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福建省三明市2020-2021学年高一下学期普通高中期末考试质量检测数学试卷及参考答案
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这是一份福建省三明市2020-2021学年高一下学期普通高中期末考试质量检测数学试卷及参考答案，共24页。试卷主要包含了选择题.，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省三明市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．现用分层随机抽样的方法调查某校学生的视力情况，该校三个年级的学生人数如表：
年级
高一
高二
高三
人数
550
500
450
已知在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
2．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD C．BC D．AC
3．下列结论正确的是（ ）
A．事件A的概率P（A）必有0＜P（A）＜1
B．事件A的概率P（A）＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其有明显的疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
4．若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（ ）
A．甲同学：平均数为2，方差小于1
B．乙同学：平均数为2，众数为1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
5．设D，E分别为△ABC两边BC，CA的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．
6．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则cos∠ADE＝（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，
C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，
E＝“至多有一个奇数”．
下列结论正确的有（ ）
A．A＝B B．B⊆C
C．D∩E＝∅ D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则或
B．已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（0，4）
C．若，则向量，的夹角为钝角
D．设，是同一平面内两个不共线的向量，则，可作为该平面的一个基底
11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点．给出下面四个命题，其中正确的是（ ）
A．EF∥AC
B．直线AF与直线CE所成角的最大值是
C．若直线AF与直线CE相交，则交点在直线DD1上
D．若直线AF与直线CE相交，则二面角E﹣AC﹣D的平面角的最小正切值为
12．在△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若∠APB＝150°，则
C．△BPC的面积的最大值为
D．△ABP的面积的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，则a＝ ．
14．2021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作，生活垃圾需按照“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”的标准进行分类投放．若某居民将“厨余垃圾“和“可回收物“两袋垃圾随机地投放到四个分类垃圾桶中的两个，则两袋垃圾均投放准确的概率为 ．
15．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．如图，是一个棱长为1的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上．则该正方体的棱长为 ；半正多面体的表面积为 ．
16．已知正三棱锥A﹣BCD的底面是边长为3的正三角形，其外接球O的表面积为16π，且点A到底面BCD的距离小于外接球O的半径，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在复平面内，O为坐标原点，复数，所对应的向量分别为，．
（1）求所对应的点C的坐标；
（2）求的值．
18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是边长为的菱形，A1C1＝B1C＝2，A1B1⊥平面BCC1B1，E，F分别是AC，BB1的中点．
（1）求证：EF∥平面A1B1C；
（2）求直线A1C1与平面A1B1C所成的角．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b（sinC+cosC）．
（1）求B；
（2）若a＝1，，求△ABC的面积．
20．为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了党史知识竞赛，在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答，若甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．求：
（1）甲至少抽到1道填空题的概率；
（2）甲答对的题数比乙多的概率．
21．已知A，B两家公司的员工月均工资情况如图：
（1）以每组数据的区间中点值代表该组数据的平均水平，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请简要说明理由．
（2）小明拟到A，B两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBE；
