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物理必修 第二册1 功导学案
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这是一份物理必修 第二册1 功导学案，共22页。学案主要包含了复述动能定理★☆☆☆☆☆，能够运用动能定理★★★★☆☆等内容，欢迎下载使用。
动能定理
1．内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
2．表达式：W＝mv－mv＝Ek2－Ek1.
3．物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度．
4．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用.
二、能够运用动能定理★★★★☆☆
应用动能定理解题的基本思路
(1)选取研究对象，明确它的运动过程；
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
(3)明确研究对象在过程的初末状态的动能Ek1和Ek2；
(4)列动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程，进行求解．
关于动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是( )
A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B．公式中的W为包含重力在内的所有力做的功，也可通过以下两种方式计算：先求每个力的功再求功的代数和或先求合外力再求合外力的功
C．公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W>0时动能增加，当W<0时，动能减少
D．动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功
答案 BC
甲、乙两物体质量之比m1∶m2＝1∶2，它们与水平桌面间的动摩擦因数相同，在水平桌面上运动时，因受摩擦力作用而停止．
(1)若它们的初速度相同，则运动位移之比为________；
(2)若它们的初动能相同，则运动位移之比为________．
答案 (1)1∶1 (2)2∶1
解析 设两物体与水平桌面间的动摩擦因数为μ.
(1)它们的初速度相同，设为v0，由动能定理得：
－μm1gl1＝0－m1v
－μm2gl2＝0－m2v
所以l1∶l2＝1∶1.
(2)它们的初动能相同，设为Ek，由动能定理得：
－μm1gl1＝0－Ek
－μm2gl2＝0－Ek
所以l1∶l2＝m2∶m1＝2∶1.
小孩玩冰壶游戏，如图1所示，将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OB用水平恒力推到A点放手，此后冰壶沿直线滑行，最后停在B点．已知冰面与冰壶的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，OA＝x，AB＝L.重力加速度为g.求：
图1
(1)冰壶在A点的速率vA；
(2)冰壶从O点运动到A点的过程中受到小孩施加的水平推力F.
解析 (1)冰壶从A点运动至B点的过程中，只有滑动摩擦力对其做负功，由动能定理得
－μmgL＝0－mv
解得vA＝
(2)冰壶从O点运动至A点的过程中，水平推力F和滑动摩擦力同时对其做功，由动能定理得
(F－μmg)x＝mv
解得F＝(x),x)
答案 (1) (2)(x),x)
【过关检测】
一个初动能为E的小物块从斜面底端冲上足够长的斜面，返回斜面底端时速度大小为v，该过程物体克服摩擦力做功为．若小物块冲上斜面的初动能变为2E，则（ ）
A．返回斜面底端时动能为
B．返回斜面底端时动能为
C．返回斜面底端时速度大小为2v
D．返回斜面底端时速度大小为
【解答】解：以初动能为E冲上斜面并返回的整个过程中运用动能定理得：mV2﹣E=﹣①
设以初动能为E冲上斜面的初速度为V0，则以初动能为2E冲上斜面时，初速度为V0，加速度相同，根据2ax=V2﹣V02可知第二次冲上斜面的位移是第一次的两倍，所以上升过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，整个上升返回过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，即为E．
以初动能为2E冲上斜面并返回的整个过程中运用动能定理得：mV′2﹣2E=﹣E ②
所以返回斜面底端时的动能为E，A错误，B错误；
由①②得：V′=V，C错误，D正确．
故选D．
以初速度v0竖直向上抛出质量为m的小球，上升的最大高度是h，如果空气阻力f的大小恒定，从抛出到上升至最高点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ）
A．0B．﹣fhC．﹣mghD．
【解答】解：由功的计算公式可得阻力做的功为：=﹣fh，所以B正确，显然A错误；
由动能定理可得：﹣mgh+=0﹣，
解得：=﹣mgh，所以C、D错误．
故选：B
如图2所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力F拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A、B都向前移动一段距离．在此过程中( )
图2
A．外力F做的功等于A和B动能的增量
B．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能增量
C．A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功
D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和
答案 BD
解析 A物体所受的合外力等于B对A的摩擦力，对A物体运用动能定理，则有B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量，B对．A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑动，A、B对地的位移不等，故二者做功不等，C错．对B应用动能定理，WF－Wf＝ΔEkB，WF＝ΔEkB＋Wf，即外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和，D对．由上述讨论知B克服摩擦力所做的功与A的动能增量(等于B对A的摩擦力所做的功)不等，故A错．
在光滑斜面的底端静止着一个物体．从某时刻开始有一个沿斜面向上的恒力作用在物体上，使物体沿斜面向上滑去．经一段时间突然撤去这个恒力，又经过相同的时间，物体返回斜面的底端且具有120J的动能，求：
（1）这个恒力对物体做的功为多少？
（2）突然撤去这个恒力的时刻，物体具有的动能是多少？
【解答】解：设撤去恒力时物体的速度大小为v1，返回斜面底端时速度大小为v2
（1）对全过程用动能定理
（2）取沿斜面向上为正方向
从底端上滑到撤恒力F的过程有：
从撤去F至回到底端的过程有：
解得 v2=2v1
所以
答：（1）这个恒力对物体做的功为120J；
