2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区、平度区、城阳区高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区、平度区、城阳区高一（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区、平度区、城阳区高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2021春•滕州市期末）已知复数满足，则　　
A． B． C．2 D．1
2．（5分）（2021春•滕州市期末）某人打靶时连续射击两次，设事件 “只有一次中靶”， “两次都中靶”，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． “至少一次中靶” D．与互为对立事件
3．（5分）（2021春•滕州市期末）如图，，，，，且，直线，过，，三点的平面记作，则与的交线必通过　　

A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点
4．（5分）（2014•庄浪县校级一模）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法计该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为　　
A．0.85 B．0.8192 C．0.8 D．0.75
5．（5分）（2021春•滕州市期末）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．
6．（5分）（2021春•滕州市期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则解的个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．不确定
7．（5分）（2021春•滕州市期末）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（5分）（2021春•滕州市期末）在正方体中，点满足，若平面平面，则实数的值为　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）（2021春•滕州市期末）下列关于平面向量的说法中正确的是　　
A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得
B．在中，若，则点为边上的中点
C．已知，均为非零向量，若，则
D．若且，则
10．（5分）（2021春•滕州市期末）一个袋子中装有大小和质地相同的3个白球和1个红球，从中随机抽取2个球，其中结论正确的是　　
A．一次抽取2个，取出的两个球中恰有一个红球的概率是
B．每次抽取1个，不放回抽取两次，样本点总数为16
C．每次抽取1个，有放回抽取两次，样本点总数为16
D．每次抽取1个，不放回抽取两次，“第一次取出白球”与“第二次取出红球”相互独立
11．（5分）（2021春•滕州市期末）在中，角，，的对边分别是，，，则能确定为钝角的是　　
A． B．
C． D．
12．（5分）（2021春•滕州市期末）将边长为2的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点，分别为线段，的中点，则　　

A．
B．四面体的表面积为
C．四面体的外接球的体积为
D．过且与平行的平面截四面体所得截面的面积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2021春•滕州市期末）已知，若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 　　．
14．（5分）（2021春•滕州市期末）已知非零向量，，满足，与的夹角为，，则向量在向量上的投影向量的模为 　　．
15．（5分）（2021春•滕州市期末）对于直线，平面和平面，给出下列三个论断：①；②；③．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的命题，则作为该命题条件的序号为 　　．
16．（5分）（2021春•滕州市期末）某工厂新旧两条生产线的产量比为，为了解该工厂生产的一批产品的质量情况，采用样本量比例分配的分层抽样方法从两条生产线抽取样本，并观测样本的质量指标值，计算得新生产线质量指标的均值为10，方差为1，旧生产线质量指标的均值为9，方差为2，由此估计，该批产品的质量指标的均值为 　　，方差为 　　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2021春•滕州市期末）已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量与的夹角的大小．
18．（12分）（2021春•滕州市期末）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，证明：平面平面．

19．（12分）（2021春•滕州市期末）某市高三进行高考模拟考试，等级考试科目将采用新高考赋分模式，排名等级从高分到低分占比分别是：等级；等级；等级等级；等级；等级；等级；等级．现随机抽取1000名学生物理学科的原始成绩（未赋予）进行分析，其频率分布直方图如图所示．
（1）以样本估计总体，估计本次物理成绩原始平均分及等级最低原始分（结果四舍五入保留整数）．
（2）若用比例分配的分层抽样方法在分数段为，的学生中抽取6人，再从这6人中任取2人，求至多有1人在分数段，内的概率．

20．（12分）（2021春•滕州市期末）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；
②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对2道题的概率；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率；
（3）选手甲闯关成功的概率．
21．（12分）（2021春•滕州市期末）在如图所示的空间几何体中，平面平面，与均是等边三角形，，和平面所成的角为．过点作平面的垂线，垂足在的平分线上．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的正切值．

22．（12分）（2021春•滕州市期末）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为．
（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍．
（ⅰ）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．
（ⅱ）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？


2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区、平度区、城阳区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2021春•滕州市期末）已知复数满足，则　　
A． B． C．2 D．1
【解答】解：复数满足，
，
．
故选：．
2．（5分）（2021春•滕州市期末）某人打靶时连续射击两次，设事件 “只有一次中靶”， “两次都中靶”，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． “至少一次中靶” D．与互为对立事件
【解答】解：根据题意，事件 “只有一次中靶”，包括两个事件“第一次中靶第二次没有中靶”或“第一次没有中靶而第二次中靶”
依次分析选项：
对于，不是的子事件，错误；
对于，、不会同时发生，即，错误；
对于， “至少一次中靶”， 正确；
对于，与互为互斥事件，不是对立事件，错误；
故选：．
3．（5分）（2021春•滕州市期末）如图，，，，，且，直线，过，，三点的平面记作，则与的交线必通过　　

