2022年河南省信阳市潢川二中中考数学一模试卷（含解析）

2022年河南省信阳市潢川二中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 实数的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 某种花粉的直径为，把数据科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是

A.
B.
C.
D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，若直线，的顶点在直线与之间，若，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名八年级学生最近几次校数学竞赛成绩的平均数与方差：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加市数学竞赛，应该选择

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为若，则等于

A.
B.
C.
D.

8. 如果关于的一元二次方程中，是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个不等实数根的概率为

A.  B.  C.  D.

9. 在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，顶点，，连接按照下列方法作图：以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点；做射线交于，则点的横坐标为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，动点从点出发，在线段上匀速运动，到达点时停止．设点运动的路程为，线段的长为，如果与的函数图象如图所示，则矩形的面积是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. ______，______．
12. 不等式组的所有整数解的和为______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，是中点，将以为旋转中心逆时针旋转后，再将得到的三角形平移，使点与点重合，写出此时点的对应点的坐标：______．
    
     

14. 如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点、的对应点分别为点、且点刚好在上，则阴影部分的面积为______．
     

15. 如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根．
    先化简，再求值： ______，其中，满足．
17. 近日，在公安部交通管理局部署下，全国各地交警都在大力开展一盔一带安全守护行动，为了解市民对骑电动车戴头盔的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民，并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图．
    
    根据统计图回答以下问题：
    骑电动车戴头盔您选那一项？单选
    A.骑自行车式电动车重以下不必戴头盔骑较大型电动车重不小于必须戴头盔
    B.骑自行车式电动车重以下必须戴头盔骑较大型电动车重不小于不必戴头盔
    C.无论骑什么电动车都应戴头盔
    D.无论骑什么电动车都不必戴头盔
    E.无所谓
    这次调查的市民共______人；
    扇形统计图中，扇形的圆心角度数是______；
    若选择的人数是选择的人数的倍，则补全条形统计图；
    若该市约有万人，请估计安全意识淡薄选择或的人数．
18. 在中，，以为直径的半圆交于点，过点作圆的切线，交于点，点是半圆上异于点的任一动点．
    求证：；
    填空：
    若，，则四边形的面积为______ ；
    当的度数是______ 时，以，，，为顶点的四边形为菱形．

19. 如图是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角是度时，箱盖落在的位置如图，已知，，．
    
    求点到的距离；结果保留整数
    求、两点之间的距离结果保留整数
    【，，，，，】
20. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线相交于点和，过点作轴于点，连接，已知．
    求，的值；
    延长交双曲线于另一点，求的的坐标．

21. 为了打好疫情期间的复工复产攻坚战，某公司决定为员工采购一批口罩和消毒液，经了解，购买包口罩和瓶消毒液共需要元，购买包口罩和瓶消毒液共需要元．
    一包口罩和一瓶消毒液各需要多少元？
    实际购买时发现厂家有两种优惠方案：方案一：购买口罩不超过包时，每包都按九折优惠，超过包时，超过部分每包按七折优惠；方案二：口罩和消毒液都按原价的八折优惠，公司购买包口罩，瓶消毒液．
    求两种方案下所需的费用单位：元与单位：包的函数关系式；
    若该公司决定购买包口罩和瓶消毒液，请你帮助该公司决定选择哪种方案更合算．
22. 如图，一元二次方程的二根，是抛物线与轴的两个交点，的横坐标，且此抛物线过点．
    求此二次函数的解析式；
    写出不等式的解集；
    设此抛物线的顶点为，对称轴与线段相交于点，求点和点的坐标；
    在轴上有一动点，当取得最小值时，求点的坐标．
23. 如图，点在直线上，过点构建等腰直角三角形，使，且，过点作直线于点，连接．
    小亮在研究这个图形时发现，，点，应该在以为直径的圆上，则的度数为______，将射线顺时针旋转交直线于点，可求出线段，，的数量关系为______；
    小亮将等腰直角三角形绕点在平面内旋转，当旋转到图位置时，线段，，的数量关系是否变化，请说明理由；
    在旋转过程中，若长为，当面积取得最大值时，请直接写的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．
直接利用三视图的画法，从左边观察，即可得出选项．
【解答】
解：图形的左视图为： ，
故选： ．   