（2）是否存在点F，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，在平面PBE内确定一点H，使CH+FH的值最小，并求此时的值．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．现用分层随机抽样的方法调查某校学生的视力情况，该校三个年级的学生人数如表：
年级
高一
高二
高三
人数
550
500
450
已知在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
解：设该样本中高三年级的人数为n，
由分层抽样的性质列方程得：
，
解得n＝18．
故选：A．
2．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD C．BC D．AC
解：由斜二测画法法则知，直观图△A′B′C′对应的原图形△ABC是直角三角形，
其中AC是斜边，AD是直角边上的中线，所以最长的线段是AC．
故选：D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．事件A的概率P（A）必有0＜P（A）＜1
B．事件A的概率P（A）＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其有明显的疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
解：由概率的基本性质，事件A的概率P（A）的值满足0≤P（A）≤1，故A错误；
必然事件概率为1，故B错误；
某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，不一定有5张中奖，故D错误．
故选：C．
4．若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（ ）
A．甲同学：平均数为2，方差小于1
B．乙同学：平均数为2，众数为1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
解：记甲同学三次考试名次为a，b，c，
则＝2，＜1，
若甲同学三次考试名次中低于第3名的，不妨设a≥4，
则（a﹣2）2≥4，与＜1相矛盾，故A正确，
若三次考试名次为1，1，4，满足平均数为2，众数为1，故B错，
若三次考试名次为2，2，4，满足中位数为2，众数为2，故C错，
若三次考试名次为2，2，4，满足众数为2，方差大于1，故D错，
故选：A．
5．设D，E分别为△ABC两边BC，CA的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．
解：因为D，E分别为△ABC两边BC，CA的中点，
所以＝（+）+（﹣）＝（+）+（﹣）＝．
故选：D．
6．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：经随机模拟产生了以下20组随机数：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
共有20组随机数，
恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，144，133，共有3个，
所以恰好在第三次就停止摸球的概率为．
故选：B．
7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
解：连接CD，交PE于G，连接FG，如图，
∵AD∥平面PEF，平面ADC∩平面PEF＝FG，
∴AD∥FG，
∵点D，E分别为棱PB，BC的中点．
∴G是△PBC的重心，
∴＝＝．
故选：C．
8．△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则cos∠ADE＝（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，直线CE与直线AB相交于点D，设＝λ，
则＝λ（+）＝+，
又由A、D、B三点共线，则+＝1，解可得λ＝3，
故＝+，
＝﹣＝﹣﹣＝（﹣）＝，
又由AB＝5，则AD＝3，DC＝2，
则在△ABC中，cos∠ABC＝＝，
则CD2＝BD2+BC2﹣2BD×BC×cos∠ABC＝，则CD＝，
故在△ADC中，cos∠ADE＝cos∠ADC＝＝；
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，
C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，
E＝“至多有一个奇数”．
下列结论正确的有（ ）
A．A＝B B．B⊆C
C．D∩E＝∅ D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω
解：∵从1至9这9个自然数中任取两个，
∴当恰有一个偶数时，另外一个必为奇数，当恰有一个奇数时，另外一个必为偶数，故A＝B，故A选项正确，
“至少有一个是奇数的事件”包含”恰有一个奇数的事件”，故B⊆C，故B选项正确，
“至多有一个奇数的事件”包含“一个奇数，一个偶数的事件”和“两个都为偶数的事件”，故D，E不互斥，故C选项错误，
C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，C和D即是互斥事件，又是对立事件，故D选项正确．
故选：ABD．
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则或
B．已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（0，4）
C．若，则向量，的夹角为钝角
D．设，是同一平面内两个不共线的向量，则，可作为该平面的一个基底
解：对于A：若，若不为，则，故A错误；
对于B：已知，，所以cos＝，故向量在向量上的投影向量为，所以向量的坐标为（0，4），故B正确；
对于C：若，则向量，的夹角为钝角或相反向量，故C错误；
对于D：设，是同一平面内两个不共线的向量，则，，所以＝（2，1），，由于不共线，所以可作为该平面的一个基底，故D正确；
故选：BD．
11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点．给出下面四个命题，其中正确的是（ ）