A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点
【解答】解：直线，过，，三点的平面记作，
，
与的交线必通过点和点，
故选：．
4．（5分）（2014•庄浪县校级一模）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法计该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为　　
A．0.85 B．0.8192 C．0.8 D．0.75
【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：
5727 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698
6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281．
共15组随机数，
所求概率为．
故选：．
5．（5分）（2021春•滕州市期末）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：设底面圆的圆心为，半径为．连接，．
因为，分别为，的中点，所以，．
因为为弧中点，所以，又平面平面，所以平面．
所以，又，所以为等腰直角三角形，所以．
因为，所以异面直线和所成角为，故余弦值为．
故选：．

6．（5分）（2021春•滕州市期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则解的个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【解答】解：在中，根据正弦定理，
将，，代入，可得，
解得，
又，
，即，
，则解的个数为1．
故选：．
7．（5分）（2021春•滕州市期末）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：设，则，
复数对应的点在第二象限，，，
由，得，
由，得，
由，得，
由，得，
即且．
即，，，，，
由知不正确，即乙是假命题，
由，，，，解得，．
故选：．
8．（5分）（2021春•滕州市期末）在正方体中，点满足，若平面平面，则实数的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，在正方体中，易得平面平面，
要使平面平面，则必有面，
又点满足，面，
面，，
，．
故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）（2021春•滕州市期末）下列关于平面向量的说法中正确的是　　
A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得
B．在中，若，则点为边上的中点
C．已知，均为非零向量，若，则
D．若且，则
【解答】解：对于，结合非零平面向量共线的充要条件，显然成立，故正确；
对于，设中，边的中点为，由向量加法的平行四边形法则可知，故，故正确；
对于，因为，故，整理得，故，故正确；
对于，当时，，此时，未必满足，故错误．
故选：．
10．（5分）（2021春•滕州市期末）一个袋子中装有大小和质地相同的3个白球和1个红球，从中随机抽取2个球，其中结论正确的是　　
A．一次抽取2个，取出的两个球中恰有一个红球的概率是
B．每次抽取1个，不放回抽取两次，样本点总数为16
C．每次抽取1个，有放回抽取两次，样本点总数为16
D．每次抽取1个，不放回抽取两次，“第一次取出白球”与“第二次取出红球”相互独立
【解答】解：设3个白球为，，，红球为，
则样本空间，，，，，，，，，，，，样本空间个数为6个，“一次抽取2个，取出的两个球中恰有一个红球“包含的样本点个数为3个，
所求的概率，故选项正确，
每次抽取1个，不放回抽取两次，样本点总数，故选项错误，
每次抽取1个，放回抽取两次，样本点总数，故选项正确，
每次抽取1个，不放回抽取两次，第一次取出白球会影响第二次取出红球发生的概率，故“第一次取出白球”与“第二次取出红球”不相互独立，故选项错误．
故选：．
11．（5分）（2021春•滕州市期末）在中，角，，的对边分别是，，，则能确定为钝角的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：对于，由于，利用正弦定理可得，可得，可得为锐角，故错误；
对于，由于，即，可得，又为三角形的内角，可得为锐角，则错误；
对于，因为，可得，整理可得，可得，由，可得为钝角，故正确；
对于，因为，所以，由，可得为钝角，故正确．
故选：．
12．（5分）（2021春•滕州市期末）将边长为2的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点，分别为线段，的中点，则　　

A．
B．四面体的表面积为
C．四面体的外接球的体积为
D．过且与平行的平面截四面体所得截面的面积为
【解答】解：选项，如图，取中点为原点，建立空间直角坐标系，坐标如下，，，，，，，，，，，，0，，
，，，，，，与不垂直，故错误；

选项，，
四面体的表面积，故正确；
选项，外接圆半径，锥高，外接球半径满足，，解得，
四面体外接球体积为，故正确；
选项，如图，分别取，中点，，，，，四边形为平行四边形，
，平面，平面，平面，
由选项可知，，，，，，，，，，，
为矩形，面积，故正确，

