数学必修 第一册3.2 函数的基本性质第一课时导学案

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第1课时　单调性的概念与证明[课程目标] 1.理解函数单调性的定义及其几何意义；明确增函数、减函数的图象特征；2.能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明． 知识点一　增函数与减函数的定义[研读]单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间上可以有不同的单调性，即单调性是函数的一个“局部”性质． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)所有的函数在定义域上都具有单调性．(　×　)(2)函数f(x)的定义域为D, 存在x1，x2∈D，若x1<x2，则f(x1)>f(x2)，那么f(x)是减函数．(　×　)(3)函数y＝在定义域上单调递减．(　×　) (4)函数f(x)＝在定义域上单调递增.(　√　)【解析】 (1)不是所有函数都具有单调性，如函数y＝x2在定义域R上就不是单调函数．(2)不一定，如函数f(x)＝－x2，f(－1)>f(2)，但f(x)＝－x2不是减函数．(3)函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，只能说函数y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减．(4)作出函数f(x)的图象，可知f(x)在定义域上单调递增． 知识点二　单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D叫做y＝f(x)的__单调区间__． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数的单调区间是函数定义域的子集．(　√　)(2)函数f(x)＝－的单调递增区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　×　)(3)函数f(x)＝x2－2x(x∈[－1，2])的单调递增区间是[1，2]，单调递减区间是[－1，1].(　√　)(4)函数y＝2x＋1在[0，3]上单调递增，则[0，3]是函数的单调递增区间．(　×　)【解析】 (2)函数f(x)＝－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞).注意两个区间之间要用逗号或“和”连接．(4)函数在定义域内的某区间递增，这个区间不一定是函数的单调递增区间，它可能是单调区间的子集． 画出函数y＝x2－2|x|＋2的图象，并讨论函数的单调性．解：y＝x2－2|x|＋2＝图象如图所示．由图可知，函数在区间(－∞，－1)和(0，1)上单调递减，在区间[－1，0]和[1，＋∞)上单调递增． 活学活用1．定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数的单调递减区间是__[－5，－2]__，__[1，3]__，在区间__[－2，1]__，__[3，5]__上单调递增. 2．作出函数f(x)＝x2－|x|的图象，并讨论函数的单调性．解：f(x)＝x2－|x|＝作出函数图象如图所示．由图可知，函数f(x)在和上单调递减，在和上单调递增．  (1)利用定义判断函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上的单调性；(2) 利用定义判断函数f(x)＝x3在R上的单调性．解：(1)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x2)－f(x1)＝－＝＝.因为x1<x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，所以x2－x1>0，x1＋3>0，x2＋3>0.所以函数f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)∀x1，x2∈R，且x1<x2，由f(x1)－f(x2)＝x－x＝(x＋x1x2＋x)＝.因为x1<x2，则x1－x2<0，且＋x>0，即f(x1)<f(x2).从而函数f(x)＝x3在R上单调递增． 活学活用求证：函数f(x)＝x＋(a>0)在区间(0，)上单调递减．证明：∀x1，x2∈(0，)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝.由0<x1<x2<，得x1－x2<0，0<x1x2<a，从而f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝x＋在区间(0，)上单调递减．[规律方法]证明函数f(x)在区间D上的单调性应遵循以下步骤：①设元：设∀x1，x2∈D，且x1<x2；②作差：将函数值f(x1)，f(x2)作差，有f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)；③变形：将上述差值变形(因式分解、配方等)；④判号：对上述变形结果的正负加以判断；⑤定论：根据定义对f(x)的单调性作出结论． 已知函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减，且f(a－1)>f(1－4a)，求a的取值范围．解：由题意知解得0<a<. ①又因为函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减，且f(a－1)>f(1－4a)，所以a－1<1－4a，得a<.②由①②得，0<a<，所以a的取值范围是. 活学活用已知函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，且f(1－a)＞f(a2－1)，则实数a的取值范围为__(1，]__．【解析】 函数f(x)在区间上单调递减，又f(1－a)＞f(a2－1)，∴⇒1<a≤.[规律方法]解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题，关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式．具体做法是：①若函数y＝f(x)在区间D上单调递增，对任意x1，x2∈D，且f(x1)<f(x2)，则有x1<x2；②若函数y＝f(x)在区间D上单调递减，对任意x1，x2∈D，且f(x1)<f(x2)，则有x1>x2.但需要注意的是，不要忘记函数的定义域． (1)若函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在区间(－∞，2)上单调递增，则实数a的取值范围是__[2，＋∞)__；【解析】 f(x)＝－x2＋2ax＋1＝－(x－a)2＋1＋a2，抛物线开口向下，当对称轴x＝a≥2时，f(x)在区间(－∞，2)上单调递增，所以实数a的取值范围是[2，＋∞).(2)若函数f(x)＝ax2＋在区间上单调递增，求实数a的取值范围．解：∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，由于f(x)在区间上单调递增，∴f(x1)－f(x2)＝a(x－x)＋<0恒成立．又x1－x2<0，∴a(x1＋x2)－>0，即a>，∴a≥.[规律方法]对于一次函数、二次函数基本初等函数的单调性问题中所涉及的参数问题，要根据这些函数的图象、性质进行讨论． 活学活用1．若函数f(x)＝ax2－(a－1)x＋5在区间上单调递增，求实数a的取值范围．解：当a>0时，由题意得⇒a>0；当a＝0时，f(x)＝x＋5在区间上单调递增成立；当a<0时，由题意得⇒－1≤a<0，综上可得，a≥－1.2．已知函数f(x)＝x3－3x，x∈[－a，a]，若f(x)在[－a，a]上单调递减，求实数a的取值范围．解：∀x1，x2∈，且x1<x2，∴a>0.由于f(x)在区间[－a，a]上单调递减，∴f(x1)－f(x2)＝(x－3x1)－(x－3x2)＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x－3)>0在区间[－a，a]上恒成立．又x1－x2<0，∴x＋x1x2＋x－3<0在x1，x2∈时恒成立⇒3a2－3≤0⇒0<a≤1.∴实数a的取值范围是(0，1].1．函数y＝x2－6x的单调递减区间是(　D　)　　　　　　　　　　　　　　 A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]【解析】 函数y＝x2－6x的图象的对称轴为直线x＝3，所以函数的单调递减区间是(－∞，3].2．下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　C　)A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－D．f(x)＝－|x|【解析】 f(x)＝3－x在区间(0，＋∞)上单调递减；f(x)＝x2－3x在区间(0，＋∞)上不具备单调性；f(x)＝－在区间(0，＋∞)上单调递增；f(x)＝－|x|在区间(0，＋∞)上单调递减．3．[0，3]是函数f(x)定义域内的一个区间，若f(1)<f(2)，则函数f(x)在区间[0，3]上(　D　)A．单调递增B．单调递减C．既单调递增又单调递减D．单调性不确定【解析】 由于仅知道f(1)<f(2)，不明确其他数值间的关系，故不具备单调性的判断条件．4．函数f(x)＝在R上(　B　)A． 单调递减B．单调递增C．先减后增D．无单调性【解析】 函数f(x)的图象如图所示，由图象结合单调性定义可知，该函数在R上单调递增．故选B.5．函数f(x)＝|x－1|－1的单调递减区间是__(－∞，1)(或(－∞，1])__．【解析】 f(x)＝画出图象如图所示，函数的单调递减区间为(－∞，1)(或(－∞，1]).