2021赣州赣县三中高二下学期3月月考数学（理）试卷含答案

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2020-2021学年下学期高二年级3月数学（理科）试卷

一、选择题

1.复数是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数m的值是(   )

A.3 B.2 C.2或3 D.0或2或3

2.曲线在处的切线的斜率为(    )

A.  1     B.   2     C.  -1     D.  -2

3.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为,则其正视图中的值为(   )

A.5 B.4 C.3 D.2

4.已知函数，则函数的单调递增区间是（   ）

A．        B．（0，1）          C．  D．

5.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ）

A． B． C．3 D．2

6.已知函数,那么（   ）
A.有极小值,也有大极值 B.有极小值,没有极大值
C.有极大值,没有极小值 D.没有极值

7.函数图象大致是（   ）

A.  B.
C.  D.

8.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为(   )

A.     B．       C．       D．

9.有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母.现规定：当卡片的一面为字母P时，它的另一面必须是数字2.如图，下面的四张卡片的一个面分别写有,为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是(   )

A.第一张，第三张 B.第一张，第四张 C.第二张，第四张 D.第二张，第三张

10.已知点在椭圆上，若点M为椭圆C的右顶点，且(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率e的取值范围是(   )

A. B. C. D.

11.已知球的表面上有四点,且,.若三棱锥的体积为,且经过球心,则球的表面积为(　　)

A. B. C. D.

12.已知定义在上的函数满足,且的导函数,则不等式的解集为(   )

A.  B.  C.      D. 或

二、填空题

13.复数满足,则______________.

14.．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为___________.

15.已知函数存在两个极值点，则实数a的取值范围是___________.

16.三棱锥中，点是斜边上一点．给出下列四个命题：

①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；

②若，平面，则三棱锥的外接球体积为；

③若，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2；

④若，平面，则直线与平面所成的最大角为．

其中正确命题的序号是________________．(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题

17.已知,且,求证: .

18.设函数

（1）求曲线在点处的切线方程;

（2）设,若函数有三个不同零点,求c的取值范围;

19.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，且与圆：交于点E,F两点，求的取值范围．

20.如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得平面平面 分别为和的中点．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

21.在直角坐标系中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过椭圆E内一点的直线与椭圆E分别交于两点，与直线交于点N，若，求证:为定值，并求出此定值.

22．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若存在，使成立，求整数的最小值.

答案

一、BBCB       ACCD           BCCC

二、13.答案： 14.+1        15.答案：     16.答案：①②③

14.+1

过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，

∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|,∴=，

设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，

设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），

∴双曲线的离心率为=+1．

15.答案：解析：由题意得因为函数有两个极值点，所以有两个变号零点.由得，即令则易知函数是减函数，且当时，，所以当时，单调递增；当时，单调递减.故又当时当时所以要使有两个零点，需，即.

16.答案：①②③

解析：对于①，因为平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四个面都是直角三角形，①正确；对于②，若，平面，三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，，，体积为，②正确；对于③，设内心是，则平面，连接OC，则有，又内切圆半径，所以，，故，三棱锥的体积为，③正确；对于④，若，平面，则直线与平面所成的最大角时，点与点重合，在中，，，即直线与平面所成的最大角为，④不正确

 三、17.答案：因为,且,所以,,

要证明原不等式成立,只需证明,即证,

从而只需证明,即,

因为,,

所以成立,故原不等式成立.

18.答案：（1）由得,∵

所以曲线在点处的切线方程为

（2）当时, ,所以.

令,得,解得或.

与在区间上的情况如下:

当且时,存在,,,使.

由的单调性知,当且仅当时,函数有三个不同零点.

19.答案：(1)由已知可得，所以所以椭圆的方程为将点代入方程得，所以。所以椭圆的标准方程为

(2)椭圆的右焦点为，若直线的斜率不存在,方程为，

则。所以,

若直线的斜率存在，设方程为，设

由得，则

所以

圆心到直线的距离，所以

所以

，综上.

20.答案：（1）如图，取的中点G，

连接，又因为H是的中点，

所以，

又因为正六边形中，

所以，

又O为的中点，所以

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面平面，

所以平面.

（2）由条件可知，

分别以所在直线为轴建立图所示的空间直角坐标系，设正六边形的边长为2，则，，所以，，设平面的法向量为，

由，得，

取，可得，

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则，

所以所成锐二面角的余弦值为.

21.答案：(1)因为长轴为8，所以，即，
又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，
所以，又，所以，，.

由于椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为.
(2)设， 由，得,
所以，，则.
因为点A在椭圆上，所以，
化简得.同理，由可得，
所以可看作是关于x的方程的两个根，故为定值.

22．（1）由题意可知，，，

方程对应的，

当，即时，当时，，

∴在上单调递减；   

当时，方程的两根为，

且 ，

此时，在上，函数单调递增，

在上，函数单调递减；

当时，，，

此时当，单调递增，

当时，，单调递减；  

综上：当时，，单调递增，当时， 单调递减；

当时，在上单调递增，

在上单调递减；

当时，在上单调递减；   

（2）原式等价于，

即存在，使成立．

设，，则，   

设，则，∴在上单调递增．

又，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为， 则，且，即，∴  

由题意可知，又，，∴的最小值为.