第十九章《一次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷

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【解析】
【分析】
根据分母不为0，被开方数大于等于0进行计算即可．
【详解】
解：由题意得：
x+3≥0且x-2≠0，
∴x≥-3且x≠2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握此函数关系式中分母不为0，被开方数大于等于0是解题的关键．
2．A
【解析】
【分析】
根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【详解】
解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项A满足条件．
故选A.
【点睛】
本题考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
3．B
【解析】
【分析】
先根据一次函数的解析式得出函数的增减性，可知y随x的增大而减小，结合﹣2＜﹣1，则y1＞y2．
【详解】
解：∵y＝kx+b（k＜0），
∴函数y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1，
∴y1＞y2．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质．解答此题要熟知一次函数y＝kx+b：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
4．D
【解析】
【分析】
分、两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【详解】
解：当时，如图，
则，为常数；
当时，如下图，
则，为一次函数；
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点函数图象问题，在图象中应注意自变量的取值范围，注意分类讨论．
5．A
【解析】
【分析】
利用正比例函数的定义，可求出m的值，进而可得出m-1=-2＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合1＞-1，即可得出a＜b．
【详解】
解：∵y=（m-1）x+m2-1是y关于x的正比例函数，
∴m2-1=0，m-1≠0，
解得：m=-1，
∴m-1=-1-1=-2＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵A（1，a）和B（-1，b）在函数y=（m-1）x+m2-1的图象上，且1＞-1，
∴a＜b．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”．
6．B
【解析】
【详解】
将一次函数解析式转化为一般形式，由，可得出随的增大而减小，结合一次函数的性质可得出，解之即可得出的取值范围．
【解答】
将一次函数解析式化为一般形式为，
，，，是一次函数的图象上的不同两个点，且，
随的增大而减小，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解答本题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
根据图象得：直线y＝ax+2的图像自左向右逐渐上升，直线y＝mx+b交y轴于负半轴，从而得到a＞0，b＜0，故①②正确；再由直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．可得方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2，故③正确；然后观察图象可得当x＞﹣2时，直线y＝ax+2的图象位于直线y＝mx+b的图象得上方，可得不等式ax+2＞mx+b的解集为x＞﹣2，故④正确，即可求解．
【详解】
解：根据图象得：直线y＝ax+2的图像自左向右逐渐上升，直线y＝mx+b交y轴于负半轴，
∴a＞0，b＜0，故①②正确；
∵直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．
∴当x＝﹣2时，ax+2＝mx+b，
∴方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2，故③正确；
∵ax﹣b＞mx﹣2，
∴ax+2＞mx+b，
∵当x＞﹣2时，直线y＝ax+2的图象位于直线y＝mx+b的图象得上方，
∴不等式ax+2＞mx+b的解集为x＞﹣2，
即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．故④正确
∴正确的结论为①②③④，共有4个．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
8．D
【解析】
【分析】
根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
【详解】
解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示．
令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
有，解得：，
直线的解析式为．
令中，则，解得：，
点的坐标为，．
故选：D．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置．
9．C
【解析】
【分析】
通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=，应用两次勾股定理分别求BE和a．
【详解】
过点D作DE⊥BC于点E
.
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．.
∴AD=a.
∴DE•AD＝a.
∴DE=2.
当点F从D到B时，用s.
∴BD=.
Rt△DBE中，
BE=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC=a-1，DC=a，
Rt△DEC中，
a2=22+（a-1）2.
解得a=.
故选C．
【点睛】
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
10．C
【解析】
【分析】
①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；②设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC线段的解析式，③把x=40代入②的结论进行计算即可得解；④把x=50代入②的结论进行计算即可得解．
【详解】
解：∵CD∥x轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，故①的说法错误；
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵经过点A（0，6），B（30，12），
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y=x+6（0≤x≤50），故②的结论正确；
当x=40时，y=×40+6=14，
即第40天，该植物的高度为14厘米；故③的说法正确；
当x=50时，y=×50+6=16，
即该植物的高度为16厘米；故④的说法错误．
综上，正确的是②③，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
11．C
【解析】
【分析】
利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】
将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；
B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；
C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；
D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解题的关键．
12．D
【解析】
【分析】
根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【详解】
解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．
故选：D．
【点睛】
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
13．x＞3
【解析】
【详解】
∵直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），
∴由图象可得，当x＞3时，x+b＞kx+6，
即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．
故答案为：x＞3
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14．﹣2＜x＜2
【解析】
【分析】
先将点P（n，﹣4）代入y=﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y=2x+m落在y=﹣x﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【详解】
∵一次函数y=﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），
∴﹣4=﹣n﹣2，解得n=2，
∴P（2，﹣4），
又∵y=﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），
∴关于x的不等式组的解集为
故答案为
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．
15．4
【解析】
【详解】
试题分析：先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度后的直线解析式y=x+b﹣3，再把点A（﹣1，2）关于y轴的对称点（1，2）代入y=x+b﹣3，得1+b﹣3=2，解得b=4．
故答案为4．
考点：一次函数图象与几何变换
16．90
【解析】
【分析】
观察图象可知甲车40分钟行驶了30千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车的距离为10千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达B地，设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，根据等量关系甲车用了小时行驶了全程，乙车行驶的路程为60t1+50t2=240，列方程组求出t2，再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距B地的路程.
【详解】
解：甲车先行40分钟（），所行路程为30千米，
因此甲车的速度为（千米/时），
设乙车的初始速度为V乙，则有
，
解得：（千米/时），
因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时），
设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，则有
，解得：，
45×2=90（千米），
故答案为90.
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组进行求解是关键.
