黑龙江省大庆中学2022届高三上学期开学考试数学（理）试题+Word版含答案

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大庆中学2021--2022学年度上学期开学考高三理科数学试题试卷总分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知集合，，若，则的值是（    ）A．-2 B．-1 C．0 D．12．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）A． B． C． D．3．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（    ）A． B． C．1 D．25．函数的定义域是（    ）A． B． C． D．6．下列函数中，值域为的是（    ）A． B． C． D．7．下列函数中是增函数的为（    ）A． B． C． D．8．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）A． B． C． D．9．函数的图象关于（    ）A．轴对称 B．直线对称C．坐标原点对称 D．直线对称10．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．11．定义在上的函数满足，当时，，当时，，则（    ）A．335 B．338 C．1678 D．201212．已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是_________.14．__________.15．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝____________.16．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则 三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18---22每小题12分，共70分）17．（本题10分）已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，，求的值.18．（本题12分）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.(Ⅰ)求和的通项公式；(Ⅱ)设，，求数列的前项和.19．（本题12分）如图，在三棱锥中, 侧面与侧面均为等边三角形,为中点.（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）求二面角的余弦值.    20．（本题12分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．  21．（本题12分）平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且点（，）在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.（ⅰ）求的值；（ⅱ）求面积的最大值.22.（本题12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
大庆中学2021--2022学年度上学期开学考高三理科数学答案一、选择题1．B  2．A  3．B  4．A  5．A  6．B  7．D  8．C  9．C  10．A  11．B  12．D二、填空题13．    14．-1    15．   16．三、解答题17．解：（1）等价于①将代入①既得曲线C的直角坐标方程为，②（2）将代入②得，设这个方程的两个实根分别为则由参数t 的几何意义既知，.18．解：（Ⅰ）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为．（Ⅱ）由（Ⅰ）有 ,设的前n项和为 ,则两式相减得所以．19．证明：（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA. 连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA=OB=OC=SA，且AO⊥BC. 又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，SO=SA，从而OA2+SO2=SA2，所以△SOA为直角三角形，.又AO∩BC=O，所以SO⊥平面ABC.（Ⅱ）以O为坐标原点，射线OB、OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设B(1,0,0)，则SC的中点，.故MO⊥SC，MA⊥SC，等于二面角的平面角.所以二面角的余弦值为20．解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018（2）由题意知道：不低于8（0分）的学生有12人，9（0分）以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0，1，2          ∴21．解:（Ⅰ）由题意知又，解得，所以椭圆的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为.（ⅰ）设由题意知.因为又，即所以，即（ⅱ）设将代入椭圆的方程，可得，由可得①则有所以因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积设将直线代入椭圆的方程，可得，由可得②由①②可知故.当且仅当，即时取得最大值由（Ⅰ）知，的面积为，所以面积的最大值为22．解:（1）函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为.（2）因为，故，即，故，设，由（1）可知不妨设.因为时，，时，，故.   先证：，    若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，  综上，成立.设，则， 结合，可得：，即：，故，要证：，即证，即证，即证：，即证：，令，  则，先证明一个不等式：.  设，则，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立由上述不等式可得当时，，故恒成立，故在上为减函数，故，故成立，即成立.综上所述，.