2022年辽宁省沈阳市大东区中考数学二模试卷（含解析）

2022年辽宁省沈阳市大东区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 实数的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，根据三视图，这个立体图形的名称是

A. 三棱柱
B. 圆柱
C. 三棱锥
D. 圆锥

3. 如图，与是内错角的是

A.
B.
C.
D.

4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是

A.  B.  C.  D.

5. 分式方程的解为

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则它的余角为

A.  B.  C.  D.

7. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 骰子各面上的点数分别是，，，，，，抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是

A.  B.  C.  D.

9. 菱形的两条对角线的长分别是和，则这个菱形的周长是

A.  B.  C.  D.

10. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为，可列方程得

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 分解因式：______．
12. 在单词数学中任意选择一个字母，选中字母“”的概率为______．
13. 一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形的边数为______．
14. 点在第三象限，则反比例函数的图象在第______象限．
15. 如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛附近沿正东方向航行，船在点时测得钓鱼岛在船的北偏东方向，船以海里时的速度继续航行小时后到达点，此时钓鱼岛在船的北偏东方向．请问船继续航行______海里与钓鱼岛的距离最近？
     

16. 如图，在三角形纸片中，点，，分别在边，，上，，，将这张纸片沿直线翻折，点与点重合，若，，则四边形的面积为______．

三、解答题（本大题共9小题，共82分）

17. 计算：．
18. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．
    求证：≌；
    四边形是平行四边形．

19. 一个不透明的口袋中有形状、大小、质地完全相同的四个小球，把它们分别标号为，，，，随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．请用列表法或画树状图法求两次取出小球标号的和等于的概率．
20. 某校举行以“童心向党”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩百分制均不低于分，现从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理和分析成绩得分用表示，共分成四组，并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．其中“”这组的数据如下：，，，，，，，，，．
    竞赛成绩分组统计表

请根据以上信息，解答下列问题：
直接写出“”这组数据的众数是______分；
直接写出______人；
直接写出______人；______人；
直接写出在扇形统计图中______；
若学生竞赛成绩达到分以上含分获奖，请你估计全校名学生中获奖的人数．

21. 某电子超市经销甲、乙两种品牌的耳机，进货时发现，甲品牌耳机进货价每副元，且甲品牌耳机每副的进货价比乙品牌耳机每副的进货价高元．销售时，甲品牌耳机的售价为每副元，乙品牌耳机的售价为每副元．若超市需要购进甲、乙两种品牌的耳机共副，且购进两种耳机的总成本不超过元，超市应购进甲、乙两种品牌耳机各多少副，才能在两种品牌的耳机完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
22. 如图，点，，都在上，连接，过点作交的延长线于点，连接，，．
    求证：是的切线；
    求由线段，与所围成的阴影部分的面积结果保留．

23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，，动点从点出发沿折线向终点运动、在边上以每秒个单位长度的速度匀速运动，在边上以每秒个单位长度的速度匀速运动．过点作线段与射线相交于点，且，连接，，与相交于点设点的运动时间为，与重合部分的面积为．
    直接写出点的坐标______，______；
    当点与点重合时，求的长；
    当点在边上运动时，求的长用含的代数式表示；
    直接写出关于的函数关系式及自变量的取值范围．

24. 将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．
    如图，当时，连接，点恰好在的延长线上．若，求的长；
    如图，连接，过点作交于点求证：；
    如图，在探究的条件下，射线分别交，于点，，直接写出线段，，的数量关系．

25. 如图，抛物线与直线交于点和点．

求和的值；
   求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
  点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：实数的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义直接求解．
本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：根据三视图可以得出立体图形是三棱柱，
故选：．
从正视图以及左视图都为一个长方形，俯视图三角形来看，可以确定这个几何体为一个三棱柱．
本题考查了由几何体的三种视图判断出几何体的形状，应从所给几何体入手分析得出是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：根据内错角的定义，的内错角是．
故选：．
根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角找出即可．
本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
 

4.【答案】

【解析】解：点关于轴对称的点是：．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：分式方程，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

6.【答案】

【解析】解：由题意得：，
故其余角为．
故选：．
根据余角的定义，两个锐角和为的角互余．
本题考查的知识点是两个角的互余，互余的两个角的和为．
 

7.【答案】

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；，
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意，
故选：．
运用同底数幂相乘、积的乘方、完全平方公式和平方差公式进行逐一计算验证即可．，
此题考查了整式中同底数幂相乘、积的乘方、完全平方公式和平方差公式等运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

8.【答案】

【解析】解：六个面上有个偶数，
抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是，
故选：．
直接利用概率公式求解即可．
本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】

【解析】解：如图所示，
根据题意得，，
四边形是菱形，
，，
是直角三角形，
，
此菱形的周长为：．
故选：．
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
 

10.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
 

11.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：“”中共个字母，其中共个“”，
任意取出一个字母，有种情况可能出现，
取到字母“”的可能性有两种，故其概率是；
故答案为
先数出“”中共多少个字母，让字母“”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．
本题考查概率的求法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】八

【解析】

【分析】
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于 ，外角和等于 ，然后列方程求解即可．
【解答】
解：设多边形的边数是 ，根据题意得，
，
解得 ，
这个多边形为八边形．
故答案为八．   