A．EF∥AC
B．直线AF与直线CE所成角的最大值是
C．若直线AF与直线CE相交，则交点在直线DD1上
D．若直线AF与直线CE相交，则二面角E﹣AC﹣D的平面角的最小正切值为
解：对于A选项，当E在C1，F在A1时，EF∥AC，但点E，F是动点，故A选项错误，
对于B选项，直线AF与直线CE所成角的最大值就是E，F与D1重合时取得，夹角是，故B选项正确，
对于C选项，∵空间3个平面两两相交有3条交线，要么互相平行，要么相交于一点，
∴直线AF与直线CE相交，则交点在直线DD1上，故C选项正确，
对于D选项，当E，F与D1重合时，二面角E﹣AC﹣D的平面角最小，连接BD交AC于O，连接AD1，CD1，OD1，
∵AD1＝CD1，O为AC的中点，
∴D1O⊥AC，
又∵DO⊥AC，
∴∠D1OD 为二面角E﹣AC﹣D的平面角，
设正方体的边长为a，则OD＝，
∴，故D选项正确．
故选：BCD．
12．在△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若∠APB＝150°，则
C．△BPC的面积的最大值为
D．△ABP的面积的取值范围是
解：对于A：当PB＝时，∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°，
在△PBA中，由余弦定理，得PA2＝AB²+PB²﹣2AB•PB•cos30°
＝3+﹣2×××＝，∴PA＝，故A错误；
对于B：∠APB＝150°时，设∠BCP＝α，α∈（0°，60°），
则∠PAB＝30°﹣α，所以＝tanα，
因为BC＝1，所以PB＝BC•sinα＝sinα，
在△PBA中，根据正弦定理，＝，
可得＝，
化简得cosα＝4sinα，所以tanα＝，
所以＝，故B正确；
对于C：由B得∠BCP＝α时，PC＝cosα，BP＝sinα，α∈（0°，60°），
所以S△PBC＝sinαcosα＝sin2α，
当2α＝90°，即α＝45°时，sin2α取到最大值1，
则△PBC的最大值为，故C正确；
对于D：由C得，当∠BCP＝α时，∠PBA＝α，α∈（0°，60°），
所以在直角坐标系中，又xP＝sinαcosα，yP＝sin2α，
所以S△PBA＝BA•yP＝×sin2α＝sin2α，
因为sinα在（0°，60°）上单调递增，故sin2α在（0°，60°）上单调递增，
所以sin20°＝0，sin260＝，
所以sin20°＝0，sin260°＝，
所以S△PBA∈（0，），故D错误，
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，则a＝ 2 ．
解：若复数z＝（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，
则，求得a＝2，
故答案为：2．
14．2021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作，生活垃圾需按照“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”的标准进行分类投放．若某居民将“厨余垃圾“和“可回收物“两袋垃圾随机地投放到四个分类垃圾桶中的两个，则两袋垃圾均投放准确的概率为 ．
解：“厨余垃圾“和“可回收物“两袋垃圾随机地投放到四个分类垃圾桶中，共有种不同的投放方法，
两袋垃圾均投放准确，则共有1种投放方法，
所以两袋垃圾均投放准确的概率为．
故答案为：．
15．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．如图，是一个棱长为1的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上．则该正方体的棱长为 ；半正多面体的表面积为 ．
解：由题意，可将正六边形补全为正方形，
则△DEF是斜边为1的等腰直角三角形，直角边DF＝，
所以正方形的边长为DC＝1+2×＝；
半多面体包含6个正六边形，8个正三角形，
每个正六边形的面积，
每个等边三角形的面积，
所以半个正多面体的表面积为＝．
故答案为：；．
16．已知正三棱锥A﹣BCD的底面是边长为3的正三角形，其外接球O的表面积为16π，且点A到底面BCD的距离小于外接球O的半径，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为 ．
解：因为外接球球O的表面积为16π，
设其半径为r，则有4πr2＝16π，解得r＝2，
设点A到平面BCD的距离为x，
则有（x﹣2）2+（）2＝22，解得x＝1或x＝3（舍），
取BD的中点Q，则EQ∥AB，
所以异面直线AB与CE所成角为∠QEC或它的补角，
AB＝＝＝2，即AC＝AD＝2，
所以EQ＝1，而CQ＝＝，
cos∠CAD＝＝﹣，
所以CE2＝AC2+AE2﹣2AC•AEcos∠CAD＝4+1﹣2×＝，
所以CE＝＝，
cos∠QEC＝＝＝﹣，
故异面直线AB与CE所成角的余弦值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在复平面内，O为坐标原点，复数，所对应的向量分别为，．
（1）求所对应的点C的坐标；
（2）求的值．
解：（1）∵，，
∴，
∴点C的坐标为．
（2）∵，，，
∴，
∴．
18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是边长为的菱形，A1C1＝B1C＝2，A1B1⊥平面BCC1B1，E，F分别是AC，BB1的中点．
（1）求证：EF∥平面A1B1C；
（2）求直线A1C1与平面A1B1C所成的角．
【解答】（1）证明：如图，取BC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB，FG∥B1C，
∵AB∥A1B1，∴EG∥A1B1，
∵EG⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
∴EG∥平面A1B1C；
∵FG⊄平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，
∴FG∥平面A1B1C；
又EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG，
