第6章 平面向量及其应用（新文化30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（解析版）

这是一份第6章 平面向量及其应用（新文化30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（解析版），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第6章 平面向量及其应用（新文化30题专练）


一、单选题
1．（2021·广东顺德·高一期末）点在所在平面内一点，当取到最小值时，则称该点为的“费马点”.当的三个内角均小于时，费马点满足如下特征：.如图，在中，，，则其费马点到三点的距离之和为（ ）

A．4 B．2
C． D．
【答案】A
【分析】可根据等腰三角形的性质以及余弦定理即可进行求解．
【详解】根据题意，为等腰三角形，
，，
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得：，
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得：，
，其费马点到，，三点距离之和为4．
故选：A
2．（2021·江苏江宁·高一期中）如图是一祭祀天坛，在今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的面积，在天坛外围测得AB=20米，BC=60米，CD=DA=40米，，据此可以估计天坛的面积大约为（ ）.（结果精确到1米2）（参考数据：，，）

A．1386米2 B．1131米2
C．1286米2 D．1331米2
【答案】A
【分析】利用题中的条件以及解三角形的知识即可求解
【详解】设，则，
在中，，
在中，，
故，
所以，进而有，
故
（米2）

故选：A
3．（2021·云南隆阳·高一期中）旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的山峰和山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则两座山峰之间的距离（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意先求出，再由余弦定理求解即可
【详解】由题意可知：，
，，
由余弦定理得
故选：C
4．（2021·全国·高一课时练习）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据正弦定理可求，再求出后可求面积.
【详解】因为，故由正弦定理可得：
即，
而，故，故，
由余弦定理可得，故，
故，
故选：C.
5．（2021·全国·高一课时练习）唐代数学家、天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表.已知晷影长l、表高h与太阳天顶距θ满足l=htanθ，当晷影长为0.7时，天顶距为5°.若天顶距为1°时，则晷影长为（ ）（参考数据：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875）
A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.24
【答案】A
【分析】根据给定条件求出h值，再代值计算即可得解.
【详解】依题意，，则有，
，
所以晷影长为0.14.
故选：A
6．（2021·全国·高一课时练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角所对的边分别为，面积为，则 “三斜求积”公式为.若， 则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合正弦定理，分别求出和，代入公式即可求解.
【详解】根据题意，由，结合正弦定理得，即，
因为，所以，
故.
故选：B.
7．（2021·湖南·长沙一中高一期末）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出图形,结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积即可.
【详解】如图，

单位圆的半径为1,则其内接正六边形ABCDEF中，是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF的面积为.
故选：A
8．（2021·全国·高一课时练习）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可；
【详解】由题意,
，

故选：D
9．（2021·全国·高一课时练习）星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式转换，其中为绝对星等，为目视星等，为距离（单位：光年）．现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为（ ）（参考数据：，，）
A．26光年 B．16光年 C．12光年 D．5光年
【答案】B
【分析】依题意可得，设地球与牛郎星距离为，地球与织女星距离为，织女星与牛郎星距离为，求出，，再利用余弦定理计算可得；
【详解】解：由，所以，由题意知：、、、，设地球与牛郎星距离为，地球与织女星距离为，织女星与牛郎星距离为，则，
，如图由余弦定理，所以，即牛郎星与织女星之间的距离约为16光年；
故选：B

10．（2022·浙江金华第一中学高一期末）刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到的近似值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形；根据题意，可知个等腰三角形的面积和近似等于圆的面积，从而可求的近似值.
【详解】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，设圆的半径为，
则，即，所以.
故选：B.
二、多选题
11．（2021·安徽省亳州市第一中学高一期中）花戏楼是我市著名的旅游景点，位于毫州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护单位.花戏楼始于清顺治十三年(公元1656年)，是一座演戏的舞台，因戏楼遍布戏文，彩绘鲜丽，俗称花戏楼.它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000斤，旗杆高16米多，直插碧空白云间，是花戏楼景点的一绝.我校数学兴趣小组为了测量旗杆AB的高度，选取与旗杆底部(点B)在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，如图，兴趣小组可以测量的数据有：CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆AB的高度的是（ ）

A．CD，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD
C．CD，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理和余弦定理分析与相关的三角形是否可解，从而可得正确的选项．
【详解】对于A，在，因为已知，故由正弦定理可解三角形，
从而求出，而在中，因为已知，故可求的高度，故A正确．
对于B，知道，则可沿变化，故不可求的高度，
故B错误．
对于C，在，因为已知，故由正弦定理可解三角形，
从而求出，而在中，因为已知，故可求的高度，故C正确．
对于D，如图所示，设，，，，
在中，，
在中，，
在中，①，
在中，，
即②，由①②可构建关于的方程，
故可求的高度，故D正确．
故选：ACD．

12．（2021·江西抚州·高一期中）《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是:“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实;一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论错误的是（ ）
A．的周长为 B．三个内角满足
C．外接圆的直径为 D．的中线的长为
【答案】ABC
【分析】由正弦定理可得：，设，，，利用三角形面积公式可求出的值，进而可得三边的长，求出周长可判断A；由余弦定理求出角结合三角形内角和可判断B；由正弦定理可判断C；将两边平方计算可判断D，进而可得正确选项.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
设，，，
所以，
整理可得，所以，可得：，
所以，，
对于A：的周长为，故选项A正确；
对于B：由余弦定理得：，因为，所以，所以，所以三个内角满足，故选项B正确；
对于C：由正弦定理知，外接圆直径，故选项C正确；
对于D：如图，所以，
所以，即，解得：，所以的中线的长为，故选项D不正确；
故选：ABC.

