第6章 平面向量及其应用（压轴30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（原卷版）

第6章 平面向量及其应用（压轴30题专练）

一、单选题

1．（2021·安徽·高一阶段练习）若向量满足，，且当时，的最小值为，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2021·甘肃·天水市第一中学高一期末）已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（       ）

A． B． C． D．

3．（2021·福建·厦门一中高一期中）在中，点是上一点，是的中点，与的交点为有下列四个命题：

甲：             乙：

丙：       丁：

如果只有一个假命题，则该命题为（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

4．（2021·福建三明·高一期末）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（       ）

A． B． C． D．

5．（2021·江苏·仪征中学高一阶段练习）在中，分别是的中点，且，若恒成立，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

6．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

7．（2021·江苏泰州·高一期末）已知外接圆的圆心为O，半径为1.设点O到边，，的距离分别为，，.若，则（       ）

A． B．1 C． D．3

二、多选题

8．（2021·福建福州·高一期中）若点O在△所在的平面内，则以下说法错误的是（       ）

A．若，则点O为△的内心

B．若，则点O为△的重心

C．若，则点O为△的外心

D．若，则点O为△的垂心

9．（2021·江苏·泰兴市第三高级中学高一期中）在三角形中，下列说法正确的有（       ）

A．若，则三角形有两解

B．若，则一定是钝角三角形

C．若，则一定是等边三角形

D．若，则一定是等腰三角形

10．（2021·安徽黄山·高一期末）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（       ）

A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心；

B．若，则点为△的内心；

C．若，则点为△的外心；

D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心.

11．（2021·浙江湖州·高一期末）如图，△，△，△是全等的等腰直角三角形（，处为直角顶点），且，，，四点共线.若点，，分别是边，，上的动点（包含端点），记，，，则（       ）

A． B． C． D．

12．（2020·江苏宿迁·高一期末）下列说法中正确的是（       ）

A．对于向量，，，有

B．在中，向量与满足，且，则△ABC为等边三角形

C．若，分别表示的面积，则

D．在中，设D是BC边上一点，且满足，则λ+μ＝0

13．（2021·全国·高一课时练习）点O在△所在的平面内，则以下说法正确的是（       ）

A．已知平面向量满足，且，则△是等边三角形

B．若，则点O为△的重心

C．若，则点O为△的外心；

D．若，则点O为△的垂心

14．（2021·江苏省天一中学高一期中）已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（     ）

A．若，，，则

B．若，，，且，则

C．若直线过的中点，则

D．

15．（2021·河北省临西县实验中学高一阶段练习）在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．若，则

C．

D．若，且，则△为等边三角形

16．（2021·江苏·星海实验中学高一期中）设，为单位向量，满足，，，则，的夹角为，则的可能取值为（       ）

A． B． C． D．1

17．（2021·重庆实验外国语学校高一期中）如图，是线段的三等分点，，下列以O为起点的向量中，终点落在四边形（含边界）内的向量是（       ）

A． B． C． D．

三、填空题

18．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）正三角形边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是_______.

19．（2021·山西吕梁·高一期末）如图，在中，，，是边上的点，且，，则等于______.

20．（2021·江苏徐州·高一期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________

21．（2021·湖北武汉·高一期中）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.

22．（2021·江苏省天一中学高一期中）如图，在中，已知，，，直线过的重心，且与边、分别交于、两点，则的最小值为________．

23．（2021·广东·深圳市龙岗区布吉中学高一期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________．

24．（2021·福建·仙游一中高一阶段练习）△内接于半径为2的圆，三个内角，，的平分线延长后分别交此圆于，，.则的值为_____________.

四、解答题

25．（2021·广东汕尾·高一期末）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC．现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记.

（1）当时，求矩形观赏台MNPQ的面积；

（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.

26．（2021·广东·广州市为明学校高一阶段练习）在锐角三角形ABC中，已知，＝．

（1）求角A的大小；

（2）求△ABC面积的取值范围．

27．（2021·江苏通州·高一期中）在△ABC中，已知．

（I）求∠A的大小；

（II）请从条件①：；条件②：这两个条件中任选一个作为条件，求cosB和a的值．

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

28．（2022·全国·高一专题练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且，.

（1）求的大小；

（2）若，求的面积；

（3）求的最大值.

29．（2021·山东胶州·高一期末）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．

（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；

（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．

（i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．

（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？

30．（2021·山东日照·高一期末）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为米，按照设计要求，取圆弧上一点，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．

（）若时，点与出入口的距离为多少米？

（）设计在什么位置时，免费开放的植物园区域面积最大？并求此最大面积