∴平面EFG∥平面A1B1C；
∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1B1C；
（2）解：设BC1与B1C交于点H，连接A1H，
∵侧面BCC1B1是边长为的菱形，A1C1＝B1C＝2，
∴B1C⊥HC1，B1H＝1，
∴；
∵A1B1⊥平面BCC1B1，HC1⊂平面BCC1B1，
∴A1B1⊥HC1，
∵B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
∴HC1⊥平面A1B1C，
∴∠C1A1H为直线A1C1与平面A1B1C所成的角；
∵A1H⊂平面A1B1C，∴HC1⊥A1H；
∵又，A1C1＝2，
∴，
∴，即直线A1C1与平面A1B1C所成的角为．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b（sinC+cosC）．
（1）求B；
（2）若a＝1，，求△ABC的面积．
解：（1）∵a＝b（sinC+cosC），
由正弦定理得，sinA＝sinB（sinC+cosC），
∴sin（B+C）＝sinB（sinC+cosC），
∴sinBcosC+cosBsinC＝sinBsinC+sinBcosC，
∴cosBsinC＝sinBsinC，
∴cosB＝sinB，
∴tanB＝1，
又B∈（0，π），
∴．
（2）∵，，
∴，可得，
∴由正弦定理，可得，
∴．
20．为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了党史知识竞赛，在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答，若甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．求：
（1）甲至少抽到1道填空题的概率；
（2）甲答对的题数比乙多的概率．
解：（1）记3道选择题的题号为1，2，3，2道填空题的题号为4，5，
则试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，
共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，
记事件A＝“甲至少抽到1道填空题”，
则A＝{（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，
所以n（A）＝7，
故，
因此甲至少抽到1道填空题的概率为；
（2）设事件A1，A2分别表示甲答对1道题，2道题，事件B0，B1分别表示乙答对0道题，1道题，
则，
，
，
，
记事件B＝“甲答对的题数比乙多”，
则B＝A1B0∪A2B0∪A2B1，且A1B0，A2B0，A2B1两两互斥，A1与B0，A2与B0，A2与B1分别相互独立，
所以P（B）＝P（A1B0）+P（A2B0）+P（A2B1）
＝P（A1）P（B0）+P（A2）P（B0）+P（A2）P（B1）
＝，
故甲答对的题数比乙多的概率为．
21．已知A，B两家公司的员工月均工资情况如图：
（1）以每组数据的区间中点值代表该组数据的平均水平，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请简要说明理由．
（2）小明拟到A，B两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？
解：（1）A公司员工月均工资的平均数为：
0.3×0.18+0.5×0.29+0.7×0.3+0.9×0.21+29×0.02＝1.178（万元），
由A公司员工月均工资的扇形图知，在0.6万元以下的比例为0.18+0.29＝0.47，
A公司员工月均工资在0.8万元以下的比例为0.18+0.29+0.3＝0.77，
A公司员工月均工资的中位数为（万元），
∵平均数受每一个数据的影响，越离群的数据对平均数的影响越大，
又∵公司少数员工的月收入很高，在这种情况下平均数明显右偏，
∴并不能较好的反映普通员工的收入水平，
∵中位数不受少数极端数据的影响，
∴中位数可以较好的反映普通员工的收入水平．
（2）B公司员工月均工资的平均数为：
（0.3×0.375+0.5×0.75+0.7×2.75+0.9×1+1.1×0.125）×0.2＝0.69（万元），
由B公司员工月均工资的频率分布直方图知，在0.6万元以下的比例为（0.375+0.75）×0.2＝0.225，
B公司员工月均工资在0.8万元以下的比例为（0.375+0.75+2.75）×0.2＝0.775，
B公司员工月均工资的中位数为（万元），
∵B公司员工工资数据较为集中，月工资的平均数和中位数均能反映该公司普通员工的平均收入水平，
又∵B公司员工月工资（万元）平均数为0.69，中位数为0.7，
均大于反映A公司普通员工的收入水平的中位数0.62，
∴以公司普通员工的工资水平作为决策依据，小明应该选B公司应聘．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBE；
（2）是否存在点F，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，在平面PBE内确定一点H，使CH+FH的值最小，并求此时的值．
【解答】（1）证明：∵△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，
∴PE⊥AD．
∵ABCD是菱形，∴AD＝AB．
又∵∠BAD＝60°，∴△ABD是正三角形，
∴BE⊥AD，而BE∩PE＝E，
∴AD⊥平面PBE．
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PBE．
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBE；
（2）解：由，知．
∴，
又VD﹣PFB＝VP﹣BDC﹣VF﹣BCC＝λVF﹣BCD，
因此，的充要条件是，
∴λ＝4．
即存在满足的点F，使得，此时λ＝4；
（3）解：延长CB到C'，使得BC＝BC'，
由（1）知CB⊥平面PBE，
则C'是点C关于面PBE的对称点，
在平面PBC中，过点C'作C'F⊥PC，垂足为F，交PB于H，则点H是使CH+FH的值最小的点．
