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初中沪科版第21章 二次函数与反比例函数综合与测试复习课件ppt
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这是一份初中沪科版第21章 二次函数与反比例函数综合与测试复习课件ppt，共53页。PPT课件主要包含了要点梳理，y＝ax2＋bx＋c，a≠0，二次函数的概念，x-h，-hk，y最小k，y最大k，y＝ax2，y＝-ax2等内容，欢迎下载使用。
一般地，形如 (a，b，c 是常数， ) 的函数，叫做二次函数．
[注意] (1) 等号右边必须是整式；(2) 自变量的最高次数是 2；(3) 当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数．
2. 二次函数的图象与性质
a ＞ 0 开口向上
a ＜ 0 开口向下
在对称轴左边，x↗ y↘；在对称轴右边， x↗ y↗
在对称轴左边，x↗ y↗；在对称轴右边， x↗ y↘
3. 二次函数图象的平移
左、右平移，自变量左加右减
上、下平移，常数项上加下减
4. 二次函数表达式的求法
（1） 一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0)
（2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k (a ≠ 0)
（3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2) (a ≠ 0)
5. 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点，分别对应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不同的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根. 当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 的根.
b2 - 4ac > 0
b2 - 4ac = 0
b2 - 4ac < 0
1. 二次函数的应用包括以下两个方面：(1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)；(2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
2. 一般步骤：(1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义；(5) 作答.
7. 反比例函数的概念
定义：形如_______ (k 为常数，k ≠ 0) 的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数.三种表达式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)．防错提醒：(1) k ≠ 0；(2) 自变量 x ≠ 0；(3) 函数值 y ≠ 0.
8. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k ≠ 0) 的 图象是 ，它是轴对称图形，两条对称轴 为直线 和 .
(2) 反比例函数的性质
(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义
反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过反比例函数图象上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.推论：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 .
9. 反比例函数的应用
◑利用待定系数法确定反比例函数：
①根据两变量之间的反比例关系，设 ；②代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应 值，求出 k 的值；③写出解析式.
◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
◑利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
例1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为_______．
【解析】方法一：配方，得 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为 (1，2)．方法二代入公式 ， ，则顶点坐标为(1，2)．
解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配方为顶点式 y＝a(x＋h)2＋k 的形式，得到其对称轴是直线 x＝-h，顶点坐标为 (-h，k)，当自变量范围没有限制时，其最值为 y＝k；也可以直接利用公式求解.
1. 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象，下列叙述正确的是 ( )A. 顶点坐标为 (－3，2) B. 对称轴为 y＝3C. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而增大 D. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而减小
例2 二次函数 y＝-x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 ( )A. y1≤y2 B. y1＜y2 C. y1≤y2 D. y1＞y2
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大. ∵ x1＜x2＜1，∴ y1＜y2.
2. 下列函数中，当 x＞0 时，y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A. y = x2 B. y = x - 1 C. D. y = -3x2
例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确；由对称轴 x＞－1 可得 2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为 x＝－2 的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上横坐标为 x＝1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为 x＝－1 的点在第二象限得 a－b＋c＞0，则 (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即 (a＋c)2－b2＜0，所以 (a＋c)2＜b2，故④正确. 故选 D.
1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号：b＝0⇔对称轴是 y 轴；a、b 同号⇔对称轴在 y 轴左侧；a、b 异号⇔对称轴在 y 轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”.
2. 当 x＝1 时，函数值 y＝a＋b＋c，当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0. 同理，可由图象上横坐标 x＝－1，±2 的点判断 a－b＋c，4a±b＋c 的符号.
3. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1
例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( )A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－5
【解析】因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的解析式为 y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2. 故选 B.
4. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ）A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位
例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = -1 时，函数值为 10；当 x = 1 时，函数值为 4；当 x = 2 时，函数值为 7.求这个二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c，由题意得
解得 a = 2，b = -3，c = 5.
∴ 所求的二次函数解析式为 y = 2x2 - 3x + 5.
5. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c 与抛物线 y =－x2－3x + 7 的形状相同，顶点在直线 x = 1 上，且顶点到 x 轴的距离为 5，请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解：∵抛物线 y = ax2 + bx + c 与 y =－x2－3x + 7 的形状相同，∴ a = ±1. 又∵顶点在直线 x = 1 上，且到 x 轴的距离为 5，∴顶点为 (1，5) 或 (1，－5). 所以表达式可为： (1) y = (x－1)2 + 5； (2) y = (x－1)2－5； (3) y =－(x－1)2 + 5；(4) y =－(x－1)2－5.