17．
【解析】
【分析】
根据一次函数图象经过的象限可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】
解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴该图象经过第一、三象限或第一、三、四象限，
，解得：﹣＜m≤3．
故答案为：﹣＜m≤3．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质及解不等式组，解题的关键是熟知一次函数的性质并正确的应用．
18．（2n﹣1，0）
【解析】
【分析】
依据直线l为y＝x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，可得A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，依据规律可得点An的坐标为（2n﹣1，0）．
【详解】
∵直线l为y＝x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，
∴当x＝1时，y＝，
即B1（1，），
∴tan∠A1OB1＝，
∴∠A1OB1＝60°，∠A1B1O＝30°，
∴OB1＝2OA1＝2，
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
∴点An的坐标为（2n﹣1，0），
故答案为：（2n﹣1，0）．
【点睛】
本题考查了规律题——点的坐标，一次函数图象上点的坐标特征等，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键．
19．（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；（2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.
【解析】
【分析】
（1）乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元，根据“用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本”列出方程求解即可；
（2）设甲种图书进货本，总利润元，根据题意列出不等式及一次函数，解不等式求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案．
【详解】
（1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元．由题意得：
，
解得：．
经检验，是原方程的解．
所以，甲种图书售价为每本元，
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．
（2）设甲种图书进货本，总利润元，则
．
又∵，
解得：．
∵随的增大而增大，
∴当最大时最大，
∴当本时最大，
此时，乙种图书进货本数为（本）．
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键．
20．(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx＋b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）令y＝0，即可确定D点坐标，根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD＋S△BOD进行计算即可．
(1)
解：把A（－2，－1），B（1，3）代入y＝kx＋b，得
，
解得，
∴一次函数解析式为；
(2)
解：把x＝0代入得，
所以D点坐标为（0，），
所以△AOB的面积＝S△AOD＋S△BOD．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
21．(1) 2000元（2） A型车20辆，B型车40辆
【解析】
【分析】
（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】
解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得
y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），
y=－300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60-a≤2a，
∴a≥20．
∵y=－300a+36000．
∴k=－300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=30000元．
∴B型车的数量为：60-20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用．
22．直线l2的解析式为y=﹣x+4；（2）16.
【解析】
【分析】
（1）把x=2代入y=x，得y=1，求出A（2，1）．根据平移规律得出直线l3的解析式为y=x-4，求出B（0，-4）、C（4，-2）．设直线l2的解析式为y=kx+b，将A、C两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线l2的解析式；
（2）根据直线l2的解析式求出D（0，4），得出BD=8，再利用三角形的面积公式即可求出△BDC的面积．
【详解】
（1）把x=2代入y=x，得y=1，
∴A的坐标为（2，1）．
∵将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，
∴直线l3的解析式为y=x-4，
∴x=0时，y=-4，
∴B（0，-4）．
将y=-2代入y=x-4，得x=4，
∴点C的坐标为（4，-2）．
设直线l2的解析式为y=kx+b，
∵直线l2过A（2，1）、C（4，-2），
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y=-x+4；
（2）∵y=-x+4，
∴x=0时，y=4，
∴D（0，4）．
∵B（0，-4），
∴BD=8，
∴△BDC的面积=×8×4=16．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求出求出直线l2的解析式是解题的关键．
23．（1）﹣4x+40，（0＜x＜10）．（2）（，）．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的面积公式S△OPA=OA•y，然后把y转换成x，即可求得△OPA的面积S与x的函数关系式；
（2）把s=10代入S=﹣4x+40，求得x的值，把x的值代入y=﹣x+10即可求得P的坐标．
【详解】
（1）∵A（8，0），
∴OA=8，
S=OA•|yP|=×8×（﹣x+10）=﹣4x+40，（0＜x＜10）．
（2）当S=10时，则﹣4x+40=10，解得x=，
当x=时，y=﹣+10=，
∴当△OPA的面积为10时，点P的坐标为（，）．
24．（1）；（2）应分配甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元.
【解析】
【详解】
分析：（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植（12000-a）m2，根据实际意义可以确定a的范围，结合种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
详解：（1）
（2）设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为.
.
当时，.
当时，元.
当时，.
当时，元.
，当时，总费用最低，最低为119000元.
此时乙种花卉种植面积为.
答：应分配甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元.
点睛：本题是看图写函数解析式并利用解析式解决问题的题目，考查分段函数的表达和分类讨论的数学思想．
25．（1）b=；（2）①△APQ的面积S与t的函数关系式为S=﹣t+或S=t﹣；②7＜t＜9或9＜t＜11，③存在，当t的值为3或9+3或9﹣3或6时，△APQ为等腰三角形．
【解析】
【详解】
分析：（1）把P(m,3)的坐标代入直线的解析式即可求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得b；
（2）根据直线的解析式得出C的坐标，①根据题意得出，然后根据即可求得的面积S与t的函数关系式；②通过解不等式或即可求得7即可求得．
详解：解;(1)∵点P(m,3)为直线l1上一点，
∴3=−m+2，解得m=−1，
∴点P的坐标为(−1,3)，
把点P的坐标代入 得,
解得
(2)∵
∴直线l2的解析式为y=12x+72，
∴C点的坐标为(−7,0)，
①由直线可知A(2,0)，
∴当Q在A. C之间时，AQ=2+7−t=9−t，
∴
当Q在A的右边时，AQ=t−9，
∴
即△APQ的面积S与t的函数关系式为或
②∵S<3，
∴或
解得7③存在；
设Q(t−7,0)，
当PQ=PA时,则
∴,解得t=3或t=9(舍去)，
当AQ=PA时,则
∴解得或
当PQ=AQ时,则
∴ 解得t=6.
故当t的值为3或或或6时，△APQ为等腰三角形．
点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键.