设BC＝2a，则，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，∵BE⊂平面ABCD，
∴PE⊥BE，得，
∴，
∴，
得．
2020-2021学年福建省三明市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．现用分层随机抽样的方法调查某校学生的视力情况，该校三个年级的学生人数如表：
年级
高一
高二
高三
人数
550
500
450
已知在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
2．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD C．BC D．AC
3．下列结论正确的是（ ）
A．事件A的概率P（A）必有0＜P（A）＜1
B．事件A的概率P（A）＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其有明显的疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
4．若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（ ）
A．甲同学：平均数为2，方差小于1
B．乙同学：平均数为2，众数为1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
5．设D，E分别为△ABC两边BC，CA的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．
6．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则cos∠ADE＝（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，
C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，
E＝“至多有一个奇数”．
下列结论正确的有（ ）
A．A＝B B．B⊆C
C．D∩E＝∅ D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则或
B．已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（0，4）
C．若，则向量，的夹角为钝角
D．设，是同一平面内两个不共线的向量，则，可作为该平面的一个基底
11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点．给出下面四个命题，其中正确的是（ ）
A．EF∥AC
B．直线AF与直线CE所成角的最大值是
C．若直线AF与直线CE相交，则交点在直线DD1上
D．若直线AF与直线CE相交，则二面角E﹣AC﹣D的平面角的最小正切值为
12．在△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若∠APB＝150°，则
C．△BPC的面积的最大值为
D．△ABP的面积的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，则a＝ ．
14．2021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作，生活垃圾需按照“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”的标准进行分类投放．若某居民将“厨余垃圾“和“可回收物“两袋垃圾随机地投放到四个分类垃圾桶中的两个，则两袋垃圾均投放准确的概率为 ．
15．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．如图，是一个棱长为1的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上．则该正方体的棱长为 ；半正多面体的表面积为 ．
16．已知正三棱锥A﹣BCD的底面是边长为3的正三角形，其外接球O的表面积为16π，且点A到底面BCD的距离小于外接球O的半径，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在复平面内，O为坐标原点，复数，所对应的向量分别为，．
（1）求所对应的点C的坐标；
（2）求的值．
18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是边长为的菱形，A1C1＝B1C＝2，A1B1⊥平面BCC1B1，E，F分别是AC，BB1的中点．
（1）求证：EF∥平面A1B1C；
（2）求直线A1C1与平面A1B1C所成的角．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b（sinC+cosC）．
（1）求B；
（2）若a＝1，，求△ABC的面积．
20．为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了党史知识竞赛，在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答，若甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．求：
（1）甲至少抽到1道填空题的概率；
（2）甲答对的题数比乙多的概率．
21．已知A，B两家公司的员工月均工资情况如图：
（1）以每组数据的区间中点值代表该组数据的平均水平，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请简要说明理由．
（2）小明拟到A，B两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBE；
（2）是否存在点F，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，在平面PBE内确定一点H，使CH+FH的值最小，并求此时的值．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．现用分层随机抽样的方法调查某校学生的视力情况，该校三个年级的学生人数如表：
