2022省大庆铁人中学高三上学期开学考试数学（理）试题含答案

这是一份2022省大庆铁人中学高三上学期开学考试数学（理）试题含答案，共15页。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
已知集合，，则
A. B. 或
C. D. 或
若两个非零向量满足，则向量与的夹角为
A. B. C. D.
已知，，则
A. B. C. D.
小王于2016年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2020年底，他没有再购买第二套房子如图是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：
根据以上信息，判断下列结论中正确的是
A. 小王一家2020年用于饮食的支出费用跟2017年相同
B. 小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍
C. 小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍
D. 小王一家2020年用于房贷的支出费用比2017年减少了
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是
A. B. C. D.
下列命题中正确的是
A. 第三象限角必大于第二象限角
B. 命题：“，”的否定为：，
C. “”是“”的必要不充分条件
D. 函数的值域为
若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为
A. B. 2C. D. 4
函数的图象大致是
A. B.
C. D.
已知函数是定义在R上的奇函数，，且时，，则
A. 4B. C. 2D.
有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是
A. 144B. 216C. 288D. 432
已知，则
A. B. C. D.
已知，，且，，且，恒成立，则a的取值范围是
A. B. C. D.
第ⅠⅠ卷（选择题 满分90分）
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
若，则 .
若展开式各项系数和为，则展开式中常数项是第 项．
某人用随机模拟的方法估计无理数e的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线与曲线相交于点B，过B作y轴的垂线与y轴相交于点如图，然后向矩形OABC内投入M粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有N粒，则无理数e的估计值是 .
16.设，，若存在，，使得，则称函数与互为“n度零点函数”若，与为自然对数的底数互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为 .
解答题（本大题共6小题，共90分．)
17.（本题12分)等差数列的前n项和为，，．
求数列的通项公式；
求．
18.（本题12分)如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，M为PD的中点．
证明：平面PAB；
若是等边三角形，求二面角的余弦值．
19.（本题12分)小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如下表所示：
根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；
请由所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为元，为达到日利润日销售量单支售价日销售量单支进价最大，在的前提下应该如何定价？
其中：回归直线方程，，，
20.（本题12分)甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选；
求甲恰有2个题目答对的概率；
求乙答对的题目数X的分布列；
试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．
21.（本题12分)已知函数，．
讨论函数的单调性；
若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22.（本题10分)在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
若点P，Q分别是曲线，上的点，求的最小值．
23.（本题10分)已知函数．
求不等式的解集
对任意的，a，b，，证明：．
铁人中学2019级高三上学期开学考试
数学试题
试题说明：1、本试题满分150分，答题时间150分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
试卷说明：
1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
1.【答案】C
【解答】
解：集合，，
．
故选C．
2.【答案】D
【解答】
解：由题意作图如上，设，
结合向量的几何意义可知，
故向量，
故向量与的夹角为的夹角，
故为，
故选D．
3.【答案】C
【解析】解：，，
，即，
又，
，即，
解得，负值舍去．
故选：C．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，结合，可得解的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】由于小王选择的是每月还款数额相同的还贷方式，
故可知2020年用于房贷方面的支出费用跟2017年相同，故D错；
设一年房贷支出费用为n，则可知2017年小王的家庭收入为，
2020年小王的家庭收入为，，
小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了，故C错；
2017、2020年用于饮食的支出费用分别为，A错；
2017、2020年用于其他方面的支出费用分别是，B对．
利用扇形统计图的性质直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解答】解：由已知得，
所以．
又，所以．
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：是第三象限角，是第二象限的角，
则第三象限角必大于第二象限角不成立，故A错误，
B.命题：“，”的否定为：，，故B错误，
C.，等价为a，b同号，也等价为a，b同号，
则“”是“”的充要条件，故C错误，
D.，当时，，
则，
当且仅当，即，时取等号，
即的值域是，故D正确，
故选：D．
根据条件分别判断每个命题的真假即可．
本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，考查学生的推理判断能力，难度不大．
7.【答案】D
【解答】
解：由椭圆，，，
则椭圆的焦点右焦点，
由抛物线的焦点为，则，则，
故选：D．
8.【答案】C
【解答】
解：由题意，的定义域为，关于原点对称，
且，
函数是奇函数，
函数的图象关于原点对称，排除A，B；
当时，，，，排除D．
故选C．
9.【答案】D
【解答】
解：因为，所以，所以是周期为3的周期函数，
则，
又因为是定义在R上的奇函数，所以．
故选D．
10.【答案】D
【解答】
解：由题意可知老师的位置为中间，老师的身边为一位男生和一位女生，再考虑位置排序，有种排法，
剩下的四位学生有中排法，根据计数原理得排法种数为．
故选D．
11.【答案】D
【解答】
解：已知：，
所以：，故：，
，所以：，
则：
故选D．
12.【答案】B
【解析】解：，，且，恒成立，
对，，且恒成立，
令，则
，对恒成立，
即，对恒成立，只需，
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，，
的取值范围为．
故选：B．
根据条件将问题转化为对，，且恒成立，构造函数，则函数，对恒成立，然后用分离参数法求出a的范围即可．
本题考查了函数恒成立问题和利用导数研究函数的单调性与最值
第ⅠⅠ卷（选择题 满分90分）
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．)：
13.【答案】
【解答】解：，
，
整理得，即，
．
14.【答案】7
【解答】
解：由于展开式各项系数和为，
则，
故展开式即展开式，
再根据通项公式为，
令，求得，
故展开式中常数项是第7项，
15.【答案】
【解析】解：根据题意，与的交点为，则矩形OACB的面积，
如图，阴影部分的面积，
又由向矩形OABC内投入M粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有N粒，
则有，
变形可得：；
根据题意，由指数函数的解析式可得矩形OACB的面积S，由定积分公式求出阴影部分的面积，结合几何概型公式分析可得答案．
本题考查几何概型的计算和应用，涉及定积分定理的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解答】
解：由，解得，
由，解得，
设其解为，
与互为“1度零点函数“，
，解得，
，，
设，则，，
当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
，，，
实数a的取值范围为
17.