例6 若二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3，则关于 x 的方程 x2 + mx = 7 的解为（ ）A．x1 = 0，x2 = 6B．x1 = 1，x2 = 7C．x1 = 1，x2 = -7D．x1 = -1，x2 = 7
解析：∵二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3， ∴ =3，解得 m = －6.∴ 关于 x 的方程 x2 + mx = 7 可化为 x2－6x－7 = 0， 即 (x + 1)(x－7) = 0，解得 x1 = －1，x2 = 7． 故选 D．
例7 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y (件) 与销售单价 x (元) 符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45.(1) 求一次函数的表达式；(2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？
考点七 二次函数的应用
故所求一次函数的表达式为 y = -x + 120.
(2) W = (x - 60)•(-x + 120) = -x2 + 180x - 7200 = -(x - 90)2 + 900.
∵ 抛物线的开口向下， ∴ 当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大.而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87，∴ 当 x = 87 时，W 有最大值，此时 W = -(87 - 90)2 + 900 = 891.
解得 k = -1，b = 120.
解：(1) 由题意得 EF = AE = DE = BC = x，AB = 30.∴ BF = 2x - 30.
(2)∵∠F =∠A = 45°，∠CBF =∠ABC = 90°，∴∠BGF =∠F = 45°，BG = BF = 2x - 30.∴ S = S△DEF - S△GBF = DE2 - BF2 = x2 - (2x - 30)2 = x2 + 60x - 450.
2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上，则 k 的值是 ( ) A. 3 B. －3 C. D.
3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出 y1，y2，y3 的值，再比较出其大小即可；方法②：根据反比例函数的图象和性质比较．
方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的性质比较，在不同的象限内不能按其性质比较，可根据其正负来确定大小．
已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2) 都在反比例函数 (k＜0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .
解：当 －4＜x＜－1 时，一次函数的值大于反比例函数的值.
(2) 求一次函数解析式及 m 的值；
－k + b = 2，
(3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 的坐标.
方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合题，关键是理清解题思路. 在平面直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度.
解：由题意知点 P 在正比例函数 y = 2x 上，把 P 的纵坐标 2 代入该解析式，得 P (1，2)，把 P (1，2) 代入 ，得到
解：把 M (-2，0) 代入 y = kx + b， 得 b = 2k，∴ y = kx + 2k.
解得 x1 = -3，x2 = 1.
y = kx + 2k，
∴ B (-3，-k)，A (1，3k).
(3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？
解：当 x＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值.
例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：(1) 求当 0≤x≤2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 0≤x≤2 时，y 与 x 成正比例函数关系．设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.
(2) 求当 x ＞ 2 时，y 与 x 的函数解析式；
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，解得 x≥1，∴ 1≤x≤2；当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克，
所以服药一次，治疗疾病的有效时间是 1＋2＝3 (小时)．
二次函数与一元二次方程的联系
不共线三点确定二次函数的表达式
一般地，形如 (a，b，c 是常数， ) 的函数，叫做二次函数．
[注意] (1) 等号右边必须是整式；(2) 自变量的最高次数是 2；(3) 当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数．
2. 二次函数的图象与性质
a ＞ 0 开口向上
a ＜ 0 开口向下
在对称轴左边，x↗ y↘；在对称轴右边， x↗ y↗
在对称轴左边，x↗ y↗；在对称轴右边， x↗ y↘
3. 二次函数图象的平移
左、右平移，自变量左加右减
上、下平移，常数项上加下减
4. 二次函数表达式的求法
（1） 一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0)
（2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k (a ≠ 0)
（3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2) (a ≠ 0)
5. 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点，分别对应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不同的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根. 当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 的根.
b2 - 4ac > 0
b2 - 4ac = 0
b2 - 4ac < 0
1. 二次函数的应用包括以下两个方面：(1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)；(2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
2. 一般步骤：(1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义；(5) 作答.
7. 反比例函数的概念
定义：形如_______ (k 为常数，k ≠ 0) 的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数.三种表达式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)．防错提醒：(1) k ≠ 0；(2) 自变量 x ≠ 0；(3) 函数值 y ≠ 0.
8. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k ≠ 0) 的 图象是 ，它是轴对称图形，两条对称轴 为直线 和 .
(2) 反比例函数的性质
(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义
反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过反比例函数图象上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.推论：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 .
9. 反比例函数的应用
◑利用待定系数法确定反比例函数：
①根据两变量之间的反比例关系，设 ；②代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应 值，求出 k 的值；③写出解析式.
◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
◑利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
例1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为_______．
【解析】方法一：配方，得 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为 (1，2)．方法二代入公式 ， ，则顶点坐标为(1，2)．
解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配方为顶点式 y＝a(x＋h)2＋k 的形式，得到其对称轴是直线 x＝-h，顶点坐标为 (-h，k)，当自变量范围没有限制时，其最值为 y＝k；也可以直接利用公式求解.
1. 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象，下列叙述正确的是 ( )A. 顶点坐标为 (－3，2) B. 对称轴为 y＝3C. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而增大 D. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而减小
例2 二次函数 y＝-x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 ( )A. y1≤y2 B. y1＜y2 C. y1≤y2 D. y1＞y2
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大. ∵ x1＜x2＜1，∴ y1＜y2.