年级
高一
高二
高三
人数
550
500
450
已知在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
解：设该样本中高三年级的人数为n，
由分层抽样的性质列方程得：
，
解得n＝18．
故选：A．
2．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD C．BC D．AC
解：由斜二测画法法则知，直观图△A′B′C′对应的原图形△ABC是直角三角形，
其中AC是斜边，AD是直角边上的中线，所以最长的线段是AC．
故选：D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．事件A的概率P（A）必有0＜P（A）＜1
B．事件A的概率P（A）＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其有明显的疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
解：由概率的基本性质，事件A的概率P（A）的值满足0≤P（A）≤1，故A错误；
必然事件概率为1，故B错误；
某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，不一定有5张中奖，故D错误．
故选：C．
4．若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（ ）
A．甲同学：平均数为2，方差小于1
B．乙同学：平均数为2，众数为1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
解：记甲同学三次考试名次为a，b，c，
则＝2，＜1，
若甲同学三次考试名次中低于第3名的，不妨设a≥4，
则（a﹣2）2≥4，与＜1相矛盾，故A正确，
若三次考试名次为1，1，4，满足平均数为2，众数为1，故B错，
若三次考试名次为2，2，4，满足中位数为2，众数为2，故C错，
若三次考试名次为2，2，4，满足众数为2，方差大于1，故D错，
故选：A．
5．设D，E分别为△ABC两边BC，CA的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．
解：因为D，E分别为△ABC两边BC，CA的中点，
所以＝（+）+（﹣）＝（+）+（﹣）＝．
故选：D．
6．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：经随机模拟产生了以下20组随机数：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
共有20组随机数，
恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，144，133，共有3个，
所以恰好在第三次就停止摸球的概率为．
故选：B．
7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
解：连接CD，交PE于G，连接FG，如图，
∵AD∥平面PEF，平面ADC∩平面PEF＝FG，
∴AD∥FG，
∵点D，E分别为棱PB，BC的中点．
∴G是△PBC的重心，
∴＝＝．
故选：C．
8．△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则cos∠ADE＝（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，直线CE与直线AB相交于点D，设＝λ，
则＝λ（+）＝+，
又由A、D、B三点共线，则+＝1，解可得λ＝3，
故＝+，
＝﹣＝﹣﹣＝（﹣）＝，
又由AB＝5，则AD＝3，DC＝2，
则在△ABC中，cos∠ABC＝＝，
则CD2＝BD2+BC2﹣2BD×BC×cos∠ABC＝，则CD＝，
故在△ADC中，cos∠ADE＝cos∠ADC＝＝；
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，
C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，
E＝“至多有一个奇数”．
下列结论正确的有（ ）
A．A＝B B．B⊆C
C．D∩E＝∅ D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω
解：∵从1至9这9个自然数中任取两个，
∴当恰有一个偶数时，另外一个必为奇数，当恰有一个奇数时，另外一个必为偶数，故A＝B，故A选项正确，
“至少有一个是奇数的事件”包含”恰有一个奇数的事件”，故B⊆C，故B选项正确，
“至多有一个奇数的事件”包含“一个奇数，一个偶数的事件”和“两个都为偶数的事件”，故D，E不互斥，故C选项错误，
C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，C和D即是互斥事件，又是对立事件，故D选项正确．
故选：ABD．
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则或
B．已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（0，4）
C．若，则向量，的夹角为钝角
D．设，是同一平面内两个不共线的向量，则，可作为该平面的一个基底
解：对于A：若，若不为，则，故A错误；
对于B：已知，，所以cos＝，故向量在向量上的投影向量为，所以向量的坐标为（0，4），故B正确；
对于C：若，则向量，的夹角为钝角或相反向量，故C错误；
对于D：设，是同一平面内两个不共线的向量，则，，所以＝（2，1），，由于不共线，所以可作为该平面的一个基底，故D正确；
故选：BD．
11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点．给出下面四个命题，其中正确的是（ ）
A．EF∥AC
B．直线AF与直线CE所成角的最大值是
C．若直线AF与直线CE相交，则交点在直线DD1上
D．若直线AF与直线CE相交，则二面角E﹣AC﹣D的平面角的最小正切值为
解：对于A选项，当E在C1，F在A1时，EF∥AC，但点E，F是动点，故A选项错误，