（2）突然撤去这个恒力的时刻，物体具有的动能是30J．
三、能够分析启动过程中的物理量的变化★★★★☆☆
机车的两种启动模型的分析
1．模型综述
物体在牵引力(受功率和速度制约)作用下，从静止开始克服一定的阻力，加速度不变或变化，最终加速度等于零，速度达到最大值．
2．模型特征
(1)以恒定功率启动的方式：
①动态过程：
②这一过程的速度—时间图象如图所示：
(2)以恒定加速度启动的方式：
①动态过程：
②这一过程的速度—时间图象如图所示：
汽车从静止开始沿平直轨道做匀加速运动，所受阻力始终不变，在此过程中，下列说法正确的是( )．
A．汽车牵引力保持不变
B．汽车牵引力逐渐增大
C．发动机输出功率不变
D．发动机输出功率逐渐增大
解析 由于阻力恒定，汽车做匀加速运动，根据F牵－f＝ma，知合力恒定，牵引力也恒定，A正确；B错误；由瞬时功率公式可知，要使牵引力恒定，就要随着速度增大，同步增大发动机的输出功率，使F牵＝保持不变，C错误，D正确．
答案 AD
汽车以额定功率在平直公路上匀速行驶．在t1时刻司机减小了油门，使汽车的功率立即变为原来的一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻汽车又开始做匀速直线运动． 若整个过程中汽车所受的阻力不变，则在t1～t2这段时间内（ ）
A．汽车的加速度逐渐减小B．汽车的加速度逐渐增大
C．汽车的速度逐渐减小D．汽车的速度先减小后增大
【解答】解：汽车的功率立即变为原来的一半，并保持该功率继续行驶，根据P=Fv，知，牵引力减小，根据牛顿第二定律知，加速度方向与速度方向相反，则速度减小，再根据P=Fv知，牵引力增大，加速度减小，做加速度减小的减速运动，当加速度减小到零，做匀速直线运动．故A、C正确，B、D错误．
故选AC．
【过关检测】
质量为m的汽车在平直的路面上启动，启动过程的速度—时间图象如图8所示，其中OA段为直线，AB段为曲线，B点后为平行于横轴的直线．已知从t1时刻开始汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力的大小恒为Ff，以下说法正确的是( )
图8
A．0～t1时间内，汽车的牵引力等于m
B．t1～t2时间内，汽车的功率等于(m＋Ff)v2
C．t1～t2时间内，汽车的平均速率小于
D．汽车运动的最大速率v2＝(＋1)v1
答案 D
解析 0～t1时间内汽车的加速度大小为，m为汽车所受的合外力大小，而不是牵引力大小，选项A错误；t1时刻汽车牵引力的功率为Fv1＝(m＋Ff)v1，之后汽车功率保持不变，选项B错误；t1～t2时间内，汽车的平均速率大于，选项C错误；牵引力等于阻力时速度最大，即t2时刻汽车速率达到最大值，则有(m＋Ff)v1＝Ffv2，解得v2＝(＋1)v1，选项D正确．
一辆汽车在水平路面上匀速直线行驶，阻力恒定为Ff.t1时刻驶入一段阻力为的路段继续行驶．t2时刻驶出这段路，阻力恢复为Ff.行驶中汽车功率恒定，则汽车的速度v及牵引力F随时间t的变化图象可能是( )
答案 AC
解析 0～t1时间内，汽车做匀速运动，F＝Ff.t1～t2时间内P＝Fv，随着v的增大，F减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动．t2时刻，F汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶．设汽车行驶时所受的阻力恒定，则下面四个图象中，哪个图象正确表示了司机从减小油门开始，汽车的速度与时间的关系（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：汽车匀速行驶时牵引力等于阻力；
功率减小一半时，汽车的速度由于惯性来不及变化，根据功率和速度关系公式P=Fv，牵引力减小一半，小于阻力，合力向后，汽车做减速运动，由公式P=Fv可知，功率一定时，速度减小后，牵引力增大，合力减小，加速度减小，故物体做加速度不断减小的减速运动，当牵引力增大到等于阻力时，加速度减为零，物体重新做匀速直线运动；
故选B．
四、能够解决恒定功率启动问题★★★★☆☆
一列火车总质量m=500t，机车发动机的额定功率P=6×105 W，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力Ff是车重的0.01倍，g取10m/s2，求：
（1）火车在水平轨道上行驶的最大速度；
（2）在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1=1m/s和v2=10m/s时，列车的瞬时加速度a1、a2各是多少；
（3）在水平轨道上以36km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；
【解答】解：（1）列车以额定功率工作时，当牵引力等于阻力，即F=Ff=kmg时列车的加速度为零，速度达最大vm，
则：vm====12 m/s．
（2）当v＜vm时列车加速运动，
当v=v1=1 m/s时，
F1==6×105 N，
据牛顿第二定律得：a1==1.1 m/s2
当v=v2=10 m/s时，F2==6×104 N
据牛顿第二定律得：a2==0.02 m/s2．
（3）当v=36 km/h=10 m/s时，列车匀速运动，
则发动机的实际功率P′=Ffv=5×105 W．
答：（1）火车在水平轨道上行驶的最大速度是12 m/s；
（2）在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1=1m/s时的加速度的大小为1.1 m/s2，当行驶速度为v2=10m/s时加速度的大小为0.02 m/s2；
（3）在水平轨道上以36km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′为5×105 W；
一台玩具起重机的电动机额定功率为P0=300W，起重机的吊绳最大承受拉力为30N，现在要将放在地面上质量为m=2.5kg的重物由静止状态提升到距地面高度为H=60m的平台上，而且要求重物要以最短时间到达平台，已知重物在到达平台之前已达最大速度．（不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2）．
求：（1）重物上升的最大速度
（2）重物到达平台的最短时间．
【解答】解：（1）当拉力等于重力时，速度最大，
根据P0=Fvm=mgvm得，最大速度．
（2）当重物先在最大拉力作用下做匀加速运动，达到额定功率后，保持功率不变，重物到达平台的时间最短．
重物匀加速运动的末速度v=，
匀加速运动的加速度a=，则匀加速运动的位移，匀加速运动的时间
设保持额定功率运动的时间为t，根据动能定理得，
代入数据解得t=3.1s
则最短时间t′=t+t1=8.1s．
答：（1）重物上升的最大速度为12m/s；
（2）重物到达平台的最短时间为8.1s．
【过关检测】
有一玩具直升机，质量m=8kg．在直升机的顶部和尾部均装有风扇，它们分别由两个电动机提供动力．利用顶部风扇的转动可以使直升机向上运动，但由于直升机自身承受能力的限制，顶部风扇的电动机最大只能输出P1=960W的功率，能提供F1=120N的最大升力；利用尾部风扇的转动可以提供F2=40N的恒定推力使直升机向前飞行．顶部风扇和尾部风扇均可通过遥控装置分别进行控制．假设直升机在运动过程中所受阻力的竖直分量和水平分量均恒定不变，且竖直分量是重力的，水平分量是重力的．（g取10m/s2）