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐一计算可得．
【解答】
解： 、 与 不是同类项，不能合并，此选项错误；
B 、 ，此选项错误；
C 、 ，此选项正确；
D 、 ，此选项错误；
故选 C ．   

5.【答案】

【解析】解：过点作，则，如图所示．
，，
，．
又，，
，
．
故选：．
过点作，则，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，，结合，，即可求出的度数，进而可得出的度数
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：乙和丁的平均数较小，
从甲和丙中选择一人参加竞赛，
甲的方差较小，
选择甲竞赛，
故选：．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加竞赛．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，

、，且为边的中线，
，，
将沿边上的中线平移得到，
，
∽，
则，即
解得或舍，

故选：．
先证明∽，再由相似三角形的性质求得，进而求得．
本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
 

8.【答案】

【解析】解：二次方程有两个不等实数根，由根的判别式可得，
，，不符合题意；
，，不符合题意，
，，符合题意，
，，符合题意；
，，符合题意；
，，符合题意．
共有种等可能的结果，种符合题意，根的概率是：，
故选：．
首先根据题意计算出所有基本事件总数，然后根据题意求出一元二次方程具有两个不等实数根时所包含的基本事件数，进而计算出答案．
本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】

【解析】解：过点作于，如图，
由作法得平分，
，
矩形的顶点的坐标为，点坐标为，
，，
在中，，
在和中，
，
≌，
，
，
设，则，，
在中，，解得，
即，
点的横坐标为．
故选：．
过点作于，如图，根据基本作图得到平分，则利用角平分线的性质得到，接着根据勾股定理计算出，通过证明≌得到，所以，设，则，，利用勾股定理得到，解方程得到，从而得到点的横坐标．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了矩形的性质和坐标与图形性质．
 

10.【答案】

【解析】解：如图所示，当时，，，
所以，，
所以矩形的面积．
故选：．
根据点的移动规律，当时取最小值，根据矩形的性质求得矩形的长与宽，易得该矩形的面积．
本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出，．
 

11.【答案】 

【解析】解：，．
故答案为：，．
根据有理数的平方和立方根的定义即可求出答案．
本题考查有理数的平方和立方根，解题的关键是正确理解负数的平方是正数，本题属于基础题型．
 

12.【答案】

【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则所有整数解为，，，，之和为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解之和即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：绕点逆时针旋转，得到，
则，
点坐标为；
当将点与点重合时，点向下平移个单位，得到，
点向下平移个单位．故点坐标为，
故答案为：．
根据题意和旋转变换的性质、平移的性质画出图形，根据坐标与图形的变化中的旋转和平移性质解答．
本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、平移的性质，掌握坐标与图形的变化中的旋转和平移性质是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：连接，过点作于点，
将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，
，，
是等边三角形，
，
则，
故A，，


．
故答案为：．
直接利用旋转的性质结合扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质，正确得出是等边三角形是解题关键．
 

15.【答案】或或或或

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质．
分类：如图 ，当 时，如图 ，当 时，如图 中，当 时，分别求出即可．
【解答】
解：如图 ，当 时，点 与 重合或在点 处．
当 与 重合时， 与 也重合，此时 ；

在菱形 中， ，
，
作 于 ，
在 中， ， ， ，
；
如图 ，当 时，点 与 重合或在 处，

点 与 重合， 是 的垂直平分线，
，
当 在 处时，过 作 于 ，
则可得 ，
则 ，
；
如图 中，当 时，

，
．
综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为 或 或 或 或 ．
故答案为 或 或 或 或 ．   

16.【答案】

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以正整数的值为，
原方程化为，
，
所以；
原式，
，
，
，
原式，
故答案为：．
先根据根的判别式的意义得到，解不等式，从而得到正整数的值，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程即可；
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式方程的解法以及分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：这次调查的市民共人，
故答案为：；
，
故答案为：；
“选项”的人数是“选项”的人数的倍，
因此“选项”的人数为人，
“选项”的人数为人，
补全条形统计图如图所示：

万人，
答：该市约有万人，请估计安全意识淡薄选择或的人数约为万人．
从两个统计图中可知调查人数中“选项”的频数为人，占调查人数的，可求出调查人数；
“选项”的人数占调查人数的，因此相应的圆心角的度数占的，计算即可；
求出“选项”的人数，再求出“选项”的人数，即可补全条形统计图；
求出样本中选择“、”所占的百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中的数量关系是解决问题的前提．
 

