2022淮安车桥中学高三上学期入学调研（A）数学（理）试题含答案

这是一份2022淮安车桥中学高三上学期入学调研（A）数学（理）试题含答案，共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知，则，在平行四边形中，，M是中点等内容，欢迎下载使用。
 2022届高三入学调研试卷理 科 数 学 （A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，解得，即，又由或，可得，故选D．2．复数，下列说法正确的是（    ）A．z的模为  B．z的虚部为C．z的共轭复数为 D．z的共轭复数表示的点在第四象限【答案】A【解析】，z的模为，故A正确；z的虚部为，故B错误；z的共轭复数为，故C错误；z的共轭复数表示的点为在第一象限，故D错误，故选A．3．核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量．已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（    ）(参考数据：，)A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，，即，所以，解得，故选C．4．若x，y满足约束条件，则的最大值是（    ）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】作出可行域，如图阴影部分（线段，射线，射线围成的区域），作直线，在中表示直线的截距，直线向上平移时纵截距增大，增大，平移该直线，当它过时，，故选A．5．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（    ）A．10层 B．11层 C．12层 D．13层【答案】C【解析】设塔群共有层，该数列为．依题意，得，，…，成等差数列，且公差为2，，所以，解得或(舍)，故选C．6．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选A．7．在平行四边形中，，M是中点．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，∴，∵，∴，故选B．8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（    ）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行【答案】A【解析】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误，故选A．9．已知函数，且，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，∵，∴，∵，∴是R上的奇函数，∴可化为，又∵，，所以在R上是减函数，∴，解得，故选A．10．已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，因为都在椭圆上，所以，所以，所以，所以，又因为，，所以，故选D．11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，对应区域为边长为的正方形，其面积为，若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，其面积，则有，解得，故选D．12．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构．即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n最小值是（    ）(取，)A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【解析】设正三角形的一条边长为a，“一次分形”后变为长为的折线，“二次分形”后折线长度为，“n次分形”后折线长度为，所以得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，只需满足，两边同时取常用对数得：，即得，解得，故至少需要17次分形，故选C． 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在的展开式中，的系数为_________．【答案】90【解析】∵，∴含有的项为，即的系数为90，故答案为90．14．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，且的面积为，则的内切圆的半径为_________．【答案】【解析】因为的面积为，所以，解得．又，由余弦定理可得，所以，所以的周长为，设的内切圆的半径为，则，解得，故答案为．15．由数字0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的四位数，则能被15整除且0不在个位的四位数共有________个．【答案】60【解析】由题意，四位数的个位数字一定是5，且4位数字之和能被3整除，当四位数中有0时，满足题意的四位数有（个）；当四位数中没有0时，满足题意的四位数有（个），所以能被15整除且0不在个位的四位数共有60个．故答案为60．16．在四面体中，，，，则其外接球的表面积为_________．【答案】【解析】如图所示，将该四面体补成长方体，设该长方体的长､宽､高分别为，，，则，解得，所以，即，从而其外接球的半径为，其外接球的表面积为，故答案为． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，可得，当时，，式子对也成立．故数列的通项公式为．（2）由（1）得，，所以．18．（12分）已知直四棱柱中，，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）四棱柱是直四棱柱，平面ABCD．平面ABCD，．在四边形ABCD中，，，．又，平面．（2）如图，连接，记，，连接，则平面ABCD，且．以O为坐标原点，分别以OA，OB，所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的法向量为，则，即，取，则，，是平面的一个法向量．设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以是平面的一个法向量，，由图知，二面角为锐角，所求二面角的余弦值为．19．（12分）已知椭圆的焦点为F1､F2，过F2的直线交E于A，B两点，线段AB的最小值为，过A作与y轴垂直的直线交直线于点C．（1）求椭圆E的标准方程；（2）试问直线BC是否经过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）直线BC恒过定点．【解析】（1）因为椭圆，所以，，，椭圆的标准方程为．（2）直线BC恒过定点，证明如下，当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，由，消去并整理，得，易知，设，，则，，所以，由，直线的斜率为，其线的方程为，即，可知直线BC恒过定点；当直线AB的斜率为0时，显然直线BC恒过定点，综上，得证．20．（12分）某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为，．（1）若，，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；（2）若，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值．【答案】（1）；（2）理论上至少要进行轮游戏，．【解析】（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次．故所求概率：．（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为:，因为，所以，因为，，，所以，，又，所以，令，因为，则，当时，，他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数满足，由，则，所以理论上至少要进行轮游戏，此时，，．21．（12分）已知函数．（1）判断的单调性；（2）若，求证．【答案】（1）在上单调递增；（2）证明见解析．【解析】（1）函数的定义域为，因为，，所以，所以当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，则当时，取得极小值，也是它的最小值，所以，所以，则在上单调递增．（2）因为，所以不妨设，所以要证，只需证．因为，所以只需证，只需证，只需证．设，则，，则，所以当时，，在上单调递减，则，所以在上单调递增，则，即，所以． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线分别交曲线和曲线于点，求的最大值及相应的的值．【答案】（1），；（2），取得最大值为．【解析】（1）曲线的普通方程为，由，，可得曲线的极坐标方程为．由曲线的极坐标方程为，可得，所以曲线的直角坐标方程为．（2）由曲线的极坐标方程为，令，可得，因为，所以．因为，所以，所以当，即时，取得最大值，为．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数．（1）解不等式；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）函数，故由不等式，可得，或，解得，故不等式的解集为．（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，在同一个坐标系中画出函数和的图象，如图所示．故当时，若，则函数的图象在函数的图象的下方，在上恒成立，求得，故所求的实数的取值范围为