（1）关闭尾部风扇，只打开顶部风扇，让直升机在最短时间里上升到15m高的地方，此时直升机的速度近似达到最大，求完成这一过程所需要的时间．
（2）当直升机达到15m高度时，保持顶部风扇电动机功率不变，立即开启尾部风扇，直升机继续飞行．取地面上直升机的起点为坐标原点，竖直向上为y轴，直升机水平前进的方向为x轴，写出直升机开启尾部风扇以后飞行的轨迹方程．
【解答】解：（1）要在最短时间内上升到15m高的地方，直升机应该先以最大的升力向上运动，达到最大功率后，再以最大功率向上运动．
先以最大升力上升，直升机做匀加速运动，加速度a=
经过时间t1达到最大功率，此时有Fvm=Pm，
即vm=
则，上升的高度
此后直升机顶部风扇电动机以最大功率输出，使直升机上升到15m高处，达到最大速度vmax==10m/s，需要的时间为t2．
根据动能定理有：
mvm2，
代入数据解得：t2=s
所以最短时间为t=t1+t2=3.25s
（2）达到15m高度时，顶部风扇电动机功率不变，取此时tt=0，则直升机在竖直方向上做匀速运动，有：vy=10m/s，y=15+10t
在水平方向上做匀加速直线运动，加速度
x=
消去时间得直升机飞行的轨迹方程为（y﹣15）2=50x
答：（1）完成这一过程所需要的时间为3.25s．
（2）直升机开启尾部风扇以后飞行的轨迹方程为（y﹣15）2=50x．
五、能够解决以恒定加速度启动问题★★★★☆☆
汽车发动机的功率为60KW，汽车的质量为4×103kg．当汽车在足够水平路面从静止以0.6m/s2的加速度做匀加速直线运动．求：
（1）汽车在水平路面能达到的最大速度vm1
（2）汽车在水平路面做匀加速运动能维持多长时间？
（3）在10s 末汽车的瞬时功率多大？20s末汽车的瞬时功率又是多少呢？
（4）若汽车以vm1速度驶上一倾角为θ的足够长的斜面（sinθ=0.02）．简要描述汽车作何运动，并求出在此斜面上最终速度vm2（已知汽车在行驶中所受路面阻力恒定为重力的0.1倍，g取10m/s2）
【解答】解：（1）汽车达到最大速度时，牵引力与阻力平衡有：
（2）经t时间，汽车匀加速达到额定功率时，由牛顿第二定律有：
F﹣f=ma
由运动学规律有v=at
所以汽车匀加速运动的时间：
s=15.625s
（3）t=10s时，汽车还处于匀加速阶段，
牵引力F=ma+f
瞬时速度 v=at=0.6×10m/s=6m/s
所以此时汽车的瞬时功率
P′=Fv=（4×103×0.6+0.1×4×103×10）×6W=38.4KW
t=20s时，汽车已经达到额定功率，故汽车的瞬时功率P=60KW
（4）汽车保持额定功率驶上斜面，由于行驶阻力增大，汽车牵引力增大，汽车作加速度不断减小的减速运动，直至达到最终速度vm2匀速行驶．
汽车在斜坡上行驶阻力f′=0.1mg+mgsinθ=0.12mg
汽车速度最大时牵引力与阻力相等，故在斜面上的最大速度
起重机在5s内将2×103kg的货物由静止开始匀速提升10m高，g取10m/s2，求：
（1）5s末的速度和匀加速上升的加速度分别为多少？
（2）匀加速上升的过程中，起重机对货物的拉力为多少？
（3）此起重机应具备的功率至少应为多少？
（4）若保持此功率不变，起重机能将货物提高的最大速度为多少？
【解答】解：（1）货物匀加速运动，根据x=得：
5s末的速度v=，
根据h=得：
a=
（2）根据牛顿第二定律得：
F﹣mg=ma
解得：F=2×103×10.8=2.16×104N
（3）最小功率P=Fv=2.16×104×4=8.64×104W
（4）当拉力等于重力时，速度最大，
则P=mgvm，
解得：
答：（1）5s末的速度为4m/s，匀加速上升的加速度为0.8m/s2；
（2）匀加速上升的过程中，起重机对货物的拉力为2.16×104N；
（3）此起重机应具备的功率至少应为8.64×104W；
（4）若保持此功率不变，起重机能将货物提高的最大速度为4.32m/s．
【过关检测】
额定功率为P=80kw的汽车，在某平直的公路上行驶，汽车的质量为2×103kg．如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a=2m/s2，经过时间t=15s速度达到最大速度为20m/s，并以此速度匀速运动．设运动过程中阻力不变．求：
（1）汽车所受的恒定阻力Ff；
（2）匀加速运动的时间t1；
（3）3s末汽车的瞬时功率P3；
（4）在15s内汽车运动的总路程S．
【解答】解：（1）因为牵引力等于阻力时，速度最大．根据P=Fvm=fvm得汽车所受的阻力为：
N
（2）根据牛顿第二定律得：
F﹣f=ma，
则匀加速直线运动的牵引力为：
F﹣f=ma⇒F=f+ma=4000+2000×2=8000N
匀加速直线运动的末速度为：m/s
则匀加速直线运动的时间为：s
（3）3s末的速度为：v3=at3=2×3=6m/s
则3s末的功率为：P3=Fv3=8000×6=48kw
（4）匀加速的位移为：
变加速的位移为：
得：x2=125m
总路程为：x=x1+x2=25+125=150m
答：（1）汽车所受的恒定阻力f为4000N；
（2）匀加速运动的时间t1为5s；
（3）3s末汽车的瞬时功率P3为48kW；
（4）在15s内汽车运动的总路为150m
六、能够运用动能定理解决机车启动的综合问题★★★★★☆
如图，为汽车在水平路面上启动过程的v﹣t图象．0～t1时间内为匀加速阶段，t1～t2时间内表示以额定功率行驶时的变加速阶段，t2后是与t轴平行的直线，设整个过程中汽车所受阻力恒定，则下列说法正确的是（ ）
A．0～t1时间内，牵引力增大，功率不变
B．0～t1时间内，牵引力为阻力的倍
C．若v2=2v1，则0～t1时间内，牵引力做的功为mv12
D．若t2=2t1，则t1～t2时间内，牵引力做的功为mv22（）
【解答】解：A、在0～t1时间内，做匀加速直线运动，加速度不变，根据牛顿第二定律得，F﹣f=ma，牵引力不变．根据P=Fv知，功率增大．故A错误；
B、0～t1时间内，P=F1V1，t2以后P=F2v2，此时牵引力等于阻力，故0～t1时间内，牵引力为阻力的倍，故B正确；
C、P=F1V1，t2以后P=F2v2，此时牵引力等于阻力，根据v=2aL，a=，所以牵引力F1做功W=F1L=mv，故C正确；
D、根据W=P△t=P（t2﹣t1）=Pt1=P•=P•v1=mv12（），故D错误
故选：BC
一种全自动升降机模型，用电动机通过钢丝绳拉着升降机由静止开始匀加速上升，已知升降机的质量为m，当升降机的速度为v1时，电动机的有用功率达到最大值P，以后电动机保持该功率不变，直到升降机以最大速度v2匀速上升为止，假设整个过程中忽略摩擦阻力及空气阻力，重力加速度为g．有关此过程下列说法正确的是（ ）
A．钢丝绳的最大拉力为
B．升降机的最大速度
C．钢丝绳的拉力对升降机所做的功等于升降机克服重力所做的功
D．升降机速度由v1增大至v2的过程中，钢丝绳的拉力不断减小
【解答】解：A、匀加速提升重物时钢绳拉力最大，且等于匀加速结束时的拉力，由P=Fv得Fm=，A错误；B、重物以最大速度为v2匀速上升时，F=mg，所以v2=，故B错误；C、对整个过程运用动能定理得：WF﹣WG=mv22，所以钢丝绳的拉力对升降机所做的功大于升降机克服重力所做的功，故C错误； D、升降机速度由v1增大至v2的过程中，功率不变，根据F=可知，v增大，F减小，故D正确．
