江苏省淮安市车桥中学2022届高三上学期入学调研（B）数学（理）试题+Word版含答案

这是一份江苏省淮安市车桥中学2022届高三上学期入学调研（B）数学（理）试题+Word版含答案，共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知的外心为，，，则的值是等内容，欢迎下载使用。
理 科 数 学 （B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，可得，
所以集合，，
所以，故选C．
2．若复数，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】B
【解析】由题意可得，则，
所以，故选B．
3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，相关系数大于0，
题图2和题图4是负相关，相关系数小于0，
题图1和题图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于1，接近于，
由此可得，故选A．
4．函数的部分图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】定义域为，关于原点对称，
，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D；
当时，令，可得或，
所以时，两个相邻的零点为和，
当时，，，，
故排除选项A，
故选C．
5．已知数列{an}的前n项和Sn满足，记数列的前n项和为Tn，．则使得T20的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，当时，；当时，，
作差可得，即，
而，符合，那么．
，
，
所以，故选C．
6．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以为奇函数；
因为，所以在上单调递减，
，
又，，所以，故选D．
7．已知的外心为，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，则，
即，则为的中点，
又因为为的外心，则，
所以，为直角三角形，且，如下图所示：
，所以，为等边三角形，则，
由勾股定理可得，
，故选D．
8．已知，的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中的系数是（ ）
A．7B．C．21D．
【答案】C
【解析】由题意，二项式的展开式中二项式系数的和为128，
可得，解得，
所以二项式，
则展开式的通项为，
当时，可得，
所以展开式中的系数是，故选C．
9．甲、乙、丙人从楼乘电梯去商场的到楼，每层楼最多下人，则下电梯的方法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【解析】分两种情况讨论：
①每个楼层下1人，则3人下电梯的方法种数为；
②3人中有2人从一个楼层下，另1人从其它楼层选一个楼层下，此时，3人下电梯的方法种数为，
由分类加法计数原理可知，3人下电梯的方法种数为种，
故选D．
10．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．、B．、
C．、D．、
【答案】A
【解析】由题意，设，则，
又由，所以，即函数在R上单调递增，
则，即，
变形可得，，故选A．
11．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】由双曲线方程，得，
所以渐近线方程为，比较方程，得，
所以双曲线方程为，点，
记双曲线的左焦点为，且点在双曲线左支上，所以，
所以，
由两点之间线段最短，得最小为，
因为点在圆上运动，
所以最小为点到圆心的距离减去半径1，
所以，所以的最小值为8，故选C．
12．在三棱锥中，平面，，，．若P，Q分别是，的中点，则平面被三棱锥的外接球所截得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，知球心O为中点，
故球O的直径，
因为平面，
设球心O到平面的距离为d，截面圆的半径为r，
由题设球心O到平面的距离等于点S到平面的距离等于点B到平面的距离，
在三棱锥中，由等体积法得，所以，
故截面面积为，故选A．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知实数m，n满足，则直线必过定点________．
【答案】
【解析】由已知得，
代入直线，得，即，
由，解得，
直线必过定点，故答案为．
14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则________．
【答案】
【解析】因为，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
又，所以，
因为，，
由余弦定理得，解得，
故答案为．
15．如图所示，满足如下条件：
①第行首尾两数均为；
②表中的递推关系类似“杨辉三角”．
则第行的第2个数是__________．
【答案】
【解析】由图表可知第行的第2个数为：
，
故答案为．
16．设函数，若存在唯一的整数使得，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意知：函数定义域为，且，
∴当时，，单调递增，显然不止有一个整数使，不合题意；
当时，要使，则，
令，则，有，易知上，，单调递增，上，，单调递减，且；
令，过定点，图象如下：
∴要使存在唯一的整数使得，即的解集只有一个整数，
则与的一个交点在、之间（含），
∴当过时，，可得；
当过时，，可得，
∴，故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求；
（2）若，为边的中点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）中，内角，，的对边分别为，，，且．
利用正弦定理得，整理得，
即，
由于，所以．
（2）因为的面积为，解得，
在中，，
两边同平方得：，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为．
18．（12分）我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95（分别阻挡不少于和的到微米的氯化钠颗粒）两种．某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下表：
（1）试分别估计两种口罩的合格率；
（2）假设生产一个KN90口罩，若质量合格则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，求生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和不少于7元的概率．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由题意知生产KN90口罩合格率为，
生产KN95口罩合格率为．
（2）设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和，
利润和不少于7元有两种可能性，
一是KN90不合格，KN95合格，则；
二是KN90和KN95均合格，则，其他情况利润和是小于7元的，
∴，
故生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和不少于7元的概率为．
19．（12分）已知正方形的边长为2，沿将折起至位置（如图），为的重心，点在边上，且．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接延长交于点，连接，，
因为是的重心，所以，
因为，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）因为，，所以，
在中，为的中点，所以为等腰三角形，
可得，
延长交于点，则为的中点，且，
所以，所以，
因为，，所以两两垂直，建系如图所示：
可得，，，，
，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．
20．（12分）设椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，过原点O的动直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线交C于A，B两点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）3．
【解析】（1）根据对称性知，MN与互相平分，
则四边形为平行四边形，则，
又，结合椭圆定义知，，故，
由离心率，故，，
椭圆方程为．
（2）设，，AB的直线方程为，
联立椭圆方程，化简得，
则，，
则的面积为
，
令，，
则上式，
函数在时，单调递增，则上式在，即时取得最大值，
且最大值为．
21．（12分）已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）记函数的导函数为．当时，若满足，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由函数的定义域为，且，
①当时，则当时，恒成立，
所以在上单调递减，无单调递增区间；
②当时，令，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，无单调递增区间；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由函数，可得．
因为满足，可得，
即，
又由，
欲证，即证，
即证，即证，
因为，设，即证，
设，可得在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，
所以，即成立．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点P，且，求直线l的倾斜角．
【答案】（1），；（2）或．
【解析】（1）因为的参数方程为，所以，
所以的普通方程为，
又因为，所以，所以，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）将代入中，
得，即，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以或，
所以直线倾斜角为或．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知，且满足．
（1）证明：；
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，所以，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
（2），
，
所以，
所以，
即，当且仅当等号成立．
总分
KN90
6
14
42
31
7
KN95
4
6
47
35
8