高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册5 实验：用单摆测量重力加速度导学案

第5节 实验：用单摆测量重力加速度

自主学习·必备知识

一、实验目的

1.用单摆测量重力加速度。

2.会使用停表测量时间。

3.能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差。

二、实验器材

长约 的细线、带有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、刻度尺、停表、游标卡尺。

三、实验原理与设计

1.原理：单摆做简谐运动时，由单摆周期公式 ，可得 。因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度。

2.设计：用停表测量 次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是单摆周期。

四、实验步骤

1.取出约 的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂。

2.用刻度尺测摆线长度 ，用游标卡尺测小球的直径 ，测量多次，取平均值，计算摆长 。

3.将小球从平衡位置拉至一个偏角小于 的位置并由静止释放，使其在竖直平面内振动。待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用停表计时，测量 次全振动的时间 ，则周期 。如此重复多次，取平均值。

4.改变摆长，重复实验多次。

5.将每次实验得到的 、 代入 计算重力加速度，取平均值，即测得当地重力加速度。

五、数据处理

1.公式法

将测得的几次的周期 和摆长 的对应值分别代入公式 中算出重力加速度 的值，再算出 的平均值，即当地重力加速度的值。

2.图像法

由单摆的周期公式 可得 ，因此以摆长 为纵轴、以 为横轴作出的 图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率 ，即可求出 值。 ， 。

六、误差分析

1.系统误差

主要来源于单摆模型本身。即悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。

2.偶然误差

主要来自时间（即单摆周期）的测量。因此，要注意测准时间（周期）。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2，…在数“0”的同时按下停表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。

七、注意事项

1.选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在 左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过 。

2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。

3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角小于 。可通过估算振幅的办法掌握。

4.摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。

5.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时。

互动探究·关键能力

探究点一 实验原理与实验操作

例 在“用单摆测定重力加速度”的实验中：

（1）除长约 的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，下列器材中，还需要  。（填正确答案的标号）

A.停表 B.米尺

C.天平 D.弹簧测力计

（2）用游标卡尺测小球的直径，如图所示，则小球的直径是  。

（3）下列做法正确的是  。（填正确答案的标号）

A.从摆球达到最高位置时开始计时

B.记录摆球完成一次全振动的时间

C.要让摆球在竖直平面内摆动的角度小于

D.选用的细线应细、质量小，且不易伸长

（4）从悬点到球心的距离是摆长 ，改变摆长 ，测得6组 和对应的周期 ，画出 图线，在图线上选取 、 两点，两点的坐标如图所示，则重力加速度的表达式是  。

答案：（1） ; （2） （3） ; （4）

解析：（1）在实验中，需要测量单摆的周期，所以需要停表，需要测量摆线的长度，所以需要米尺，摆球的质量不需要测量，所以不需要天平或弹簧测力计， 、 正确。

（2）游标卡尺的主尺读数为 ，游标尺读数为 ，所以最终读数为 。

（3）摆球经过平衡位置时速度最大，在该处计时测量误差较小， 错误；测量 次全振动的时间 ，通过 求解周期，测量一次偶然误差较大， 错误；摆球在同一竖直面内摆动，不能做圆锥摆，当摆角小于 时其摆动可视为简谐运动， 正确；选用的细线应细、质量小，且不易伸长， 正确。

（4）根据 ，得

可知图线的斜率

又由图像知

所以得出 。

探究归纳

实验操作的注意事项

（1）本实验的研究对象是单摆，通过测量其周期与摆长从而得到当地的重力加速度。

（2）制作单摆时，应取约 长的细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。

（3）测量摆长：从悬点到球心的距离是摆长。用米尺量出摆线长 （精确到毫米），用游标卡尺测出小球直径 ，则单摆的摆长 。

（4）测量周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度（小于 ），然后释放小球，记下单摆全振动30次或50次的总时间，算出全振动一次的时间，即单摆的振动周期。反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值。

迁移应用

1.根据单摆周期公式 ，可以通过实验测量当地的重力加速度。

（1）某同学组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示。这样做的目的是  （填字母代号）。

A.保证摆动过程中摆长不变

B.可使周期测量得更加准确

C.需要改变摆长时便于调节

D.保证摆球在同一竖直平面内摆动

（2）他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最顶端的长度 ，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为 ，单摆摆长为 。

（3）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有  。

A.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些

B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的

C.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度

D.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置小于 ，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔 即单摆周期

E.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置小于 ，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间 ，则单摆周期

答案：（1） ; （2） ; （3） ; ;

解析： （1）保证摆动过程中摆长不变， 正确；在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，是为了防止运动过程中摆长发生变化，如果需要改变摆长来探究摆长与周期关系时，方便调节摆长， 正确， 错误；实验中的操作不能保证摆球在同一竖直平面内摆动， 错误。

