专题09：一次函数-2021-2022学年下学期八年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

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专题09：一次函数
一、单选题
1．已知直线与交于点，若与轴交于点， 是轴上一点，且，则点的横坐标为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】由点P是两直线的交点，可分别求出m与b的值，从而可求得A点的坐标，设点B的横坐标为a，由面积条件可求得a，即求得点B的横坐标．
【详解】∵点是直线与的交点，
∴m=1+1=2，
即．
把点P的坐标代入中，得，
∴b=4，
即．
上式中，令y=0，即，解得：x=2，
即点A的坐标为(2，0)．
设点B的横坐标为a，则，
∴，
即，
解得：a=6或a=-2．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线的交点，直线与坐标轴的交点，三角形面积，解绝对值方程等知识，掌握一次函数图像上点的坐标特征是解题的关键；注意不要漏解．
2．规定：是一次函数的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】根据正比例函数的定义求出m的值，然后求出点的坐标即可判断．
【详解】解：由题意得：
∵“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，
∴m﹣4＝0，
∴m＝4，
∴2+m＝6，2﹣m＝﹣2，
∴点（6，﹣2）在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
3．新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先依据题意得到函数关系式，然后依据正比例函数的定义求得m的值，最后解一元一次方程即可．
【详解】解：∵[a，b]为一次函数y=ax+b（a，b为实数，且a≠0）的关联数，
∴关联数[1，m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2．
又∵该函数为正比例函数，
∴m+2=0，解得m=-2．
∴方程可变形为：，
解得：x=1，
∴方程的解为x=1．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，解一元一次方程，求得m的值是解题的关键．
4．如图，直线：，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；按此作法继续下去，则点的坐标为（     ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据所给直线解析式可得与轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点，，的坐标，通过相应规律即可得到的坐标．
【详解】解：直线的解析式为：，
直线与轴的夹角为，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，，
可知的横坐标为0，纵坐标为，

故选A．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与轴夹角是解决本题的突破点；根据含的直角三角形的特点依次得到、、、的点的坐标是解决本题的关键．
5．一次函数的图象经过（       ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
【答案】D
【解析】根据一次函数解析式中系数符号k＜0，b＜0解答即可．
【详解】解：∵y=−x−3中k=−20
(3)45°
(4)（0，）或（0，）
【解析】（1）将代入，可求的值，进而可得一次函数为；将代入，求出点坐标，将点坐标代入，计算求解值即可；
（2）如图1，作与的图象，观察图象求x的取值范围即可；
（3）如图1，作于，求出，，求出 ，， 的值，由，求出的值，在中，由勾股定理得，求出的值，根据，，求解的值即可；
（4）由题意知，设，则，，在中，由勾股定理得，代入求出的值，进而可求的点坐标．
(1)
解：将代入得，，
解得，
∴一次函数为，
将代入得，，
∴，
将代入得，，
解得，
∴，．
(2)
解：如图1，作与的图象，

由图象可知，时，x的取值范围为．
(3)
解：如图1，作于，
将代入中，解得，
∴，
将代入中，解得，
∴，
∴ ，， ，
∵，
∴，
解得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴．
(4)
解：∵，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，即 ，
解得，
∴的点坐标为，．
【点评】本题考查了一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，勾股定理，等边对等角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23．如图，已知一次函数的图像与y轴相交于点A，一次函数的图像经过点B（0，3），且分别与x轴及的图象交于点C、D，点D的横坐标为．

(1)求k，b的值；
(2)当时，求x的取值范围．
【答案】(1)k＝－2，b＝3
(2)
【解析】（1）将D点的横坐标代入已知函数求出纵坐标，在将B、D两点坐标代入中利用待定系数法求出k，b的值即可．
（2）先令求出与x轴的交点坐标，然后利用数形结合的思想求出时x的取值即可．
(1)
解：当时，，
∴，
将B（0，3），代入y2=kx+b可得 ，
解得，
∴k＝－2，b＝3．
(2)
解：由上题得，
令即-2x+3=0，解得x=，
由图象可得：
当y2>0时，，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数的表达式以及一次函数与一元一次不等式结合的知识点，利用数形结合的思想是解决问题的关键．
24．直线y=mx+n与y=2x+1相交于(1，b)点，与y=-x-2相交于(a，1)点，求m、n的值．
【答案】
【解析】先把点(1，b)代入一次函数y=2x+1中求出b的值，同理求出a的值，然后用待定系数法求解即可
【详解】解：∵直线y=mx+n与y=2x+1相交于(1，b)点，与y=-x-2相交于(a，1)点
∴，
∴，
∴直线y=mx+n与y=2x+1相交于(1，3)点，与y=-x-2相交于(-3，1)点，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数自变量或函数值，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与 x轴交于A（-3，0），且与正比例函数y=2x图象交于点C（a，6）．


(1)求一次函数y=mx+n的解析式；
(2)直接写出mx+n>2x时，x的取值范围
【答案】(1)y=x+3
(2)x＜3
【解析】（1）利用先求出点Ｃ的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据mx+n>2x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量的取值范围进行求解即可
(1)
解：∵点C（a，6）在正比例函数y=2x上，
∴2a=6，
∴a=3，
∴点C的坐标为（3，6）
把点A（-3，0），C（3，6）代入一次函数y=mx+n中得：
，
∴，
∴一次函数解析式为y=x+3；
(2)
解：∵mx+n>2x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量的取值范围，
∴mx+n>2x的解集即为x＜3．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，根据两直线的交点坐标确定不等式的解集，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
26．如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．

(1)直线l1的表达式为 　 　；
(2)若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
(3)如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x﹣3
(2)N（0，﹣）
(3)存在，G（1，）或（﹣7，﹣）
【解析】（1）由待定系数法求出答案即可；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，求出直线CM的解析式为y1＝x﹣，则可得出答案；
（3）联立l1，l2的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，求出与x轴的交点，计算出△ACD的面积，求得△CBD的面积，进而求得G点横坐标，代入l2即可．
(1)
由题意知：A（﹣6，0），B（0，﹣3），
设直线l1的表达式为：y＝kx+b，将A（﹣6，0），B（0，﹣3）代入，得
，
解得：，
∴y＝-x﹣3；
(2)
在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，

∵点A、C关于y轴对称，
∴AN=CN，
∴当AM+MN最小时为MC，△AMN的周长最小，
∵M（﹣2，﹣2），
设直线CM的表达式为：y1＝k1x+b1，将M（﹣2，-2），C（6，0）代入，得
，
解得：，
∴直线CM的解析式为y1＝x﹣，
∴N（0，﹣）；
(3)
如图2，

由
解得：，
∴C（﹣3，﹣），
设直线CD的表达式是：y2＝mx+n，
∴，解得：，
∴y2＝x+3，
令y2＝0，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∴AE＝6﹣2＝4，
∴S△ACD＝AE•DF＝，
∵S△CDG＝S△ACD，
∴S△CDG＝×9＝6，
设G（x，x），
∴OD•|x+3|＝6，
即×3•|x+3|＝6，
∴x1＝1，x2＝﹣7，
∴G（1，）或（﹣7，﹣）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形的面积，两点间距离等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．