13．（2021·江苏·沛县教师发展中心高一阶段练习）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，，令，下面说法正确的是（　　）
A．若与共线，则＝0
B．＝
C．对任意的λ∈R，有()⊙＝()
D．()2+()2＝||2||2
【答案】ACD
【分析】利用给定定义对各选项逐一计算并判断作答.
【详解】因对任意的，，，则：
对于A，因与共线，则，即=0，A正确；
对于B，因，则B不正确；
对于C，对任意的λ∈R，，则()⊙，C正确；
对于D，()2+()2，D正确.
故选：ACD
14．（2021·河北·邯山区新思路学本文化辅导学校高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为的中点，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】A.根据小正方形的边长为1，E为的中点，得到，大正方形的边长为求解判断；B.利用向量的求模公式求解判断；C.延长交于点G，得到为的中点，G为的中点求解判断； D.利用向量的数量积运算求解判断.
【详解】因为小正方形的边长为1，E为的中点，所以，大正方形的边长为，所以，A正确；
，B正确；
如图：，
延长交于点G，则为的中点，可得G为的中点，，
所以，
， C正确；
，D错误．
故选：ABC
15．（2021·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的有（ ）

A．
B．
C．
D．向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用结合图像求出结果，逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】解：图2中的正八边形，其中，
对于A，故A正确；
对于B，故B正确；
对于C：因为，，，，则，
，所以，故C错误；
对于D：因为，所以向量在向量上的投影向量即为在向量上的投影向量，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
16．（2021·广东·揭西县河婆中学高一期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，代表阴阳太极图的圆的半径为，则每块八卦田的面积约为______（结果保留整数）．

【答案】37
【分析】计算每个三角形顶角度数，利用正弦定理结合正八边形的边长求出腰长，进而利用三角形面积公式求面积即可．
【详解】解：如图，易知每个三角形的顶角为，

设三角形的腰长为，
由正弦定理可得，解得，
所以每个三角形的面积为，
所以每块八卦田的面积为．
故答案为：37．
17．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为米，在它们之间的地面上的点（、、三点共线）处测得楼顶．教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米．

【答案】
【分析】本题首先可以在直线三角形中求出米，然后在中利用正弦定理求出米，最后在直角三角形中通过即可求出结果.
【详解】在直线三角形中，，
即，解得米，
在中，，，，
则，即，解得米，
在直角三角形中，，即，解得米，
故索菲亚教堂的高度为米，
故答案为：.
18．（2021·福建厦门·高一期末）厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素.小明计划测量双子塔塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为26.3°，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为22.3°，塔底俯角为10.8°.则A塔的高度约为______米.（精确到个位）参考数据：，，，.

【答案】303
【分析】由题意画出图，可知，所以，再在中利用正弦定理可得的值，在中利用正弦定理可求得的值
【详解】解：如图，设塔高，，,
所以，所以，
在中，由正弦定理得，即，
因为，，
所以解得，
在中，，，
由正弦定理得，即，
解得,
故答案为：303

19．（2021·四川巴中·高一期末（理））年月日，以“绿色秦巴，开放互赢”为主题的第三届秦巴山区绿色农林产业投资贸易洽谈会在四川省巴中市开幕，会场设在刚刚竣工的川东北最大的综合体育场——巴中市体育中心，即民间所说的“兴文鸟巢”，能被邀请到现场观礼是无比的荣耀．如图，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为________米．

【答案】
【分析】设，可得出，然后在中，利用正弦定理可得出关于的等式，由此可解得的值.
【详解】设，在中，；
在中，，，，，
由正弦定理得，即，所以．
故旗杆的高度为米．
故答案为：.
20．（2021·湖南·高一阶段练习）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是，其中，，是的内角，，的对边．若，且，则面积的最大值为________．
【答案】
【分析】利用两角和的正弦公式，诱导公式，正弦定理得出，由基本不等式得的最小值，结合已知公式可得结论．
【详解】解析：

所以，即，故
当且仅当时取“＝”号．
故答案为：．
21．（2021·湖北荆州·高一期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑･波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形此等边三角形称为拿破仑三角形的顶点．”已知内接于半径为的圆，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为若，则的面积最大值为__________．
【答案】
【分析】在中，设角所对的边长分别为，依题意得，由余弦定理结合基本不等式得，进而可得结果.
【详解】在中，设角所对的边长分别为.
如图，由正弦定理可得．
易知，则．

由余弦定理可得，，即，
又，所以，整理得，
故．
故答案为：．
22．（2021·江苏常州·高一期中）笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，当_______时，.