对于B选项，直线AF与直线CE所成角的最大值就是E，F与D1重合时取得，夹角是，故B选项正确，
对于C选项，∵空间3个平面两两相交有3条交线，要么互相平行，要么相交于一点，
∴直线AF与直线CE相交，则交点在直线DD1上，故C选项正确，
对于D选项，当E，F与D1重合时，二面角E﹣AC﹣D的平面角最小，连接BD交AC于O，连接AD1，CD1，OD1，
∵AD1＝CD1，O为AC的中点，
∴D1O⊥AC，
又∵DO⊥AC，
∴∠D1OD 为二面角E﹣AC﹣D的平面角，
设正方体的边长为a，则OD＝，
∴，故D选项正确．
故选：BCD．
12．在△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若∠APB＝150°，则
C．△BPC的面积的最大值为
D．△ABP的面积的取值范围是
解：对于A：当PB＝时，∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°，
在△PBA中，由余弦定理，得PA2＝AB²+PB²﹣2AB•PB•cos30°
＝3+﹣2×××＝，∴PA＝，故A错误；
对于B：∠APB＝150°时，设∠BCP＝α，α∈（0°，60°），
则∠PAB＝30°﹣α，所以＝tanα，
因为BC＝1，所以PB＝BC•sinα＝sinα，
在△PBA中，根据正弦定理，＝，
可得＝，
化简得cosα＝4sinα，所以tanα＝，
所以＝，故B正确；
对于C：由B得∠BCP＝α时，PC＝cosα，BP＝sinα，α∈（0°，60°），
所以S△PBC＝sinαcosα＝sin2α，
当2α＝90°，即α＝45°时，sin2α取到最大值1，
则△PBC的最大值为，故C正确；
对于D：由C得，当∠BCP＝α时，∠PBA＝α，α∈（0°，60°），
所以在直角坐标系中，又xP＝sinαcosα，yP＝sin2α，
所以S△PBA＝BA•yP＝×sin2α＝sin2α，
因为sinα在（0°，60°）上单调递增，故sin2α在（0°，60°）上单调递增，
所以sin20°＝0，sin260＝，
所以sin20°＝0，sin260°＝，
所以S△PBA∈（0，），故D错误，
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，则a＝ 2 ．
解：若复数z＝（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，
则，求得a＝2，
故答案为：2．
14．2021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作，生活垃圾需按照“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”的标准进行分类投放．若某居民将“厨余垃圾“和“可回收物“两袋垃圾随机地投放到四个分类垃圾桶中的两个，则两袋垃圾均投放准确的概率为 ．
解：“厨余垃圾“和“可回收物“两袋垃圾随机地投放到四个分类垃圾桶中，共有种不同的投放方法，
两袋垃圾均投放准确，则共有1种投放方法，
所以两袋垃圾均投放准确的概率为．
故答案为：．
15．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．如图，是一个棱长为1的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上．则该正方体的棱长为 ；半正多面体的表面积为 ．
解：由题意，可将正六边形补全为正方形，
则△DEF是斜边为1的等腰直角三角形，直角边DF＝，
所以正方形的边长为DC＝1+2×＝；
半多面体包含6个正六边形，8个正三角形，
每个正六边形的面积，
每个等边三角形的面积，
所以半个正多面体的表面积为＝．
故答案为：；．
16．已知正三棱锥A﹣BCD的底面是边长为3的正三角形，其外接球O的表面积为16π，且点A到底面BCD的距离小于外接球O的半径，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为 ．
解：因为外接球球O的表面积为16π，
设其半径为r，则有4πr2＝16π，解得r＝2，
设点A到平面BCD的距离为x，
则有（x﹣2）2+（）2＝22，解得x＝1或x＝3（舍），
取BD的中点Q，则EQ∥AB，
所以异面直线AB与CE所成角为∠QEC或它的补角，
AB＝＝＝2，即AC＝AD＝2，
所以EQ＝1，而CQ＝＝，
cos∠CAD＝＝﹣，
所以CE2＝AC2+AE2﹣2AC•AEcos∠CAD＝4+1﹣2×＝，
所以CE＝＝，
cos∠QEC＝＝＝﹣，
故异面直线AB与CE所成角的余弦值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在复平面内，O为坐标原点，复数，所对应的向量分别为，．
（1）求所对应的点C的坐标；
（2）求的值．
解：（1）∵，，
∴，
∴点C的坐标为．
（2）∵，，，
∴，
∴．
18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是边长为的菱形，A1C1＝B1C＝2，A1B1⊥平面BCC1B1，E，F分别是AC，BB1的中点．
（1）求证：EF∥平面A1B1C；
（2）求直线A1C1与平面A1B1C所成的角．
【解答】（1）证明：如图，取BC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB，FG∥B1C，
∵AB∥A1B1，∴EG∥A1B1，
∵EG⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
∴EG∥平面A1B1C；
∵FG⊄平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，
∴FG∥平面A1B1C；
又EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG，
∴平面EFG∥平面A1B1C；
∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1B1C；
（2）解：设BC1与B1C交于点H，连接A1H，
∵侧面BCC1B1是边长为的菱形，A1C1＝B1C＝2，