故选D．
如图甲所示，某同学在水平面上用水平力拉一质量为1kg的物块，使物块由静止开始运动．该同学测得不同时刻物块的速度v和拉力F，并绘出v﹣图象（图乙），其中线段AB与v轴平行，所用时间为2s，线段BC的延长线过原点，所用时间为4s，v2为物块能达到的最大速度，此后物块的速度和拉力保持不变．不计空气阻力，则2s末（B点）拉力的功率为 W，这6s内物块的位移为 m．
【解答】解：C点速度最大，此时牵引力等于阻力，则：f=F=2N
AB阶段牵引力不变，物体做匀加速运动，则：a=
根据牛顿第二定律得：a=
解得：F=3.2N
所以2s末（B点）拉力的功率为：P=Fv=7.68W
因为BC为直线，且沿长线过原的，即动力F恒功率输出，PB=PC，
当牵引力等于阻力时，速度最大，则：m/s
前2s的位移：=2.4m
从B到C的过程中运用动能定理得：Pt2﹣fs2=﹣
解得：s2=13.1m
所以6s内的位移为s=s1+s2=15.5m
故答案为：7.68，15.5
【过关检测】
某起重机把重为500kg的货物从静止吊起，使货物沿竖直方向运动，已知吊绳能够承受最大拉力为10000N，起重机最大输出功率10kW，（空气阻力忽略不计取g=10m/s2）
求：
（1）若起重机以最大功率吊起货物，当升高到2m时速度达到最大．则货物的最大速度是多少？这一过程所用时间是多少？
（2）若货物被匀加速从静止提升，加速度的最大值为多少？此情形下起重机输出功率达到最大值后又保持功率不变继续提升货物，发现从静止共经2秒货物速度达到最大值，则整个过程中货物被提升的高度为多少？
【解答】解：
（1）速度最大时候，牵引力等于重力，由此可得：
，
由动能定理可得：
，
解得：
．
（2）绳的拉力最大时，货物加速度最大，由牛顿第二定律可得：
，
匀加速运动的末速度为：
，
匀加速运动的时间为：
，
位移为：
，
恒功率的时间为：
t2=2﹣0.1=1.9s，
由动能定理可得恒功率过程：
，
解得：
=3.65m．
故总位移为：
h=h1+h2=0.05+3.65=3.7m．
答：（1）若起重机以最大功率吊起货物，当升高到2m时速度达到最大．则货物的最大速度是2m/s，这一过程所用时间1.1s．
（2）若货物被匀加速从静止提升，加速度的最大值为10m/s2，则整个过程中货物被提升的高度为3.7m．
一辆汽车质量为3×103kg，额定功率为8×104W，发动机的最大牵引力为8×103N．该汽车在水平路面由静止开始做直线运动，设运动中所受阻力恒定．汽车匀加速直线运动所能达到的速度为v1，之后做变加速运动，达到的最大速度为v2．其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示．求：
（1）运动过程中汽车所受阻力和最大速度v2的大小；
（2）汽车匀加速直线运动中的加速度的大小；
（3）当汽车速度为8m/s及12m/s时，发动机的实际功率；
（4）该汽车由静止开始运动，经过85s达到最大速度，求汽车在BC段牵引力所做的功．
【解答】解：（1）由图可知f=2×103N
Vm==m/s=40m/s
（2 ）由牛顿第二定律得：
a==m/s2=2m/s2
（3）汽车匀加速运动的时间为t1，设此时的速度为v1，
则有：，
v1=at=10m/．s，
当v=8m/s时，P=Fv=8×103×8=6.4×104W，
当v=12m/s时，P=80KW．
（4）汽车在BC段的运动时间为：t2=t﹣t1=80s，
牵引力做功为：W=Pt2=8×104×80=6.4×106J．
答：（1）运动过程中汽车所受阻力为2×103N，最大速度v2的大小为40m/s．
（2）汽车匀加速直线运动中的加速度的大小为2m/s2．
（3）发动机的实际功率为分别为64KW，80KW．
（4）汽车在BC段牵引力所做的功为6.4×106J．
某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究．他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车的运动的全过程记录下来，通过处理转化为v﹣t图象，如图所示（除3s～10s时间段图象为曲线外，其余时间段图象为直线）．已知在小车运动的过程中，3s～14s时间段内小车的功率保持不变，在14s末停止遥控而让小车自由滑行，小车的质量为1.0kg，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变．求：
（1）小车受到的阻力及0～2s时间内电动机提供的牵引力；
（2）小车匀速行驶阶段的功率；
（3）小车0～10s时间内的位移大小．
【解答】解：（1）由图象可得：在14s～20s时间段a=m/s2=﹣0.5m/s2
小车受到阻力大小：Ff=ma=﹣0.5N（负号表示力的方向与运动方向相反）
设0～2s时间内电动机提供的牵引力为F，小车克服摩擦力加速运动，小车加速度：a′=0.5m/s2
根据牛顿第二定律：F﹣Ff=ma′
代入数据：F=1N
（2）在10s～14s小车做匀速运动，牵引力大小F 与 Ff 大小相等 F=0.5N
P=Fυ=0.5×3W=1.5W
（3）速度图象与横轴之间的“面积”等于物体运动的位移0～3s内：x1=×1.5×3m=2.25m
3s～10s内根据动能定理Pt+Ffx2=m﹣m解得x2=14.25 m
加速过程中小车的位移大小为：x=x1+x2=14.25+2.25=16.5 m
答：（1）小车所受到的阻力大小为0.5N；
（2）小车匀速行驶阶段的功率为1.5W；
（3）小车在加速运动过程中位移的大小为16.5m．
汽车发动机的额定功率为60KW，汽车的质量为5×103kg，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车的重力的0.05倍，若汽车始终保持额定的功率不变，取g=10m/s2，则从静止启动后，求：
（1）汽车所能达到的最大速度是多大？
（2）当汽车的加速度为1m/s2时，速度是多大？
（3）如果汽车由启动到速度变为最大值后，马上关闭发动机，测得汽车已通过了624m的路程，求汽车从启动到停下来一共经过多长时间？
【解答】解：（1）汽车保持额定功率不变，那么随着速度v的增大，牵引力F牵变小，当牵引力大小减至与阻力f大小相同时，物体速度v到达最大值vm．
由P额=fvm得：vm===24m/s
（2）当汽车的加速度为1m/s2时，以车为研究对象，由牛顿第二定律得：
F牵﹣f=ma…①
由P额=F牵v得：
v=…②
联立①②代入数据解之得：v=8m/s
（3）设由启动到速度最大历时为t1，关闭发动机到停止历时t2．
以运动全过程为研究过程，由动能定理得：
m=P额t1﹣fs1
代入数据解之得：t1=50s
关闭发动机后，机车在摩擦力的作用下，做匀减速运动
匀减速的加速度为a2=﹣
由运动学公式得：0﹣vm=a2t2
代入数据解之得：t2=48s
所以总时间：t=50s+48s=98s
答：（1）汽车所能达到的最大速度是24m/s；
（2）当汽车的加速度为1m/s2时，速度是8m/s；
（3）如果汽车由启动到速度变为最大值后，马上关闭发动机，测得汽车已通过了624m的路程，汽车从启动到停下来一共经过98s．
动能定理
1．内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
2．表达式：W＝mv－mv＝Ek2－Ek1.
