2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高二（上）期中数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 直线x＝2021的倾斜角为（ ）
A.90∘B.0∘C.180∘D.45∘

2. 已知向量a→=(1,2,t),b→=(t, 1, 2)，且a→⊥b→，则实数t＝（ ）
A.1B.−1C.−23D.23

3. 若直线l1:ax+y+1＝0与直线l2:x+ay+2a−1＝0平行，则实数a＝（ ）
A.1B.−1C.0D.±1

4. 已知三棱柱ABC−A1B1C1，点P为线段B1C1的中点，则AP→=( )
A.12AB→+AC→+12AA1→B.AB→+12AC→+12AA1→
C.12AB→+12AC→−AA1→D.12AB→+12AC→+AA1→

5. 已知二面角α−l−β的大小为60∘，A，B为棱l上不同两点，C，D分别在半平面α，β内，AC，BD均垂直于棱l，AC＝BD＝2AB＝2，则异面直线CD与AB所成角的余弦值为（ ）
A.15B.55C.13D.12

6. 若过原点的直线l与圆x2−4x+y2+3＝0有两个交点，则l的倾斜角的取值范围为（ ）
A.(−π3,π3)B.(−π6,π6)C.[0,π6)∪(5π6,π)D.[0,π3)∪(2π3,π)

7. 已知椭圆C:x24+y2＝1上两点A，B，若AB的中点为D，直线OD的斜率等于1，则直线AB的斜率等于（ ）
A.−1B.1C.−12D.−14

8. 已知圆O:x2+y2＝r2(r>0)与直线x2+y2=1交于A，B两点，且|AB|＝23，则圆O与函数f(x)＝ln(x−1)的图象交点个数为（ ）个
A.2B.1C.0D.3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

已知直线l:x−my+m−1＝0，则下述正确的是（ ）
A.直线l的斜率可以等于0
B.直线l的斜率有可能不存在
C.直线l可能过点(2, 1)
D.若直线l的横纵截距相等，则m＝±1

已知椭圆C:16x2+25y2＝400，关于椭圆C下述正确的是（ ）
A.椭圆C的长轴长为10
B.椭圆C的两个焦点分别为(0, −3)和(0, 3)
C.椭圆C的离心率等于35
D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|=325

已知点F1(−1, 0)，F2(1, 0)，动点P到直线x＝2的距离为d，|PF2|d=22，则（ ）
A.点P的轨迹是椭圆B.点P的轨迹曲线的离心率等于12
C.点P的轨迹方程为x22+y2=1D.△PF1F2的周长为定值42

已知四面体ABCD的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A.异面直线AC与BD所成角为60∘
B.点A到平面BCD的距离为263
C.四面体ABCD的外接球体积为6π
D.动点P在平面BCD上，且AP与AC所成角为60∘，则点P的轨迹是椭圆
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

圆C1:x2+y2+4x＝0与圆C2：(x−2)2+(y−1)2＝9的位置关系为________．

已知椭圆x2m+y29=1的离心率等于13，则实数m＝________．

已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P为线段AC1上一点，|PA→|＝1，则点P到平面ABCD的距离为________33 ．