2. 下列函数中，当 x＞0 时，y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A. y = x2 B. y = x - 1 C. D. y = -3x2
例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确；由对称轴 x＞－1 可得 2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为 x＝－2 的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上横坐标为 x＝1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为 x＝－1 的点在第二象限得 a－b＋c＞0，则 (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即 (a＋c)2－b2＜0，所以 (a＋c)2＜b2，故④正确. 故选 D.
1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号：b＝0⇔对称轴是 y 轴；a、b 同号⇔对称轴在 y 轴左侧；a、b 异号⇔对称轴在 y 轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”.
2. 当 x＝1 时，函数值 y＝a＋b＋c，当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0. 同理，可由图象上横坐标 x＝－1，±2 的点判断 a－b＋c，4a±b＋c 的符号.
3. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1
例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( )A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－5
【解析】因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的解析式为 y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2. 故选 B.
4. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ）A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位
例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = -1 时，函数值为 10；当 x = 1 时，函数值为 4；当 x = 2 时，函数值为 7.求这个二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c，由题意得
解得 a = 2，b = -3，c = 5.
∴ 所求的二次函数解析式为 y = 2x2 - 3x + 5.
5. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c 与抛物线 y =－x2－3x + 7 的形状相同，顶点在直线 x = 1 上，且顶点到 x 轴的距离为 5，请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解：∵抛物线 y = ax2 + bx + c 与 y =－x2－3x + 7 的形状相同，∴ a = ±1. 又∵顶点在直线 x = 1 上，且到 x 轴的距离为 5，∴顶点为 (1，5) 或 (1，－5). 所以表达式可为： (1) y = (x－1)2 + 5； (2) y = (x－1)2－5； (3) y =－(x－1)2 + 5；(4) y =－(x－1)2－5.
例6 若二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3，则关于 x 的方程 x2 + mx = 7 的解为（ ）A．x1 = 0，x2 = 6B．x1 = 1，x2 = 7C．x1 = 1，x2 = -7D．x1 = -1，x2 = 7
解析：∵二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3， ∴ =3，解得 m = －6.∴ 关于 x 的方程 x2 + mx = 7 可化为 x2－6x－7 = 0， 即 (x + 1)(x－7) = 0，解得 x1 = －1，x2 = 7． 故选 D．
例7 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y (件) 与销售单价 x (元) 符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45.(1) 求一次函数的表达式；(2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？
考点七 二次函数的应用
故所求一次函数的表达式为 y = -x + 120.
(2) W = (x - 60)•(-x + 120) = -x2 + 180x - 7200 = -(x - 90)2 + 900.
∵ 抛物线的开口向下， ∴ 当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大.而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87，∴ 当 x = 87 时，W 有最大值，此时 W = -(87 - 90)2 + 900 = 891.
解得 k = -1，b = 120.
解：(1) 由题意得 EF = AE = DE = BC = x，AB = 30.∴ BF = 2x - 30.
(2)∵∠F =∠A = 45°，∠CBF =∠ABC = 90°，∴∠BGF =∠F = 45°，BG = BF = 2x - 30.∴ S = S△DEF - S△GBF = DE2 - BF2 = x2 - (2x - 30)2 = x2 + 60x - 450.
2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上，则 k 的值是 ( ) A. 3 B. －3 C. D.
3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出 y1，y2，y3 的值，再比较出其大小即可；方法②：根据反比例函数的图象和性质比较．
方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的性质比较，在不同的象限内不能按其性质比较，可根据其正负来确定大小．
已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2) 都在反比例函数 (k＜0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .
解：当 －4＜x＜－1 时，一次函数的值大于反比例函数的值.
(2) 求一次函数解析式及 m 的值；
－k + b = 2，
(3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 的坐标.
方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合题，关键是理清解题思路. 在平面直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度.
解：由题意知点 P 在正比例函数 y = 2x 上，把 P 的纵坐标 2 代入该解析式，得 P (1，2)，把 P (1，2) 代入 ，得到
解：把 M (-2，0) 代入 y = kx + b， 得 b = 2k，∴ y = kx + 2k.
解得 x1 = -3，x2 = 1.
y = kx + 2k，
∴ B (-3，-k)，A (1，3k).
(3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？
解：当 x＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值.
例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：(1) 求当 0≤x≤2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 0≤x≤2 时，y 与 x 成正比例函数关系．设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.
(2) 求当 x ＞ 2 时，y 与 x 的函数解析式；
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，解得 x≥1，∴ 1≤x≤2；当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克，
所以服药一次，治疗疾病的有效时间是 1＋2＝3 (小时)．
二次函数与一元二次方程的联系
不共线三点确定二次函数的表达式
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