3．物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度．
4．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用.
二、能够运用动能定理★★★★☆☆
应用动能定理解题的基本思路
(1)选取研究对象，明确它的运动过程；
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
(3)明确研究对象在过程的初末状态的动能Ek1和Ek2；
(4)列动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程，进行求解．
关于动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是( )
A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B．公式中的W为包含重力在内的所有力做的功，也可通过以下两种方式计算：先求每个力的功再求功的代数和或先求合外力再求合外力的功
C．公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W>0时动能增加，当W<0时，动能减少
D．动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功
答案 BC
甲、乙两物体质量之比m1∶m2＝1∶2，它们与水平桌面间的动摩擦因数相同，在水平桌面上运动时，因受摩擦力作用而停止．
(1)若它们的初速度相同，则运动位移之比为________；
(2)若它们的初动能相同，则运动位移之比为________．
答案 (1)1∶1 (2)2∶1
解析 设两物体与水平桌面间的动摩擦因数为μ.
(1)它们的初速度相同，设为v0，由动能定理得：
－μm1gl1＝0－m1v
－μm2gl2＝0－m2v
所以l1∶l2＝1∶1.
(2)它们的初动能相同，设为Ek，由动能定理得：
－μm1gl1＝0－Ek
－μm2gl2＝0－Ek
所以l1∶l2＝m2∶m1＝2∶1.
小孩玩冰壶游戏，如图1所示，将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OB用水平恒力推到A点放手，此后冰壶沿直线滑行，最后停在B点．已知冰面与冰壶的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，OA＝x，AB＝L.重力加速度为g.求：
图1
(1)冰壶在A点的速率vA；
(2)冰壶从O点运动到A点的过程中受到小孩施加的水平推力F.
解析 (1)冰壶从A点运动至B点的过程中，只有滑动摩擦力对其做负功，由动能定理得
－μmgL＝0－mv
解得vA＝
(2)冰壶从O点运动至A点的过程中，水平推力F和滑动摩擦力同时对其做功，由动能定理得
(F－μmg)x＝mv
解得F＝(x),x)
答案 (1) (2)(x),x)
【过关检测】
一个初动能为E的小物块从斜面底端冲上足够长的斜面，返回斜面底端时速度大小为v，该过程物体克服摩擦力做功为．若小物块冲上斜面的初动能变为2E，则（ ）
A．返回斜面底端时动能为
B．返回斜面底端时动能为
C．返回斜面底端时速度大小为2v
D．返回斜面底端时速度大小为
【解答】解：以初动能为E冲上斜面并返回的整个过程中运用动能定理得：mV2﹣E=﹣①
设以初动能为E冲上斜面的初速度为V0，则以初动能为2E冲上斜面时，初速度为V0，加速度相同，根据2ax=V2﹣V02可知第二次冲上斜面的位移是第一次的两倍，所以上升过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，整个上升返回过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，即为E．
以初动能为2E冲上斜面并返回的整个过程中运用动能定理得：mV′2﹣2E=﹣E ②
所以返回斜面底端时的动能为E，A错误，B错误；
由①②得：V′=V，C错误，D正确．
故选D．
以初速度v0竖直向上抛出质量为m的小球，上升的最大高度是h，如果空气阻力f的大小恒定，从抛出到上升至最高点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ）
A．0B．﹣fhC．﹣mghD．
【解答】解：由功的计算公式可得阻力做的功为：=﹣fh，所以B正确，显然A错误；
由动能定理可得：﹣mgh+=0﹣，
解得：=﹣mgh，所以C、D错误．
故选：B
如图2所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力F拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A、B都向前移动一段距离．在此过程中( )
图2
A．外力F做的功等于A和B动能的增量
B．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能增量
C．A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功
D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和
答案 BD
解析 A物体所受的合外力等于B对A的摩擦力，对A物体运用动能定理，则有B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量，B对．A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑动，A、B对地的位移不等，故二者做功不等，C错．对B应用动能定理，WF－Wf＝ΔEkB，WF＝ΔEkB＋Wf，即外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和，D对．由上述讨论知B克服摩擦力所做的功与A的动能增量(等于B对A的摩擦力所做的功)不等，故A错．
在光滑斜面的底端静止着一个物体．从某时刻开始有一个沿斜面向上的恒力作用在物体上，使物体沿斜面向上滑去．经一段时间突然撤去这个恒力，又经过相同的时间，物体返回斜面的底端且具有120J的动能，求：
（1）这个恒力对物体做的功为多少？
（2）突然撤去这个恒力的时刻，物体具有的动能是多少？
【解答】解：设撤去恒力时物体的速度大小为v1，返回斜面底端时速度大小为v2
（1）对全过程用动能定理
（2）取沿斜面向上为正方向
从底端上滑到撤恒力F的过程有：
从撤去F至回到底端的过程有：
解得 v2=2v1
所以
答：（1）这个恒力对物体做的功为120J；
（2）突然撤去这个恒力的时刻，物体具有的动能是30J．
三、能够分析启动过程中的物理量的变化★★★★☆☆
机车的两种启动模型的分析
1．模型综述
物体在牵引力(受功率和速度制约)作用下，从静止开始克服一定的阻力，加速度不变或变化，最终加速度等于零，速度达到最大值．
2．模型特征
(1)以恒定功率启动的方式：
①动态过程：