在平面直角坐标系中，A(1, 2)，D(2, 1)，点B，C分别在x轴、y轴上，则：
（1）|AB|+|BD|的最小值是________；

（2）|AC|+|CB|+|BD|的最小值是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

已知O为坐标原点，直线l:ax+y−a−1＝0(a∈R)，圆O:x2+y2＝1．
（1）若l的倾斜角为120∘，求a；

（2）若l与直线l0:2x−y＝0的倾斜角互补，求直线l上的点到圆O上的点的最小距离；

（3）求点O到l的最大距离及此时a的值．

在平面直角坐标系中，圆C过点E(1, 0)和点F(0, 1)，圆心C到直线x+y＝0的距离等于2．
（1）求圆C的标准方程；

（2）若圆心C在第一象限，M为圆C外一点，过点M做圆C的两条切线，切点分别为A，B，四边形MACB的面积为3，求点M的轨迹方程．

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．

（1）如果PD＝4，求证：PC⊥平面MAD；

（2）当BP与平面MBD所成角的正弦值最大时，求三棱锥D−MBC的体积V．

在平面直角坐标系中，C1(0,−2)，圆C2:x2+(y−2)2=12，动圆P过C1且与圆C2相切．
（1）求动点P的轨迹C的标准方程；

（2）若直线l过点(0, 1)，且与曲线C交于A，B，已知A，B中点在直线x=−14上，求直线l的方程．

如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，△BCF为等边三角形，∠ABC＝60∘，AB＝2，EF // CD，平面BCF⊥平面ABCD．

（1）证明：在线段BC上存在点O，使得平面ABCD⊥平面AOF；

（2）求二面角B−AF−C的余弦值；

（3）若ED // 平面AOF，求线段EF的长度．

已知O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1，F2的圆与直线x=−2相切．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知直线l交椭圆C于M，N两点；
(ⅰ)若直线l的斜率等于1，求△OMN面积的最大值；
(ⅱ)若OM→⋅ON→=−1，点D在l上，OD⊥l．证明：存在定点W，使得|DW|为定值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
直接由直线方程可得直线的倾斜角．
【解答】
直线x＝2021为垂直x轴的直线，其倾斜角为90∘．
2.
【答案】
C
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】
∵ 向量a→=(1,2,t),b→=(t, 1, 2)，且a→⊥b→，
∴ a→⋅b→=t+2+2t＝0，
解得实数t=−23．
3.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
根据题意，由直线平行的判断方法，分析可得a×a＝1，即a2＝1，解可得a的值，验证a的值，是否满足两直线平行，即可得答案．
【解答】
根据题意，若直线l1:ax+y+1＝0与直线l2:x+ay+2a−1＝0平行，
则a×a＝1，即a2＝1，解可得a＝±1，
当a＝1时，直线l1为x+y+1＝0，直线l2为x+y+1＝0，两直线重合，不符合题意；
当a＝−1时，直线l1为−x+y+1＝0，直线l2为x−y−3＝0，两直线平行，符合题意；
故a＝−1，
4.
【答案】
D
【考点】
空间向量
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
根据空间向量的线性运算求出向量AP→即可．
【解答】
如图示：
，
三棱柱ABC−A1B1C1，点P为线段B1C1的中点，
则AB→=A1B1→，BC→=B1C1→，B1P→=PC1→=12B1C1→，
∴ AP→=AA1→+A1P→=AA1→+A1B1→+12B1C1→=AA1→+AB→+12(BA→+AC→)=12AB→+12AC→+AA1→，
5.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
由题意知，CA→与BD→的夹角为120∘，先用空间向量线性运算表示出CD→，并求出其模长，再利用空间向量的数量积求得cs，即可得解．
【解答】
根据题意，作出如下所示的图形，
∵ 二面角α−l−β的大小为60∘，且AC⊥AB，BD⊥AB，
∴ CA→与BD→的夹角为120∘，
∵ CD→=CA→+AB→+BD→，
∴ CD→⋅AB→=(CA→+AB→+BD→)⋅AB→=AB→2=1，
|CD→|2＝|CA→+AB→+BD→|2=CA→2+AB→2+BD→2+2CA→⋅AB→+2CA→⋅BD→+2AB→⋅BD→
＝4+1+4+0+2×2×2×cs120∘+0＝5，
∴ |CD→|=5，
∴ cs=CD→⋅AB→|CD→|⋅|AB→|=15×1=55，
∵ 异面直线夹角的取值范围为(0, 90∘]，
∴ 异面直线CD与AB所成角的余弦值为55．
6.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由题意设直线l的方程，再由圆心到直线的距离小于半径求得k的范围，可得直线l倾斜角的取值范围．
【解答】
由x2−4x+y2+3＝0，得(x−2)2+y2＝1，圆心为(2, 0)，半径为1，
由题意可得，直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx，
由直线与圆(x−2)2+y2＝1有公共点，
得|2k|k2+1