故选：．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2021春•滕州市期末）已知，若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：，
复数在复平面内对应的点位于第三象限，
，解得，，
故答案为：．
14．（5分）（2021春•滕州市期末）已知非零向量，，满足，与的夹角为，，则向量在向量上的投影向量的模为 　1　．
【解答】解：向量在向量上的投影为，，
所以向量在向量上的投影向量的模为1，
故答案为：1．
15．（5分）（2021春•滕州市期末）对于直线，平面和平面，给出下列三个论断：①；②；③．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的命题，则作为该命题条件的序号为 　①③　．
【解答】解：由，，得或，即①②不能推出③；
由，，可得或或与相交，相交也不一定垂直，即②③不能推出①；
由，可得内必有直线，而，则，可得，即，即①③能够推出②．
故答案为：①③．
16．（5分）（2021春•滕州市期末）某工厂新旧两条生产线的产量比为，为了解该工厂生产的一批产品的质量情况，采用样本量比例分配的分层抽样方法从两条生产线抽取样本，并观测样本的质量指标值，计算得新生产线质量指标的均值为10，方差为1，旧生产线质量指标的均值为9，方差为2，由此估计，该批产品的质量指标的均值为 　9.7　，方差为 　　．
【解答】解：根据两条生产线的产量比为，且新生产线质量指标的均值为10，方差为1，旧生产线质量指标的均值为9，方差为2，
计算该批产品的质量指标的均值为；
因为，所以；
又因为，所以；
所以所求的方差为：
．
故答案为：9.7，1.51．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2021春•滕州市期末）已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量与的夹角的大小．
【解答】解：（1）由得，，
所以，即，
由得，，
所以，即．
（2）由（1）得，，
所以，，，
所以，
所以向量，的夹角为．
18．（12分）（2021春•滕州市期末）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，证明：平面平面．

【解答】证明：（1）连接交于点，则为中点，
连接，又是中点，

则，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为是直三棱柱，
所以平面，
又平面，
所以，
由已知，为的中点，
所以．
又，
所以平面
又平面，
所以
由，，得，，，
故，即，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
19．（12分）（2021春•滕州市期末）某市高三进行高考模拟考试，等级考试科目将采用新高考赋分模式，排名等级从高分到低分占比分别是：等级；等级；等级等级；等级；等级；等级；等级．现随机抽取1000名学生物理学科的原始成绩（未赋予）进行分析，其频率分布直方图如图所示．
（1）以样本估计总体，估计本次物理成绩原始平均分及等级最低原始分（结果四舍五入保留整数）．
（2）若用比例分配的分层抽样方法在分数段为，的学生中抽取6人，再从这6人中任取2人，求至多有1人在分数段，内的概率．

【解答】解：（1）由题意，原始平均分；
物理成绩等级最低原始分约为样本数据的分位数，
物理成绩80分以下的学生所占的比例为，
物理成绩90分以下的学生所占的比例为，
所以，分位数一定位于，内，由
可以估计物理成绩等级最低原始分约为82分．
（2）用分层抽样的方法在分数段为，的学生中抽取一个容量为6的样本，
则分数段，中抽取的学生数为人，
分段数，中抽取的学生数为：人，
设分段数，中的2人为，，分数段，中四人为，，，，
则从6人中任意抽取2人的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
设 “至多有1人在分数段，内”，
则，，，，，，，，，，，，，，，，，，
所以．
20．（12分）（2021春•滕州市期末）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；
②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对2道题的概率；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率；
（3）选手甲闯关成功的概率．
【解答】解：设为选手答对题，其中，2，3
（1）设挑战结束后，选手甲共答对2道题为事件，
选手甲共答对2道即选手甲前2题答对且第3题答错，

由事件独立性的定义得．
（2）设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件，
选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错，
，
由概率的加法公式和事件独立性的定义得．
（3）设选手甲挑战成功为事件，
若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2题或3道题，
“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，

根据对立事件的性质得．
21．（12分）（2021春•滕州市期末）在如图所示的空间几何体中，平面平面，与均是等边三角形，，和平面所成的角为．过点作平面的垂线，垂足在的平分线上．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的正切值．

【解答】（1）证明：取中点，连接，，
由题意，为的平分线，且，．
由已知得，点在上，连接，则平面，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，同理可得平面，
又因为平面，，
因为和平面所成的角为，即，
所以，
所以四边形为平行四边形，，
所以平面．

（2）解：设点到平面的距离为，
由得：，
即，
解得．
（3）解：在面内，过点作于，连接，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
在中，，
在中，，
在中，，
所以二面角的正切值为．
22．（12分）（2021春•滕州市期末）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为．
（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍．
（ⅰ）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．
（ⅱ）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？

【解答】解：（1）如图，在中，由余弦定理得，，

，
，（当且仅当时等号成立），
故两机器人运动路程和的最大值为6．
（2）在中，
机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，
，
由正弦定理可得，，
．
设，则，
由余弦定理可得，，
，
，
由题意得对任意恒成立，
故，当且仅当时取到等号．
答：矩形区域的宽至少为2米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲．
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