②这一过程的速度—时间图象如图所示：
(2)以恒定加速度启动的方式：
①动态过程：
②这一过程的速度—时间图象如图所示：
汽车从静止开始沿平直轨道做匀加速运动，所受阻力始终不变，在此过程中，下列说法正确的是( )．
A．汽车牵引力保持不变
B．汽车牵引力逐渐增大
C．发动机输出功率不变
D．发动机输出功率逐渐增大
解析 由于阻力恒定，汽车做匀加速运动，根据F牵－f＝ma，知合力恒定，牵引力也恒定，A正确；B错误；由瞬时功率公式可知，要使牵引力恒定，就要随着速度增大，同步增大发动机的输出功率，使F牵＝保持不变，C错误，D正确．
答案 AD
汽车以额定功率在平直公路上匀速行驶．在t1时刻司机减小了油门，使汽车的功率立即变为原来的一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻汽车又开始做匀速直线运动． 若整个过程中汽车所受的阻力不变，则在t1～t2这段时间内（ ）
A．汽车的加速度逐渐减小B．汽车的加速度逐渐增大
C．汽车的速度逐渐减小D．汽车的速度先减小后增大
【解答】解：汽车的功率立即变为原来的一半，并保持该功率继续行驶，根据P=Fv，知，牵引力减小，根据牛顿第二定律知，加速度方向与速度方向相反，则速度减小，再根据P=Fv知，牵引力增大，加速度减小，做加速度减小的减速运动，当加速度减小到零，做匀速直线运动．故A、C正确，B、D错误．
故选AC．
【过关检测】
质量为m的汽车在平直的路面上启动，启动过程的速度—时间图象如图8所示，其中OA段为直线，AB段为曲线，B点后为平行于横轴的直线．已知从t1时刻开始汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力的大小恒为Ff，以下说法正确的是( )
图8
A．0～t1时间内，汽车的牵引力等于m
B．t1～t2时间内，汽车的功率等于(m＋Ff)v2
C．t1～t2时间内，汽车的平均速率小于
D．汽车运动的最大速率v2＝(＋1)v1
答案 D
解析 0～t1时间内汽车的加速度大小为，m为汽车所受的合外力大小，而不是牵引力大小，选项A错误；t1时刻汽车牵引力的功率为Fv1＝(m＋Ff)v1，之后汽车功率保持不变，选项B错误；t1～t2时间内，汽车的平均速率大于，选项C错误；牵引力等于阻力时速度最大，即t2时刻汽车速率达到最大值，则有(m＋Ff)v1＝Ffv2，解得v2＝(＋1)v1，选项D正确．
一辆汽车在水平路面上匀速直线行驶，阻力恒定为Ff.t1时刻驶入一段阻力为的路段继续行驶．t2时刻驶出这段路，阻力恢复为Ff.行驶中汽车功率恒定，则汽车的速度v及牵引力F随时间t的变化图象可能是( )
答案 AC
解析 0～t1时间内，汽车做匀速运动，F＝Ff.t1～t2时间内P＝Fv，随着v的增大，F减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动．t2时刻，F
A．B．C．D．
【解答】解：汽车匀速行驶时牵引力等于阻力；
功率减小一半时，汽车的速度由于惯性来不及变化，根据功率和速度关系公式P=Fv，牵引力减小一半，小于阻力，合力向后，汽车做减速运动，由公式P=Fv可知，功率一定时，速度减小后，牵引力增大，合力减小，加速度减小，故物体做加速度不断减小的减速运动，当牵引力增大到等于阻力时，加速度减为零，物体重新做匀速直线运动；
故选B．
四、能够解决恒定功率启动问题★★★★☆☆
一列火车总质量m=500t，机车发动机的额定功率P=6×105 W，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力Ff是车重的0.01倍，g取10m/s2，求：
（1）火车在水平轨道上行驶的最大速度；
（2）在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1=1m/s和v2=10m/s时，列车的瞬时加速度a1、a2各是多少；
（3）在水平轨道上以36km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；
【解答】解：（1）列车以额定功率工作时，当牵引力等于阻力，即F=Ff=kmg时列车的加速度为零，速度达最大vm，
则：vm====12 m/s．
（2）当v＜vm时列车加速运动，
当v=v1=1 m/s时，
F1==6×105 N，
据牛顿第二定律得：a1==1.1 m/s2
当v=v2=10 m/s时，F2==6×104 N
据牛顿第二定律得：a2==0.02 m/s2．
（3）当v=36 km/h=10 m/s时，列车匀速运动，
则发动机的实际功率P′=Ffv=5×105 W．
答：（1）火车在水平轨道上行驶的最大速度是12 m/s；
（2）在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1=1m/s时的加速度的大小为1.1 m/s2，当行驶速度为v2=10m/s时加速度的大小为0.02 m/s2；
（3）在水平轨道上以36km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′为5×105 W；
一台玩具起重机的电动机额定功率为P0=300W，起重机的吊绳最大承受拉力为30N，现在要将放在地面上质量为m=2.5kg的重物由静止状态提升到距地面高度为H=60m的平台上，而且要求重物要以最短时间到达平台，已知重物在到达平台之前已达最大速度．（不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2）．
求：（1）重物上升的最大速度
（2）重物到达平台的最短时间．
【解答】解：（1）当拉力等于重力时，速度最大，
根据P0=Fvm=mgvm得，最大速度．
（2）当重物先在最大拉力作用下做匀加速运动，达到额定功率后，保持功率不变，重物到达平台的时间最短．
重物匀加速运动的末速度v=，
匀加速运动的加速度a=，则匀加速运动的位移，匀加速运动的时间
设保持额定功率运动的时间为t，根据动能定理得，
代入数据解得t=3.1s
则最短时间t′=t+t1=8.1s．
答：（1）重物上升的最大速度为12m/s；
（2）重物到达平台的最短时间为8.1s．
【过关检测】
有一玩具直升机，质量m=8kg．在直升机的顶部和尾部均装有风扇，它们分别由两个电动机提供动力．利用顶部风扇的转动可以使直升机向上运动，但由于直升机自身承受能力的限制，顶部风扇的电动机最大只能输出P1=960W的功率，能提供F1=120N的最大升力；利用尾部风扇的转动可以提供F2=40N的恒定推力使直升机向前飞行．顶部风扇和尾部风扇均可通过遥控装置分别进行控制．假设直升机在运动过程中所受阻力的竖直分量和水平分量均恒定不变，且竖直分量是重力的，水平分量是重力的．（g取10m/s2）
（1）关闭尾部风扇，只打开顶部风扇，让直升机在最短时间里上升到15m高的地方，此时直升机的速度近似达到最大，求完成这一过程所需要的时间．
（2）当直升机达到15m高度时，保持顶部风扇电动机功率不变，立即开启尾部风扇，直升机继续飞行．取地面上直升机的起点为坐标原点，竖直向上为y轴，直升机水平前进的方向为x轴，写出直升机开启尾部风扇以后飞行的轨迹方程．