18.【答案】  或

【解析】解：连接，则，

是圆的切线，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
；

如图，连接，设交于点，
，，
，
，即，
，解得，
在中，点是的中点，，
是的中位线，
点是的中点，则，
则四边形的面积，
故答案为；

当点在时，如图，

四边形为菱形，
则，，
故为等边三角形，则，
，
，
，
；
当点在时，如图，

同理可得：为等边三角形，故点，
，
综上，或，
故答案为或．
证明≌，则，而，故，进而求解；
证明，则，即，求出，证明点是的中点，则，即可求解；
当点在时，四边形为菱形，则为等边三角形，则，即可求解；当点在时，则为等边三角形，即可求解．
此题考查了切圆的综合知识．在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．
 

19.【答案】解：过作，垂足，交于点，如图所示，

由题意得，．
四边形是矩形，
，．
在直角中，，．
，，，
．
答：点到的距离约是．

连接连接，，，过作于点，如图所示．

由题意，得：，，
．
在中，，，
．
在直角中，．
．
答：两点间的距离约为．

【解析】过点作，垂足为点，交于点，利用旋转的性质可得出厘米，，利用矩形的性质可得出，在中，通过解直角三角形可求出的长，结合及可求出点到的距离；
连接，，，利用旋转的性质可得出，，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离．
本题考查了解直角三角形的应用，点到直线的距离，矩形的性质．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

20.【答案】解：由对称性知：，，
轴，
，
，即，
，
，
双曲线与直线相交于点和，
，，
，；
点在直线上，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得，，解得，
由解得：或，
．

【解析】由函数的对称性得到，，即可得到，根据三角形面积公式求得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
由直线求得的值，得到的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，然后与反比例函数的解析式联立，解方程组即可求得的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

21.【答案】解：设一包口罩元，一瓶消毒液元，
，解得，
答：一包口罩元，一瓶消毒液元；
方案一：当时，，
当时，，
由上可得，；
方案二：；
当时，解得，即当时，选择方案二更合算；
当时，解得，即当时，两种方案一样；
当时，解得，即当时，选择方案一更合算．

【解析】根据购买包口罩和瓶消毒液共需要元，购买包口罩和瓶消毒液共需要元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得一包口罩和一瓶消毒液各需要多少元；
根据题意，可以写出两种方案下所需的费用单位：元与单位：包的函数关系式；
根据题意和中的函数关系可以列出相应的不等式，从而可以得到该公司决定选择哪种方案更合算．．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

22.【答案】解：一元二次方程的二根，为：
，．
抛物线与轴的两个交点的坐标为，．
设二次函数的解析式为，
抛物线过点．
，解得．
二次函数的解析式为．
由．
抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为．
设直线解析式为，
将，，代入解得：
，，
直线解析式为．
将代入，得．
．
作点关于轴的对称点，

连接，与轴交于点即为所求的点．
设直线的解析式为，
将，代入解得：
，．
直线的解析式为．
令，则．
．

【解析】先求出一元二次方程的两个根，即可知与轴的两个交点的坐标，进而即可求出二次函数的解析式；
根据、两点的坐标可求出二次函数的顶点坐标及对称轴，根据、两点坐标可求出直线的解析式，再联立两个方程即可求出点的坐标；
根据两点之间线段最短，当此三点在同一条直线上时取得最小值，作点关于轴的对称点进而求得点的坐标．
本题考查了二次函数的综合知识，解决本题的关键是综合运用二次函数相关知识．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，在图中．

，且，
，
，
、、、四点共圆，
；
由题意可知，，
，
又，，
≌，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为，；
线段，，的数量关系会变化，数量关系为．
理由如下：
如图，将绕点顺时针旋转交直线于点．

则，
，
又，，
≌，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
由知，≌，
，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
于是作、、、外接圆，如图．

当点在线段的垂直平分线上且在的左侧时，的面积最大．
作，则平分，，在上截取一点，使得，
，
，，
，
，
，
，
．
由，且，可得，由，推出、、、四点共圆，所以；由题意知≌，所以，由，，可知是等腰直角三角形，推出；
如图，将绕点顺时针旋转交直线于点易证≌，则，由，，所以是等腰直角三角形，则，由，推出；
当点在线段的垂直平分线上且在的左侧时，的面积最大．
本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．