2022年中考数学冲刺按题型难易度分层分类精选模拟题300题冲关训练（通用版）：10填空题压轴题30题

这是一份2022年中考数学冲刺按题型难易度分层分类精选模拟题300题冲关训练（通用版）：10填空题压轴题30题，共45页。试卷主要包含了填空题压轴题等内容，欢迎下载使用。
10选择题压轴题30题

五、填空题压轴题
31．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　 　．
32．函数，其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G．
（1）当时，图象G与x轴的交点坐标为 　 　．
（2）若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为 　 　．
33．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．下列判断：①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，则x＝1．其中正确的说法有　 　．（请填写正确说法的番号）

34．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是 　 　．
35．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，那么点A的坐标是　 　．
36．已知双曲线y＝与直线y＝x交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则的值是　 　．

37．已知⊙O半径为4，点A，B在⊙O上，∠BAC＝90°，sin∠B＝，则线段OC的最大值为　 　．

38．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是中线，E是边AC的中点，过B，D，E三点的圆交AC于另一点F，交AD于点G，连接BF．若BC＝4，AD＝4，则BF＝　 　，⊙O的直径为 　 　．

39．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，⊙D过A、B、C三点，P是⊙D上一动点，连接PC、PO，则PC+PO的最小值为 　 　．

40．如图，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3．AC＝6，点D是AC上一个动点，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE∥AC，交AB于点E．
（1）当四边形ADFE为菱形时，则∠AED　 　．
（2）当△DEF为直角三角形时，则CD＝　 　．

41．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF⊥AD垂足为E，连接DF，若S△ADF＝，∠AFB＝∠CFD，则DF的长为 　 　．

42．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C′的坐标为　 　．
43．有两根木条，一根长60厘米，一根长100厘米．如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，这两根木条的中点间的距离是　 　．
44．如图，在矩形ABCD中，点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过A作AF⊥AE交射线DC于点F，若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，EG＝　 　．

45．如图，已知正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于　 　．

46．如图，已知正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点，且AE长为1cm，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处，设运动时间为t秒．
（1）当t＝　 　时，∠B'PC为直角；
（2）若点B'到直线AD的距离为3cm，则BP长为 　 　．

47．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　 　cm3．

48．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．
（1）则＝　 　；
（2）＝　 　．

49．如图所示，已知直线m∥n，m、n之间的距离为1，E、F点分别在直线m、n上，A、B分别为直线n、直线m上的动点，使AB＝，且AB⊥EF，则
（1）EF的值为 　 　；
（2）AB在运动的过程中，AE+BF的最小值为 　 　．

50．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，那么CN的长 　 　；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 　 　．

51．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E为对角线BD上一个动点，过点E作EF⊥AE交BC于F．
（1）当AE＝1时，EF的长为 　 　；
（2）EF长的最小值为 　 　．

52．问题：如图1，正方形ABCD内有一点P，PA＝，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连接PP′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图2中∠BPC的度数为　 　．
（2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2，PB＝4，PC＝2，则正六边形ABCDEF的边长为　 　．

53．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝15，点E是边AD上一动点，将△ABE沿BE折叠，使得点A落在点F处，点F分别到AD、BC的距离分别记为h1，h2，若，则AE的长为 　 　．

54．已知正方形ABCD的边长为12，E、F分别在边AB、BC上，将△BEF沿EF折叠，使得点B落在正方形内部（不含边界）的点B′处，DB′的延长线交AB于点G．若点B′在正方形的对称轴上，且满足S△ADG＝S正方形ABCD，则折痕EF的长为　 　．
55．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 　 　个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．


56．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，D为AB的中点，E点在边AC上，将△BDE沿DE折叠得到△B1DE，若△B1DE与△ADE重叠部分面积为△ADE面积的一半，则CE＝　 　．
57．（按课改要求命制）如图，设P是等边三角形ABC内的一点，PA＝1，PB＝2，PC＝，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点P旋转到P′外，则sin∠PCP′的值是 　 　（不取近似值）．

58．如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与y＝的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则＝　 　．

59．在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为（3，），（1，），点D，E分别在y＝x（x＞0），y＝x（x＞0）上，则CE+DE+DB的最小值是　 　．
60．如图，已知A1（0，1），，，A4（0，2），，，A7（0，3），A8（，﹣），…则点A2010的坐标是　 　．






【参考答案】
五、填空题压轴题
31．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　m＝1或m＞2　．
【解析】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．
当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x＝，符合题意；
当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣，不符合题意；