【解答】解：（1）要在最短时间内上升到15m高的地方，直升机应该先以最大的升力向上运动，达到最大功率后，再以最大功率向上运动．
先以最大升力上升，直升机做匀加速运动，加速度a=
经过时间t1达到最大功率，此时有Fvm=Pm，
即vm=
则，上升的高度
此后直升机顶部风扇电动机以最大功率输出，使直升机上升到15m高处，达到最大速度vmax==10m/s，需要的时间为t2．
根据动能定理有：
mvm2，
代入数据解得：t2=s
所以最短时间为t=t1+t2=3.25s
（2）达到15m高度时，顶部风扇电动机功率不变，取此时tt=0，则直升机在竖直方向上做匀速运动，有：vy=10m/s，y=15+10t
在水平方向上做匀加速直线运动，加速度
x=
消去时间得直升机飞行的轨迹方程为（y﹣15）2=50x
答：（1）完成这一过程所需要的时间为3.25s．
（2）直升机开启尾部风扇以后飞行的轨迹方程为（y﹣15）2=50x．
五、能够解决以恒定加速度启动问题★★★★☆☆
汽车发动机的功率为60KW，汽车的质量为4×103kg．当汽车在足够水平路面从静止以0.6m/s2的加速度做匀加速直线运动．求：
（1）汽车在水平路面能达到的最大速度vm1
（2）汽车在水平路面做匀加速运动能维持多长时间？
（3）在10s 末汽车的瞬时功率多大？20s末汽车的瞬时功率又是多少呢？
（4）若汽车以vm1速度驶上一倾角为θ的足够长的斜面（sinθ=0.02）．简要描述汽车作何运动，并求出在此斜面上最终速度vm2（已知汽车在行驶中所受路面阻力恒定为重力的0.1倍，g取10m/s2）
【解答】解：（1）汽车达到最大速度时，牵引力与阻力平衡有：
（2）经t时间，汽车匀加速达到额定功率时，由牛顿第二定律有：
F﹣f=ma
由运动学规律有v=at
所以汽车匀加速运动的时间：
s=15.625s
（3）t=10s时，汽车还处于匀加速阶段，
牵引力F=ma+f
瞬时速度 v=at=0.6×10m/s=6m/s
所以此时汽车的瞬时功率
P′=Fv=（4×103×0.6+0.1×4×103×10）×6W=38.4KW
t=20s时，汽车已经达到额定功率，故汽车的瞬时功率P=60KW
（4）汽车保持额定功率驶上斜面，由于行驶阻力增大，汽车牵引力增大，汽车作加速度不断减小的减速运动，直至达到最终速度vm2匀速行驶．
汽车在斜坡上行驶阻力f′=0.1mg+mgsinθ=0.12mg
汽车速度最大时牵引力与阻力相等，故在斜面上的最大速度
起重机在5s内将2×103kg的货物由静止开始匀速提升10m高，g取10m/s2，求：
（1）5s末的速度和匀加速上升的加速度分别为多少？
（2）匀加速上升的过程中，起重机对货物的拉力为多少？
（3）此起重机应具备的功率至少应为多少？
（4）若保持此功率不变，起重机能将货物提高的最大速度为多少？
【解答】解：（1）货物匀加速运动，根据x=得：
5s末的速度v=，
根据h=得：
a=
（2）根据牛顿第二定律得：
F﹣mg=ma
解得：F=2×103×10.8=2.16×104N
（3）最小功率P=Fv=2.16×104×4=8.64×104W
（4）当拉力等于重力时，速度最大，
则P=mgvm，
解得：
答：（1）5s末的速度为4m/s，匀加速上升的加速度为0.8m/s2；
（2）匀加速上升的过程中，起重机对货物的拉力为2.16×104N；
（3）此起重机应具备的功率至少应为8.64×104W；
（4）若保持此功率不变，起重机能将货物提高的最大速度为4.32m/s．
【过关检测】
额定功率为P=80kw的汽车，在某平直的公路上行驶，汽车的质量为2×103kg．如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a=2m/s2，经过时间t=15s速度达到最大速度为20m/s，并以此速度匀速运动．设运动过程中阻力不变．求：
（1）汽车所受的恒定阻力Ff；
（2）匀加速运动的时间t1；
（3）3s末汽车的瞬时功率P3；
（4）在15s内汽车运动的总路程S．
【解答】解：（1）因为牵引力等于阻力时，速度最大．根据P=Fvm=fvm得汽车所受的阻力为：
N
（2）根据牛顿第二定律得：
F﹣f=ma，
则匀加速直线运动的牵引力为：
F﹣f=ma⇒F=f+ma=4000+2000×2=8000N
匀加速直线运动的末速度为：m/s
则匀加速直线运动的时间为：s
（3）3s末的速度为：v3=at3=2×3=6m/s
则3s末的功率为：P3=Fv3=8000×6=48kw
（4）匀加速的位移为：
变加速的位移为：
得：x2=125m
总路程为：x=x1+x2=25+125=150m
答：（1）汽车所受的恒定阻力f为4000N；
（2）匀加速运动的时间t1为5s；
（3）3s末汽车的瞬时功率P3为48kW；
（4）在15s内汽车运动的总路为150m
六、能够运用动能定理解决机车启动的综合问题★★★★★☆
如图，为汽车在水平路面上启动过程的v﹣t图象．0～t1时间内为匀加速阶段，t1～t2时间内表示以额定功率行驶时的变加速阶段，t2后是与t轴平行的直线，设整个过程中汽车所受阻力恒定，则下列说法正确的是（ ）
A．0～t1时间内，牵引力增大，功率不变
B．0～t1时间内，牵引力为阻力的倍
C．若v2=2v1，则0～t1时间内，牵引力做的功为mv12
D．若t2=2t1，则t1～t2时间内，牵引力做的功为mv22（）
【解答】解：A、在0～t1时间内，做匀加速直线运动，加速度不变，根据牛顿第二定律得，F﹣f=ma，牵引力不变．根据P=Fv知，功率增大．故A错误；
B、0～t1时间内，P=F1V1，t2以后P=F2v2，此时牵引力等于阻力，故0～t1时间内，牵引力为阻力的倍，故B正确；
C、P=F1V1，t2以后P=F2v2，此时牵引力等于阻力，根据v=2aL，a=，所以牵引力F1做功W=F1L=mv，故C正确；
D、根据W=P△t=P（t2﹣t1）=Pt1=P•=P•v1=mv12（），故D错误
故选：BC
一种全自动升降机模型，用电动机通过钢丝绳拉着升降机由静止开始匀加速上升，已知升降机的质量为m，当升降机的速度为v1时，电动机的有用功率达到最大值P，以后电动机保持该功率不变，直到升降机以最大速度v2匀速上升为止，假设整个过程中忽略摩擦阻力及空气阻力，重力加速度为g．有关此过程下列说法正确的是（ ）
A．钢丝绳的最大拉力为
B．升降机的最大速度
C．钢丝绳的拉力对升降机所做的功等于升降机克服重力所做的功
D．升降机速度由v1增大至v2的过程中，钢丝绳的拉力不断减小
【解答】解：A、匀加速提升重物时钢绳拉力最大，且等于匀加速结束时的拉力，由P=Fv得Fm=，A错误；B、重物以最大速度为v2匀速上升时，F=mg，所以v2=，故B错误；C、对整个过程运用动能定理得：WF﹣WG=mv22，所以钢丝绳的拉力对升降机所做的功大于升降机克服重力所做的功，故C错误； D、升降机速度由v1增大至v2的过程中，功率不变，根据F=可知，v增大，F减小，故D正确．
故选D．