【答案】
【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算可得．
【详解】由已知，，，
，
解得：．
故答案为：．
23．（2021·江苏·仪征中学高一阶段练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的面积为____________.

【答案】
【分析】设，可得出，，利用余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】设，则，因为为等边三角形，则，故，
在中，由余弦定理得，解得，
故，，因此，的面积为.
故答案为：.
24．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”.世界各国从小学､中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理､定律和解题原则.科学史家称秦九韶：“他那个民族､他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”.在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a､b､c､S为三角形的三边和面积）表示，在中，a､b､C分别为角A､B､C所对的边，若，且，则面积的最大值为___________.
【答案】
【分析】由已知结合余弦定理进行化简可得，的关系，然后结合已知公式代入后，利用二次函数的性质可求．
【详解】解：因为且，
由余弦定理得，即，即，所以，
因为

当，即时，取得最大值．
故答案为：．
25．（2021·浙江湖州·高一期中）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足．则的外接圆直径长为_________．

【答案】
【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得，，可得在中，，可得，在中，由正弦定理可得PB的值,在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出外接圆的直径.
【详解】由已知，所以.
在中，，故.
在中，由正弦定理（*）
而，
代入（*）式得.
在中，利用余弦定理，
在中，利用正弦定理
则的外接圆直径长为
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查三角形的内角和定理、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想，属于较难题．
四、解答题
26．（2021·全国·高一课时练习）仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，为地球的球心，为地平线，有两个观测者在地球上的，两地同时观测到一颗流星，观测的仰角分别为，，其中，，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的，两点测得，，地球半径为公里，两个观测者的距离 ．（参考数据：，）

（1）求流星发射点近似高度；
（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径公里，请你据此判断该流星是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．
【答案】（1）公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析.
【分析】（1）由已知条件在中利用正弦定理求出，在中再利用余弦定理求出，从而可得；
（2）由（1）求出的值可得流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论
【详解】（1）因为，则，所以为等边角形，所以．
又因为，所以，所以，所以，，．在中，由正弦定理：，得， 解得，
在中，由余弦定理：
．
所以，所以公里．
（2）公里，所以流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）．
27．（2021·四川成都·高一期末（理））成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米．

（1）若，求服务通道的长；
（2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）在中由正弦定理求得，在中由余弦定理表示出，从而求得；
（2）在中，用余弦定理表示出，然后结合基本不等式可得的最大值．
【详解】解：（1）在中，由正弦定理得：，；
在中，由余弦定理得，
，
．
（2）在中，由余弦定理得：，
，，
，
，
，
．（当且仅当时取“”
28．（2021·江苏·海安市南莫中学高一期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”.

（1）在图（i）中，，且，求；
（2）在图（ii）中，，设，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知条件结合诱导公式求得，在中，利用余弦定理，即可求解；
（2）由已知条件结合余弦定理，求得，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）当时，，
则
在中，由余弦定理可得，
所以.
（2）在中，由余弦定理知，，
所以
在中，由正弦定理知，可得，
在中，由余弦定理可得

，
所以当时，的取最大值.
答：（1）；（2）的最大值为.
29．（2021·山西·平遥县第二中学校高一阶段练习）位于灯塔处正西方向相距的处有一艘甲船，需要海上加油.位于灯塔处北偏东有一与灯塔相距的乙船（在处）.求乙船前往支援处的甲船航行的距离和方向（角度精确到）.
【答案】乙船航行的距离为，方向约为南偏西
【分析】根据题设条件画出示意图，利用余弦定理可得，再利用正弦定理，可求得，即得解
【详解】根据题意，画出示意图如图，

由余弦定理得
.
于是.
由正弦定理得，所以.
因为，所以.
故乙船航行的距离为，方向约为南偏西.
30．（2022·全国·高一专题练习）铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链可由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成.合页主要安装于门窗上，而铰链更多安装于橱柜上.如图所示，就是一个合页的抽象图，可以在变化，其中，正常把合页安装在家具上时，的变化范围是.根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以为边长的正三角形区域内不能有障碍物.

（1）若时，求的长；
（2）当是多大时，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）根据题意利用三角比可得，
在中，由余弦定理易知即可得解；
（2）设，，，利用正余弦定理换算可得：，，代入整理可得，利用的范围即可得解.
【详解】（1）如图所示，

因为，易知，，，
在中，由余弦定理易知，且
即，解得
（2）设，，，
在中，由余弦定理易知，，
即，①，
，即②，
由正弦定理易知③，
将①②③代入下列式子中：


，
则当时，取最大值，最大值为