【答案】解：设等差数列的公差为d，
由，，
即，
解得，，
所以．
由，
所以．
【解析】本题考查等差数列前n项和，考查“裂项相消法”及分组求和，考查计算能力，属于中档题．
根据已知条件求出两个基本量即可求出数列通项；
由代入变形利用裂项相消法即可求出前n项和．
18.
【答案】Ⅰ证明：如图取AD的中点N，连接MN和CN，，
，，
又，
四边形ABCN是平行四边形，
，
又，
平面平面PAB，平面MNC，
平面PAB；
Ⅱ解：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
为等边三角形，，不妨设，
则，
，
设平面PBD的法向量为，
由，得，令，得，，
，
易知平面PAB，
平面PAB的法向量为，
设二面角的平面角为，由图观察可知为锐角，
，
二面角的余弦值为．
【解析】本题考查的是线面平行的判定和利用空间向量求二面角的余弦值，属于基础题．
Ⅰ取AD的中点N，连接MN和CN，可得四边形ABCN是平行四边形，，从而，即可得到平面PAB；
Ⅱ根据题意，建立空间坐标系，由空间向量即可求二面角的余弦值．
19.
【答案】解：因为，
，
所以，
则．
所以回归直线方程为．
当时，，得，
假设日利润为，
则
，
易知，即，
根据二次函数的性质，可知当元时，有取到最大值．
所以单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为元．
【解析】本题主要考查回归直线方程及初步应用，也考查了二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
分别求出x，y，再结合，，可求出，从而得到回归直线方程；
令，求出x的值即可，即可求出单支售价；假设日利润为，可得到，进而求出x的范围，结合二次函数的性质，可求出最大值，及取得最大值时x的值．
20.【答案】解：Ⅰ甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，
选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率．
Ⅱ由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，
，
，
，
的分布列为：
Ⅲ乙平均答对的题目数，
而甲答对题目数，甲平均答对的题目数．
，
甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数．
【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，属于中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．
Ⅰ甲答对题目数，由此能求出甲恰有2个题目答对的概率
Ⅱ由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，能求出X的分布列
Ⅲ由X分布列求出乙平均答对的题目数EX，由甲答对题目数，求出甲平均答对的题目数EY，从而得到甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数．
21.
【答案】解：．
当时，，在R上单调递增．
当时，令，得或，
令，得所以在和上单调递增，在上单调递减．
当时，令，得或，令，得
所以在和上单调递增，在上单调递减．
不等式恒成立，
当时，恒成立，所以，
当时，恒成立，令，，
则，
因为，所以，
且当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以，所以．
当时，，令，，
则，
因为，所以，
令，，则，
因为，所以在单调递增，
所以当时，，，
当时，，，所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以综上，，
故m取值范围是．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究闭区间上函数的最值和导数中的恒成立问题，是较难题．
先求导得分、和三种情况研究单调性即可；
不等式恒成立，当时，恒成立，所以，再分和两种情况，分类变量，构造函数，利用导数研究最值，可得实数m的取值范围．
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为：．
曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．
点P，Q分别是曲线，上的点，
设点则点P到直线的距离，
所以．
【解析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换．
利用的结论，利用点到直线的距离公式的应用和二次函数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
23.
【答案】解：由不等式可得：，
可化为： 或 或
解得： 或 或 ，故不等式的解集为．
证明，当且仅当时等号成立，
另一方面，，b，，
，
当且仅当时，等号成立，
【解析】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式进行不等式的证明，属于中档题．
通过分类讨论将绝对值不等式化为三个不等式组，将之分别解出后取并集即可得到结果；
由绝对值不等式的性质知，由基本不等式性质得，从而容易得到结果．
星期
1
2
3
4
5
单支售价元
2
销售量支
13
11
7
6
3
X
2
3
4
P