福建省莆田市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷及参考答案

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参考答案及解析
1.【答案】C
【详解】
，
，∴．
故选：C.
2.【答案】B
【详解】
因为，
所以是奇函数，故排除A，C；
因为，且，
所以，
故选：B
3.【答案】B
【解析】如图建系，设，则，，
则，，，
∴，
又∵，令，，
则，当时取等号，
∴，当时取最大值，故选B。
4.【答案】C
【解析】由，可得，两式相减得：
，
即，∴，
由已知，∴，∴数列为等差数列，公差为，
再由，令得，
即，∴或(舍去)，
∴，因此，故选C。
5.【答案】B
【解析】以为直径的圆的半径为，
双曲线的右顶点到以为直径的圆的圆心的距离为，
则，化简得，令，则，则，
即，，即，又，则，故选B。
6.D 【解析】如图所示，，四边形为梯形.
对选项A，由题知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故A正确；
对选项B，因为，所以“羡除”一定不是台体，故B正确；
对选项C，假设四边形和四边形为平行四边形，
则，，则四边形为平行四边形，
与已知四边形为梯形矛盾，故不存在，C正确.
对选项D，若，则“羡除”有三个面为梯形，故D错误.
故选D.
7.【答案】C
【详解】
由图象知：函数是偶函数，排除AD，
又，排除B
故选：C
8.【答案】B
【详解】
由已知时，，故，解得；
污染物减少27%，即，
由，所以，则.
故选：B.
9.【答案】AC
【详解】
对于，天中，只有月日的日均值大于，故月日空气质量超标，正确；
对于，天的日均值按照从小到大顺序排列，位于第和第位的日均值为和，故中位数为，错误；
对于，平均数，正确；
对于，月日的日均值大于月日的日均值，错误.
故选：AC.
10.【答案】ABD
【详解】
因为，
所以，
所以，故A正确；
因为，利用正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
即
因为，所以，
所以，又，
所以，故B正确；
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
11.【答案】AD
【详解】
圆的圆心为，半径为.
为的中点，，所以，
设，则，所以点的轨迹方程为.
即在圆心为，半径为的圆上.
，都在直线上，且，
设线段的中点为，则，
以为圆心，半径为的圆与圆外离时，始终有为锐角，
所以，
即，，所以或，
即或.
所以AD选项正确.
故选：AD
12.【答案】BC
【详解】
令，则，显然函数为增函数，
当时，为减函数，
根据复合函数单调性可知，在单调递减，
因为，
所以增函数在时，，
即的值域为；
因为，
所以的一个周期为，
因为，令，
设为上任意一点，
则为关于对称的点，
而，
知点不在函数图象上，
故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称.
故选：BC
13.【答案】
【解析】
由
，
所以，解得，
所以，又，
解得，
综上所述，，
所以.
故答案为：
14.【答案】4
【解析】
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
作出直线，直线与可行域的边界交于两点，由解得，又，，，且，
当时，；当时；当时，；当时，，
整数解的个数为4.
故答案：4
15.【答案】96里
【解析】
根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，
解可得，
则；
即此人第二天走的路程里数为96；
故答案：96里．
答案：
【解析】
先利用点求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点，即求出直线方程.
在抛物线上，故，即，抛物线方程为，
设过点与圆相切的直线的方程为：，即，则圆心到切线的距离，解得，如图，直线，直线.
联立 ，得，
故，由得，故，
联立 ，得，
故，由得，故，
故，又由在抛物线上可知，
直线的斜率为 ，
故直线的方程为，即.
故答案：
17.【解析】作图，四个顶点为、、、，
过点作轴的垂线，垂足为，
则，，，，
，，
得，，
∴，。
18.【解答】解：（Ⅰ）由a≠0，则方程ax2﹣x＝0的两根为x＝0或；
当a＞0时，，此时不等式的解集为{x|x＜0或x＞}；
∴当a＜0时，，此时不等式的解集为；
（评分细则：解集写不等式的扣1分，写区间不扣分）
（Ⅱ）当m2﹣2m﹣3＝0时，解得m＝﹣1或m＝3；
当m＝3时，不等式化为﹣1＜0，符合题意；
当m＝﹣1时，不等式化为4x﹣1＜0，不合题意；
所以取m＝3；
当m2﹣2m﹣3≠0时，m需满足，
解得；
综上可得，m的取值范围是．
【知识点】其他不等式的解法、不等式恒成立的问题

19.【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sinA+csA＝1﹣sin．
所以：，
整理得：，
即：，
解得：，
由于：0＜A＜π，
所以：，
所以：．
则：sin（A﹣）＝2•＝，
即：，
所以：．
（2）由于：c2﹣a2＝2b＞0，
所以：c＞a，
A为锐角，
且sinB＝3csC，
则：sinB＝sin（A+C），
＝．
可得：，
csC═＝，
sinC＝，
所以：sinB＝3，
所以：a＝，
由于：c2＝a2+b2﹣2abcsC，
解得：b2﹣2b﹣2abcsC＝0，
即：，
整理得：，
所以：b＝0或4，
由于b＞0，
故：b＝4．
【知识点】三角形中的几何计算
20.
【解答】解：（1）数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，①4bn+1＝3bn﹣an﹣4．②
由①+②得：
所以4（an+1+bn+1）＝2（an+bn），整理得，
所以数列{an+bn}是以a1+b1＝1为首项，为公比的等比数列．
所以③．
同理①﹣②得（an+1﹣bn+1）＝（an﹣bn）+2，
即（an+1﹣bn+1）﹣（an﹣bn）＝2（常数），
所以数列{an﹣bn}是以a1﹣b1＝1为首项，2位公差的等差数列．
所以an﹣bn＝2n﹣1．④
③+④得，
所以．
证明：（2）由于数列{an}的前n项和为Sn，所以＝＝．
＝，
则＜，
所以＝．
所以成立．
【知识点】数列递推式
23.【答案】（1）或；（2）过定点，
【分析】
（1）设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系及弦长公式计算即可；
（2）设以为直径的圆经过点，，，利用得，令解方程组即可.
22.【解析】（1）以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，，∴，，∴，，，
∴平面.
（2），，设平面的法向量为，则，
取，设平面的法向量为，则，
取，∵平面平面，∴，故，
∴，，∴，
设与平面所成角为，，则，∴，
∴与平面所成角的大小为.