折叠后的图形如图所示:
(3)如图,
∵FD=BE,
由折叠可得,D'F=DF,
∴BE=D'F,
在△NC'Q和△NAP中,∠C'NQ=∠ANP,∠NC'Q=∠NAP=90°,
∴∠C'QN=∠APN,
∵∠C'QN=∠BQE,∠APN=∠D'PF,
∴∠BQE=∠D'PF,
在△BEQ和△D'FP中,
,
∴△BEQ≌△D'FP(AAS),
∴PF=QE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,
∴AD﹣FD=BC﹣BE,
∴AF=CE,
由折叠可得,C'E=EC,
∴AF=C'E,
∴AP=C'Q,
在△NC'Q和△NAP中,
,
∴△NC'P≌△NAP(AAS),
∴AN=C'N,
在Rt△MC'N和Rt△MAN中,
,
∴Rt△MC'N≌Rt△MAN(HL),
∴∠AMN=∠C'MN,
由折叠可得,∠C'EF=∠CEF,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AFE=∠FEC,
∴∠C'EF=∠AFE,
∴ME=MF,
∴△MEF是等腰三角形,
∴MO⊥EF 且MO平分EF;
(4)在点E由点B运动到点C的过程中,点D'所经过的路径是以O为圆心,4为半径,圆心角为240°的扇形的弧,如图:
故其长为L=.
故答案为.
【点睛】
此题是四边形综合题,主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、弧长计算公式,等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用,熟练掌握等腰三角形的判定定理和性质定理是解本题的关键.
21、(1)2.1;(2)见解析;(3)x=2时,函数有最小值y=4.2
【解析】
(1)通过作辅助线,应用三角函数可求得HM+HN的值即为x=2时,y的值;
(2)可在网格图中直接画出函数图象;
(3)由函数图象可知函数的最小值.
【详解】
(1)当点P运动到点H时,AH=3,作HN⊥AB于点N.
∵在正方形ABCD中,AB=4cm,AC为对角线,AC上有一动点P,M是AB边的中点,∴∠HAN=42°,∴AN=HN=AH•sin42°=3,∴HM,HB,∴HM+HN==≈≈2.122+2.834≈2.1.
故答案为:2.1;
(2)
(3)根据函数图象可知,当x=2时,函数有最小值y=4.2.
故答案为:4.2.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
22、3.05米.
【解析】
延长FE交CB的延长线于M,过A作AG⊥FM于G,解直角三角形即可得到结论.
【详解】
延长FE交CB的延长线于M,过A作AG⊥FM于G,
在Rt△ABC中,tan∠ACB=,
∴AB=BC•tan75°=0.60×3.732=2.2392,
∴GM=AB=2.2392,
在Rt△AGF中,∵∠FAG=∠FHD=60°,sin∠FAG=,
∴sin60°=,
∴FG=2.165,
∴DM=FG+GM﹣DF≈3.05米.
答:篮框D到地面的距离是3.05米.
考点:解直角三角形的应用.
23、2.1.
【解析】
据题意得出tanB = , 即可得出tanA, 在Rt△ADE中, 根据勾股定理可求得DE, 即可得出∠FCE的正切值, 再在Rt△CEF中, 设EF=x,即可求出x, 从而得出CF=1x的长.
【详解】
解:
据题意得tanB=,
∵MN∥AD,
∴∠A=∠B,
∴tanA=,
∵DE⊥AD,
∴在Rt△ADE中,tanA=,
∵AD=9,
∴DE=1,
又∵DC=0.5,
∴CE=2.5,
∵CF⊥AB,
∴∠FCE+∠CEF=90°,
∵DE⊥AD,
∴∠A+∠CEF=90°,
∴∠A=∠FCE,
∴tan∠FCE=
在Rt△CEF中,CE2=EF2+CF2
设EF=x,CF=1x(x>0),CE=2.5,
代入得()2=x2+(1x)2
解得x=(如果前面没有“设x>0”,则此处应“x=±,舍负”),
∴CF=1x=≈2.1,
∴该停车库限高2.1米.
【点睛】
点评: 本题考查了解直角三角形的应用, 坡面坡角问题和勾股定理, 解题的关键是坡度等于坡角的正切值.
24、 (1) ①特殊情形:;②类比探究: 是定值,理由见解析;(2) 或
【解析】
(1)证明,即可求解;
(2)点E与点B重合时,四边形EBFA为矩形,即可求解;
(3)分时、时,两种情况分别求解即可.
【详解】
解:(1),
,
故答案为;
(2)点E与点B重合时,四边形EBFA为矩形,
则为定值;
(3)①当时,如图3,
过点E、F分别作直线BC的垂线交于点G,H,
由(1)知:,
,同理,
.
则,
则 ;
②当时,如图4,
,
则
,
,则,
,
则 ,
故或 .
【点睛】
本题考查的圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形的基本知识,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.
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