14.【答案】二、四

【解析】解：点在第三象限，
，
解得，
，
反比例函数的图象在第二、四象限．
故答案为：二、四．
根据第三象限点的坐标特征求得的取值范围，进一步得到的取值范围，再根据反比例函数的性质即可求解．
考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象，关键是得到的取值范围．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，求三角形的边或高的问题时，一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
过点 作 于 ，则垂线段 的长度为与钓鱼岛 最近的距离，线段 的长度即为所求，先由方位角的定义得出 ， ，由三角形外角的性质得出 ，则 海里，然后解直角 ，求出 ，从而得出答案．
【解答】
解：过点 作 于 ，

则 ， ，
，
，
海里 ，
海里 ，
在直角 中， ，
海里 ，
则船继续航行 海里与钓鱼岛 的距离最近，
故答案为： ．   

16.【答案】

【解析】解：纸片沿直线翻折，点与点重合，
垂直平分．
，．
，
为的中位线．
．
，
为等边三角形．
．
在中，
，
，
四边形的面积为：．
故答案为：．
由三角形纸片沿直线翻折，点与点重合可知：垂直平分，因为，所以为的中位线，；由折叠可得，因为，可得为等边三角形，；在中，解直角三角形可得的长，四边形的面积为，结论可得．
本题主要考查了折叠问题，三角形的中位线，平行线的性质，三角形的面积，解直角三角形．利用中点的性质得到对应的部分相等是解题的关键．
 

17.【答案】解：


．

【解析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值和二次根式，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

18.【答案】证明：，
，
即，
，
，
在与中，
，
≌；
由得：≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形．

【解析】由证明≌即可；
由全等三角形的性质得，，则，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于的有种情况，
两次取出小球标号的和等于的概率为．

【解析】根据题意画出树状图，得出所有等可能的的情况数以及两次取出的小球标号的和等于的情况数，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题难度不大，解题的关键是注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】       

【解析】解：“”这组数据中出现次数最多是，故众数是，
故答案为：；
由题意得，，
故答案为：；
，，
故答案为：；；
，
故答案为：；
人，
答：估计全校名学生中获奖的人数为人．
根据众数的定义解答即可；
用第组的频数除以它所占百分比可得的值；
根据“频率频数总数”解答即可；
用第组的人数除以总人数可得结果；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

21.【答案】解：乙品牌耳机每副的进货价是元，
设购进甲种品牌耳机副，则购进乙种品牌耳机副，两种品牌的耳机完全售出后所获利润元，
由两种耳机的总成本不超过元得：，
解得，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，最大值为元，
此时台，
答：购进甲种品牌耳机副，乙种品牌耳机副，才能在两种品牌的耳机完全售出后所获利润最大，最大利润是元．

【解析】设购进甲种品牌耳机副，则购进乙种品牌耳机副，两种品牌的耳机完全售出后所获利润元，由两种耳机的总成本不超过元可求出，而，由一次函数性质解可得购进甲种品牌耳机副，乙种品牌耳机副，才能在两种品牌的耳机完全售出后所获利润最大，最大利润是元．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
 

22.【答案】证明：连接，如图，

，，
，
，
，
，即，
是的切线；
解：，
，
，，
，


答：图中阴影部分的面积为

【解析】连接，根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，根据切线的判定推出即可；
根据平行线的性质得到，解直角三角形求出，分别求出的面积和扇形的面积，即可得出答案．
本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．
 

23.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，
，
故答案为：，；
如图，

在中，，，
；
，
，
；
如图，

当时，
作于，
，
四边形为矩形，
，
四边形是矩形，
，，
同理可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，


当时，
在中，，，
，
在中，，
，
，
，
如图，

当时，
，
，
，
．
由，可求得结果；
解直角三角形求得结果；
由求得结果；
分为三种情形：，和当时，可推出，解直角三角形求得结果；
当时，重合部分面积等于三角形的面积减去直角三角形的面积，解直角三角形，求得和，进一步求得结果；当时，表示出，进而求得结果．
本题考查了矩形判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是弄清临界，正确分类．
 

24.【答案】解：如图，设，

矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
点，，在一条直线上，
，，
，
，
∽，
，即，
解得，不合题意，舍去，
；

证明：如图，连接，

，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
；

解：关系式为，理由如下：
如图，连接，

，，，
≌，
，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
．

【解析】如图，设，证明∽，由相似三角形的性质列比例式，由比例线段得出方程，求出的值即可得出答案；
连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，得出，证明∽，由相似三角形的性质得出比例式，则可得出结论．
本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
将点的坐标代入直线表达式得：，解得；
故，；

由得，直线和抛物线的表达式为：，，
联立上述两个函数表达式并解得不合题意的值已舍去，
即点的坐标为，
从图象看，不等式  的解集为或；

当点在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点，
、的距离为，而、的水平距离为，故此时只有一个交点，即；
当点在点的左侧时，线段与抛物线没有公共点；
当点在点的右侧时，当 时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点，
综上， 或 ．

【解析】用待定系数法即可求解；
求出点的坐标为，再观察函数图象即可求解；
分类求解确定的位置，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中，分类求解确定的位置是解题的关键．