（2）游标卡尺主尺读数为 ，游标尺读数为 ，所以游标卡尺读得摆球的直径 。摆长 。

（3）细线的选择要轻、细、长些， 正确；摆球应尽量选择质量大而且体积较小的，这样空气阻力比重力小得多， 正确；单摆的摆角要小于 ，摆角太大就不是简谐运动， 错误；周期的测量不能只测量一次全振动的时间， 错误；应当测量多次全振动的总时间后除以全振动的次数，所以周期 ， 正确。

探究点二 数据处理与误差分析

例 物理实验小组的同学做“用单摆测重力加速度”的实验。

（1）实验室有如下器材可供选用：

A.长约 的细线

B.长约 的橡皮绳

C.直径约 的均匀铁球

D.直径约 的均匀木球

E.停表

F.时钟

G.最小刻度为1毫米的刻度

实验小组的同学需要从上述器材中选择  （填写器材前面的字母）。

（2）下列振动图像真实地描述了对摆长约为 的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点 为计时起点， 、 、 均为30次全振动的图像，已知 ， ，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是  （填字母代号）。

A. B. C. D.

（3）某同学利用单摆测重力加速度，测得的 值与真实值相比偏大，可能的原因是  。

A.测摆长时记录的是摆线的长度

B.开始计时时，秒表过早按下

C.摆线上端未牢固地系于悬点，摆动中出现松动，使摆线长度增加了

D.实验中误将29次全振动记为30次

答案：（1） ; ; ; （2） （3）

解析：（1）需要选择：长约 的细线，直径约 的均匀铁球，停表（测量30次全振动的时间），最小刻度为1毫米的刻度尺（测量摆线长）。

（2）单摆振动的摆角 ，当 时单摆振动的振幅 ，为计时准确，在摆球摆至平衡位置时开始计时且记录多次全振动的时间，故四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是选项 。

（3）根据单摆的周期公式推导出重力加速度的表达式 。将摆线的长误认为摆长，即测量值偏小，所以重力加速度的测量值偏小，故 错误；开始计时时，秒表过早按下，周期的测量值大于真实值，所以重力加速度的测量值偏小，故 错误；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，即摆长 的测量值偏小，所以重力加速度的测量值就偏小，故 错误；设单摆29次全振动的时间为 ，则单摆的周期 ，若误计为30次，则 测 ，即周期的测量值小于真实值，所以重力加速度的测量值偏大，故 正确。

探究归纳

用单摆测定重力加速度实验的误差分析

（1）利用图像法处理数据具有形象、直观的特点，同时也能减小实验误差。利用图像法分析处理时要特别注意图像的斜率及截距的物理意义。

（2）本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点固定，小球质量大、体积小，细线轻质非弹性，振动是在同一竖直平面内的振动，这些要求是否符合。

（3）本实验的偶然误差主要来自时间的测量和摆线长度的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计摆球全振动次数。使用刻度尺测量摆线长度时，要多次测量取平均值以减小误差。

迁移应用

1.（多选）某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时，通过改变摆线的长度，测出对应的周期，作出了 图像，如图所示。下列关于本实验的分析正确的是(      )

A.实验中正确测量周期的方法是：拉开摆球，使摆线偏离平衡位置小于 ，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间 ，则单摆周期

B.图像不过原点是因为测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成摆长

C.图像不过原点是因为测量摆长时，把摆线长加上摆球的直径当成摆长

D.利用图像仍然能测出当地的重力加速度为 或 ，但测量结果会偏大

E.利用图像仍然能测出当地的重力加速度为 ，并且不会有系统误差

答案： ; ;

解析：为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后计算出一次全振动所用的时间， 正确；根据周期公式 得 ，由于题中图像存在纵截距，即 ，说明测量的摆长值较实际摆长要大， 错误， 正确；根据题中图像上 、 两点有关系式 ， ，两式相减可解得 ，由以上可以看出，最终的结果不影响重力加速度的测量，所以 错误， 正确。

2.在“用单摆测定重力加速度”的实验中：

（1）摆动时摆角满足的条件是摆角小于 ，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最  （填“高”或“低”）点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。图甲中停表示数为一单摆全振动50次所用的时间，则单摆振动周期为  。

（2）用最小刻度为 的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示。 为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆长为 。

（3）若用 表示摆长， 表示周期，那么重力加速度的表达式为 。

（4）考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中  。

A.甲的说法正确

B.乙的说法正确

C.两学生的说法都是错误的

答案：（1）低; （2） （3） （4）

解析：（1）摆球经过最低点时小球速度最大，容易观察和计时；题图甲中停表的示数为 ，则周期 。

（2）从悬点到球心的距离即摆长，可得 。

（3）由单摆周期公式 可得 。

（4）由于受到空气浮力的影响，小球的质量没变而相当于小球所受重力减小，即等效重力加速度减小，因而振动周期变大， 正确。