黑龙江省大庆铁人中学2022-2023学年高三上学期开学考试数学试题

铁人中学2020级高三学年上学期开学考试

数学试题

本试题满分150分，答题时间120分钟

一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知，下列说法不正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. “”是“”的充要条件

D. 命题“，”的否定是“，”

3. 已知是定义在上的奇函数，且时，，则，（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（）（    ）

A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.6天

5. 已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数在函数的递增区间上也单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知某个函数图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，且，则的最小值为（    ）

A. 9 B. 10 C. 11 D.

9. 下面关于函数的性质，说法不正确的是（    ）

A. 的定义域 B. 的值域为

C. 点是图象的对称中心 D. 在上单调递增

10. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数的图象关于直线对称，且对任意有，当时，，则下列说法错误的是（    ）

A. 是函数的周期  B. 的最大值是4

C.   D. 为偶函数

12. 已知函数，若的解集中恰有一个整数，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 若幂函数在上为增函数，则的值为_________.

14. 函数的单调增区间为_________.

15. 设函数，则使得成立的范围是_________.

16. 定义在上的函数满足，且时，，若方程恰有3个根，则实数的取值范围是_________.

三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17.（满分10分）

已知函数在处取得极大值1.

（1）求函数的图象在处的切线方程；

（2）求过点与曲线相切的直线方程.

18.（满分12分）已知函数.

（1）求函数的极值点；

（2）设函数，其中，求函数在区间上的最小值（其中为自然对数的底数）

19.（满分12分）

2022年北京与张家口联合承办了第24届冬季奥运会.某校为了调查学生喜欢冰雪运动是否与性别有关，对高二年级的400名学生进行了问卷调查，得到部分数据如下表：

（1）求表中，，的值，依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢冰雪运动与性别有关？

（2）学校从喜欢冰雪运动的学生中用按比例分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中选取3人进行访谈，记这3人中男生的人数为，求的分布列与数学期望.

附：参考公式及数据：，其中.

20.（满分12分）

已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）令，若，函数有两个零点，求实数的取值范围.

21. 第56届世界乒乓球锦标赛将于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分.

（1）已知某局比赛中双方比分为，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以获胜的概率；

（2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立.两人又进行了局后比赛结束，求的分布列与数学期望.

22.（满分12分）已知.

（1）求证：对于任意，恒成立；

（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.

铁人中学2020级高三学年上学期开学考试

数学答案

一、选择题

二、填空题

三、解答题

17.（满分10分）

解：（1）[5分]因为，

由题意得，解得，，

所以；，

，，

，，

所以符合题意.

又，，

所以函数图象在处的切线方程为，即.

（2）[5分]

18.（满分12分）

解：（1），，

由得，，

由得，；由得，；

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以的极小值点是，极大值点不存在.

（2），

，

由得，，

1°当时，，时，，在上单调递增，

2°当时，，时，，在上单调递减，

3°当时，，

时，；时，；，

综上.

19. 解：（1）由可得；

由可得；

由可得.

零假设；喜欢冰雪运动与性别无关.

列联表如下：

，

因为，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，

因此可以认为成立，即认为喜欢冰雪运动与性别无关.

（2）抽取的9人中，男生有（人），女生有（人），

的可能取值为0，1，2，3.

，，

，，

所以的分布列为

.

20.（满分12分）

解：（1）函数的定义域为，

当时，，，

令得，解得，

令得，解得，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2），

，

由得，

1°当时，，函数在上单调递增，

所以，即，函数在上没有零点.

2°当时，时，，时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

因为，，

所以函数在有两个零点，只需，

解得，

综上所述，实数的取值范围为.

21.【解析】（1）

解：设事件“在比分为的条件下甲以获胜”，

则.

（2）解：随机变量的所有可能取值为：2，3，4，5，

，，

，，

所以随机变量的分布列为：

所以.

22.（满分12分）

解：（1）由得，令得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

所以，对于任意，恒成立；

（2）由得，

因为，则有即得

①

设，则，由得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

，

所以①式化为对任意恒成立，

设，，

1°当时，，在上递增；

2°当时，由得，

当，，递减，而，

故，，即不恒成立，

综上，的取值范围为.