江苏省淮安市车桥中学2022届高三上学期入学调研（A）数学（理）试题+Word版含答案

这是一份江苏省淮安市车桥中学2022届高三上学期入学调研（A）数学（理）试题+Word版含答案，共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知，则，在平行四边形中，，M是中点等内容，欢迎下载使用。
理 科 数 学 （A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，可得，解得，即，
又由或，
可得，故选D．
2．复数，下列说法正确的是（ ）
A．z的模为B．z的虚部为
C．z的共轭复数为D．z的共轭复数表示的点在第四象限
【答案】A
【解析】，
z的模为，故A正确；
z的虚部为，故B错误；
z的共轭复数为，故C错误；
z的共轭复数表示的点为在第一象限，故D错误，
故选A．
3．核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量．已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（ ）(参考数据：，)
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，，
即，所以，解得，
故选C．
4．若x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【解析】作出可行域，如图阴影部分（线段，射线，射线围成的区域），作直线，
在中表示直线的截距，直线向上平移时纵截距增大，增大，
平移该直线，当它过时，，
故选A．
5．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（ ）
A．10层B．11层C．12层D．13层
【答案】C
【解析】设塔群共有层，该数列为．
依题意，得，，…，成等差数列，且公差为2，，
所以，解得或(舍)，
故选C．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，故选A．
7．在平行四边形中，，M是中点．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
∴，
∵，∴，故选B．
8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面
B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行
C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直
D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行
【答案】A
【解析】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；
对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误，
故选A．
9．已知函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
∵，∴，
∵，∴是R上的奇函数，
∴可化为，
又∵，
，
所以在R上是减函数，
∴，解得，故选A．
10．已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，
因为都在椭圆上，所以，所以，
所以，所以，
又因为，，
所以，故选D．
11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，
对应区域为边长为的正方形，其面积为，
若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，
其面积，则有，解得，
故选D．
12．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构．即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n最小值是（ ）(取，)
A．15B．16C．17D．18
【答案】C
【解析】设正三角形的一条边长为a，“一次分形”后变为长为的折线，
“二次分形”后折线长度为，“n次分形”后折线长度为，
所以得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，只需满足，
两边同时取常用对数得：，即得，
解得，
故至少需要17次分形，故选C．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在的展开式中，的系数为_________．
【答案】90
【解析】∵，
∴含有的项为，
即的系数为90，故答案为90．
14．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，且的面积为，则的内切圆的半径为_________．
【答案】
【解析】因为的面积为，所以，解得．
又，由余弦定理可得，
所以，
所以的周长为，
设的内切圆的半径为，
则，解得，
故答案为．
15．由数字0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的四位数，则能被15整除且0不在个位的四位数共有________个．
【答案】60
【解析】由题意，四位数的个位数字一定是5，且4位数字之和能被3整除，
当四位数中有0时，满足题意的四位数有（个）；
当四位数中没有0时，满足题意的四位数有（个），
所以能被15整除且0不在个位的四位数共有60个．
故答案为60．
16．在四面体中，，，，则其外接球的表面积为_________．
【答案】
【解析】如图所示，将该四面体补成长方体，设该长方体的长､宽､高分别为，，，
则，解得，
所以，即，
从而其外接球的半径为，其外接球的表面积为，
故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，可得，
当时，，式子对也成立．
故数列的通项公式为．
（2）由（1）得，，
所以．
18．（12分）已知直四棱柱中，，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）四棱柱是直四棱柱，平面ABCD．
平面ABCD，．
在四边形ABCD中，，，．
又，平面．
（2）如图，连接，记，，连接，
则平面ABCD，且．
以O为坐标原点，分别以OA，OB，所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以是平面的一个法向量，
，
由图知，二面角为锐角，所求二面角的余弦值为．
19．（12分）已知椭圆的焦点为F1､F2，过F2的直线交E于A，B两点，线段AB的最小值为，过A作与y轴垂直的直线交直线于点C．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）试问直线BC是否经过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线BC恒过定点．
【解析】（1）因为椭圆，所以，
，，
椭圆的标准方程为．
（2）直线BC恒过定点，
证明如下，当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，
由，消去并整理，得，易知，
设，，则，，
所以，
由，
直线的斜率为，
其线的方程为，即，
可知直线BC恒过定点；
当直线AB的斜率为0时，显然直线BC恒过定点，
综上，得证．
20．（12分）某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为，．
（1）若，，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
（2）若，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，
则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值．
【答案】（1）；（2）理论上至少要进行轮游戏，．
【解析】（1）由题可知，所以可能的情况有：
①甲投中1次，乙投中2次；
②甲投中2次，乙投中1次；
③甲投中2次，乙投中2次．
故所求概率：
．
（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为:
，
因为，所以，
因为，，，所以，，
又，所以，
令，因为，则，
当时，，
他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数满足，
由，则，所以理论上至少要进行轮游戏，
此时，，．
21．（12分）已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）若，求证．
【答案】（1）在上单调递增；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数的定义域为，
因为，，
所以，
所以当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
则当时，取得极小值，也是它的最小值，
所以，所以，
则在上单调递增．
（2）因为，所以不妨设，所以要证，
只需证．
因为，所以只需证，
只需证，只需证．
设，
则，
，
则，
所以当时，，在上单调递减，则，
所以在上单调递增，则，
即，所以．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线分别交曲线和曲线于点，求的最大值及相应的的值．
【答案】（1），；（2），取得最大值为．
【解析】（1）曲线的普通方程为，
由，，可得曲线的极坐标方程为．
由曲线的极坐标方程为，可得，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）由曲线的极坐标方程为，
令，可得，
因为，所以
．
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，为．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数．
（1）解不等式；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）函数，
故由不等式，可得，或，解得，
故不等式的解集为．
（2）不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
在同一个坐标系中画出函数和的图象，如图所示．
故当时，若，则函数的图象在函数的图象的下方，
在上恒成立，求得，
故所求的实数的取值范围为