∴B1C⊥HC1，B1H＝1，
∴；
∵A1B1⊥平面BCC1B1，HC1⊂平面BCC1B1，
∴A1B1⊥HC1，
∵B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
∴HC1⊥平面A1B1C，
∴∠C1A1H为直线A1C1与平面A1B1C所成的角；
∵A1H⊂平面A1B1C，∴HC1⊥A1H；
∵又，A1C1＝2，
∴，
∴，即直线A1C1与平面A1B1C所成的角为．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b（sinC+cosC）．
（1）求B；
（2）若a＝1，，求△ABC的面积．
解：（1）∵a＝b（sinC+cosC），
由正弦定理得，sinA＝sinB（sinC+cosC），
∴sin（B+C）＝sinB（sinC+cosC），
∴sinBcosC+cosBsinC＝sinBsinC+sinBcosC，
∴cosBsinC＝sinBsinC，
∴cosB＝sinB，
∴tanB＝1，
又B∈（0，π），
∴．
（2）∵，，
∴，可得，
∴由正弦定理，可得，
∴．
20．为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了党史知识竞赛，在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答，若甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．求：
（1）甲至少抽到1道填空题的概率；
（2）甲答对的题数比乙多的概率．
解：（1）记3道选择题的题号为1，2，3，2道填空题的题号为4，5，
则试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，
共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，
记事件A＝“甲至少抽到1道填空题”，
则A＝{（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，
所以n（A）＝7，
故，
因此甲至少抽到1道填空题的概率为；
（2）设事件A1，A2分别表示甲答对1道题，2道题，事件B0，B1分别表示乙答对0道题，1道题，
则，
，
，
，
记事件B＝“甲答对的题数比乙多”，
则B＝A1B0∪A2B0∪A2B1，且A1B0，A2B0，A2B1两两互斥，A1与B0，A2与B0，A2与B1分别相互独立，
所以P（B）＝P（A1B0）+P（A2B0）+P（A2B1）
＝P（A1）P（B0）+P（A2）P（B0）+P（A2）P（B1）
＝，
故甲答对的题数比乙多的概率为．
21．已知A，B两家公司的员工月均工资情况如图：
（1）以每组数据的区间中点值代表该组数据的平均水平，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请简要说明理由．
（2）小明拟到A，B两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？
解：（1）A公司员工月均工资的平均数为：
0.3×0.18+0.5×0.29+0.7×0.3+0.9×0.21+29×0.02＝1.178（万元），
由A公司员工月均工资的扇形图知，在0.6万元以下的比例为0.18+0.29＝0.47，
A公司员工月均工资在0.8万元以下的比例为0.18+0.29+0.3＝0.77，
A公司员工月均工资的中位数为（万元），
∵平均数受每一个数据的影响，越离群的数据对平均数的影响越大，
又∵公司少数员工的月收入很高，在这种情况下平均数明显右偏，
∴并不能较好的反映普通员工的收入水平，
∵中位数不受少数极端数据的影响，
∴中位数可以较好的反映普通员工的收入水平．
（2）B公司员工月均工资的平均数为：
（0.3×0.375+0.5×0.75+0.7×2.75+0.9×1+1.1×0.125）×0.2＝0.69（万元），
由B公司员工月均工资的频率分布直方图知，在0.6万元以下的比例为（0.375+0.75）×0.2＝0.225，
B公司员工月均工资在0.8万元以下的比例为（0.375+0.75+2.75）×0.2＝0.775，
B公司员工月均工资的中位数为（万元），
∵B公司员工工资数据较为集中，月工资的平均数和中位数均能反映该公司普通员工的平均收入水平，
又∵B公司员工月工资（万元）平均数为0.69，中位数为0.7，
均大于反映A公司普通员工的收入水平的中位数0.62，
∴以公司普通员工的工资水平作为决策依据，小明应该选B公司应聘．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBE；
（2）是否存在点F，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，在平面PBE内确定一点H，使CH+FH的值最小，并求此时的值．
【解答】（1）证明：∵△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，
∴PE⊥AD．
∵ABCD是菱形，∴AD＝AB．
又∵∠BAD＝60°，∴△ABD是正三角形，
∴BE⊥AD，而BE∩PE＝E，
∴AD⊥平面PBE．
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PBE．
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBE；
（2）解：由，知．
∴，
又VD﹣PFB＝VP﹣BDC﹣VF﹣BCC＝λVF﹣BCD，
因此，的充要条件是，
∴λ＝4．
即存在满足的点F，使得，此时λ＝4；
（3）解：延长CB到C'，使得BC＝BC'，
由（1）知CB⊥平面PBE，
则C'是点C关于面PBE的对称点，
在平面PBC中，过点C'作C'F⊥PC，垂足为F，交PB于H，则点H是使CH+FH的值最小的点．
设BC＝2a，则，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，∵BE⊂平面ABCD，
∴PE⊥BE，得，
∴，
∴，
得．
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