如图甲所示，某同学在水平面上用水平力拉一质量为1kg的物块，使物块由静止开始运动．该同学测得不同时刻物块的速度v和拉力F，并绘出v﹣图象（图乙），其中线段AB与v轴平行，所用时间为2s，线段BC的延长线过原点，所用时间为4s，v2为物块能达到的最大速度，此后物块的速度和拉力保持不变．不计空气阻力，则2s末（B点）拉力的功率为 W，这6s内物块的位移为 m．
【解答】解：C点速度最大，此时牵引力等于阻力，则：f=F=2N
AB阶段牵引力不变，物体做匀加速运动，则：a=
根据牛顿第二定律得：a=
解得：F=3.2N
所以2s末（B点）拉力的功率为：P=Fv=7.68W
因为BC为直线，且沿长线过原的，即动力F恒功率输出，PB=PC，
当牵引力等于阻力时，速度最大，则：m/s
前2s的位移：=2.4m
从B到C的过程中运用动能定理得：Pt2﹣fs2=﹣
解得：s2=13.1m
所以6s内的位移为s=s1+s2=15.5m
故答案为：7.68，15.5
【过关检测】
某起重机把重为500kg的货物从静止吊起，使货物沿竖直方向运动，已知吊绳能够承受最大拉力为10000N，起重机最大输出功率10kW，（空气阻力忽略不计取g=10m/s2）
求：
（1）若起重机以最大功率吊起货物，当升高到2m时速度达到最大．则货物的最大速度是多少？这一过程所用时间是多少？
（2）若货物被匀加速从静止提升，加速度的最大值为多少？此情形下起重机输出功率达到最大值后又保持功率不变继续提升货物，发现从静止共经2秒货物速度达到最大值，则整个过程中货物被提升的高度为多少？
【解答】解：
（1）速度最大时候，牵引力等于重力，由此可得：
，
由动能定理可得：
，
解得：
．
（2）绳的拉力最大时，货物加速度最大，由牛顿第二定律可得：
，
匀加速运动的末速度为：
，
匀加速运动的时间为：
，
位移为：
，
恒功率的时间为：
t2=2﹣0.1=1.9s，
由动能定理可得恒功率过程：
，
解得：
=3.65m．
故总位移为：
h=h1+h2=0.05+3.65=3.7m．
答：（1）若起重机以最大功率吊起货物，当升高到2m时速度达到最大．则货物的最大速度是2m/s，这一过程所用时间1.1s．
（2）若货物被匀加速从静止提升，加速度的最大值为10m/s2，则整个过程中货物被提升的高度为3.7m．
一辆汽车质量为3×103kg，额定功率为8×104W，发动机的最大牵引力为8×103N．该汽车在水平路面由静止开始做直线运动，设运动中所受阻力恒定．汽车匀加速直线运动所能达到的速度为v1，之后做变加速运动，达到的最大速度为v2．其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示．求：
（1）运动过程中汽车所受阻力和最大速度v2的大小；
（2）汽车匀加速直线运动中的加速度的大小；
（3）当汽车速度为8m/s及12m/s时，发动机的实际功率；
（4）该汽车由静止开始运动，经过85s达到最大速度，求汽车在BC段牵引力所做的功．
【解答】解：（1）由图可知f=2×103N
Vm==m/s=40m/s
（2 ）由牛顿第二定律得：
a==m/s2=2m/s2
（3）汽车匀加速运动的时间为t1，设此时的速度为v1，
则有：，
v1=at=10m/．s，
当v=8m/s时，P=Fv=8×103×8=6.4×104W，
当v=12m/s时，P=80KW．
（4）汽车在BC段的运动时间为：t2=t﹣t1=80s，
牵引力做功为：W=Pt2=8×104×80=6.4×106J．
答：（1）运动过程中汽车所受阻力为2×103N，最大速度v2的大小为40m/s．
（2）汽车匀加速直线运动中的加速度的大小为2m/s2．
（3）发动机的实际功率为分别为64KW，80KW．
（4）汽车在BC段牵引力所做的功为6.4×106J．
某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究．他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车的运动的全过程记录下来，通过处理转化为v﹣t图象，如图所示（除3s～10s时间段图象为曲线外，其余时间段图象为直线）．已知在小车运动的过程中，3s～14s时间段内小车的功率保持不变，在14s末停止遥控而让小车自由滑行，小车的质量为1.0kg，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变．求：
（1）小车受到的阻力及0～2s时间内电动机提供的牵引力；
（2）小车匀速行驶阶段的功率；
（3）小车0～10s时间内的位移大小．
【解答】解：（1）由图象可得：在14s～20s时间段a=m/s2=﹣0.5m/s2
小车受到阻力大小：Ff=ma=﹣0.5N（负号表示力的方向与运动方向相反）
设0～2s时间内电动机提供的牵引力为F，小车克服摩擦力加速运动，小车加速度：a′=0.5m/s2
根据牛顿第二定律：F﹣Ff=ma′
代入数据：F=1N
（2）在10s～14s小车做匀速运动，牵引力大小F 与 Ff 大小相等 F=0.5N
P=Fυ=0.5×3W=1.5W
（3）速度图象与横轴之间的“面积”等于物体运动的位移0～3s内：x1=×1.5×3m=2.25m
3s～10s内根据动能定理Pt+Ffx2=m﹣m解得x2=14.25 m
加速过程中小车的位移大小为：x=x1+x2=14.25+2.25=16.5 m
答：（1）小车所受到的阻力大小为0.5N；
（2）小车匀速行驶阶段的功率为1.5W；
（3）小车在加速运动过程中位移的大小为16.5m．
汽车发动机的额定功率为60KW，汽车的质量为5×103kg，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车的重力的0.05倍，若汽车始终保持额定的功率不变，取g=10m/s2，则从静止启动后，求：
（1）汽车所能达到的最大速度是多大？
（2）当汽车的加速度为1m/s2时，速度是多大？
（3）如果汽车由启动到速度变为最大值后，马上关闭发动机，测得汽车已通过了624m的路程，求汽车从启动到停下来一共经过多长时间？
【解答】解：（1）汽车保持额定功率不变，那么随着速度v的增大，牵引力F牵变小，当牵引力大小减至与阻力f大小相同时，物体速度v到达最大值vm．
由P额=fvm得：vm===24m/s
（2）当汽车的加速度为1m/s2时，以车为研究对象，由牛顿第二定律得：
F牵﹣f=ma…①
由P额=F牵v得：
v=…②
联立①②代入数据解之得：v=8m/s
（3）设由启动到速度最大历时为t1，关闭发动机到停止历时t2．
以运动全过程为研究过程，由动能定理得：
m=P额t1﹣fs1
代入数据解之得：t1=50s
关闭发动机后，机车在摩擦力的作用下，做匀减速运动
匀减速的加速度为a2=﹣
由运动学公式得：0﹣vm=a2t2
代入数据解之得：t2=48s
所以总时间：t=50s+48s=98s
答：（1）汽车所能达到的最大速度是24m/s；
（2）当汽车的加速度为1m/s2时，速度是8m/s；
（3）如果汽车由启动到速度变为最大值后，马上关闭发动机，测得汽车已通过了624m的路程，汽车从启动到停下来一共经过98s．
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