当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，
[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，
∴x1＝，x2＝．
∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，
∴0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2．
综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．
故答案为：m＝1或m＞2．
32．函数，其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G．
（1）当时，图象G与x轴的交点坐标为 　（3，0）　．
（2）若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为 　3或﹣1　．
【解析】解：（1）当x≥0时，对称轴为直线x＝＝1，
当x＜0时，对称轴为直线x＝＝﹣1，
又当m＝时，函数y＝，
当x≥0时，令x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3或x2＝﹣1（舍去），
∴x≥0时，x＝3；
当x＜0时，令﹣x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2+2x+3＝0，
∵Δ＝9﹣12＜0，
∴x＜0，无解，
∴与x轴的交点坐标为（3，0）；
（2）当m＞0时，图象大致如图1所示，
当y＝m经过顶点时，恰有2个交点，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2m+4m﹣3＝2m﹣3＝m，
∴m＝3；
∴当x＝1时，y＝2m﹣4m﹣3＝﹣2m﹣3＝m，
∴m＝﹣1（舍去），
当m＜0时，图象大致如图2所示，
当y＝m经过顶点时，恰有2个交点，
当x＝﹣1时，y＝﹣2m+4m﹣3＝2m﹣3＝m，
∴m＝3（舍去），
当x＝1时，y＝2m﹣4m﹣3＝﹣2m﹣3＝m，
∴m＝﹣1，
综上所述，m取值为3或﹣1．


33．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．下列判断：①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，则x＝1．其中正确的说法有　②③　．（请填写正确说法的番号）

【解析】解：∵当y1＝y2时，即﹣x2+4x＝2x时，
解得：x＝0或x＝2，
∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；
∴①错误；

∵抛物线y1＝﹣x2+4x，直线y2＝2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴②正确；

∵抛物线y1＝﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，
∴③正确；

∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；
当M＝2，2x＝2，x＝1；
x＞2时，y2＞y1；
当M＝2，﹣x2+4x＝2，x1＝2+，x2＝2﹣（舍去），
∴使得M＝2的x值是1或2+，
∴④错误；
∴正确的有②③两个．
故答案为②③．
34．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是 　﹣≤a＜0或0＜a≤　．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
∴a+b+c＝﹣1 ①a﹣b+c＝1 ②
①+②得：a+c＝0 即a与c互为相反数，
①﹣②得：b＝﹣1；
所以抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），
∴对称轴为x＝，
当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝＜0，
∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
画图可知，当≤﹣1时符合题意，此时﹣≤a＜0，

当﹣1＜＜0时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去
同理，当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝＞0，
画图可知，当≥1时符合题意，此时0＜a≤，

当0＜＜1时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，
综上所述：a的取值范围是﹣≤a＜0或0＜a≤，
故答案为：﹣≤a＜0或0＜a≤．
35．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，那么点A的坐标是　（﹣2，0）或（4，0）　．
【解析】解：令x＝0，则y＝b； 令y＝0，则x＝﹣．
所以A（﹣，0），B（0，b）．
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），
∴k+b＝1．
①若直线在l1位置，则OA＝，OB＝b．
根据题意有＝＝＝3，∴k＝．
∴b＝1﹣＝．
∴A点坐标为A（﹣2，0）；
②若直线在l2位置，则OA＝﹣，OB＝b
．根据题意有﹣＝3，∴k＝﹣．
∴b＝1﹣（﹣）＝．
∴A点坐标为A（4，0）．
故答案为（﹣2，0）或（4，0）．

36．已知双曲线y＝与直线y＝x交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则的值是　1　．

【解析】解1：过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设直线AC与x轴交于点K，如图，

联立，
解得：，．
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣4，﹣1），B（4，1）．
∴AG＝4，OG＝1，OH＝4，BH＝1．
设FH＝a，则有OF＝OH+FH＝4+a，BF2＝FH2+BH2＝a2+1．
∵AC⊥CF，OE⊥OK，
∴∠CFK＝90°﹣∠CKF＝∠OEK．
∵AG⊥y轴，BH⊥x轴，
∴∠AGE＝∠BHF＝90°．
∴△AEG∽△BFH．
∴＝＝＝4．
∴AE2＝16BF2＝16（a2+1），EG＝4FH＝4a．
∴OE＝＝|4a﹣1|．
∴EF2＝（4a﹣1）2+（4+a）2＝17（a2+1）．
∴＝＝1．
故答案为：1．
解2：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，如图．

则有∠GAC＝∠FCA＝90°，∠AGO＝∠BFO．
∵双曲线y＝与直线y＝x都关于点O成中心对称，
∴它们的交点也关于点O成中心对称，即OA＝OB．
在△AOG和△BOF中，
，
∴△AOG≌△BOF，
∴AG＝BF，OG＝OF．
∵OE⊥GF，
∴EG＝EF．
∵∠GAC＝90°，
∴AG2+AE2＝GE2，
∴BF2+AE2＝EF2，
∴＝1．
故答案为：1．
37．已知⊙O半径为4，点A，B在⊙O上，∠BAC＝90°，sin∠B＝，则线段OC的最大值为　　．

【解析】解：如图，连接OA，OB，作AD⊥OA，使得∠ADO＝∠ABC．

在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，
∴sin∠ABC＝＝，
设AC＝2k，BC＝13k，则AB＝3k，
∵∠ADO＝∠ABC，∠DAO＝∠BAC＝90°，
∴△DAO∽△BAC，
∴＝，
∵∠DAO＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠OAC，
∴△DAB∽△OAC，
∴＝＝＝，
∴OC＝BD，
在Rt△ADO中，∵∠DAO＝90°，
∴sin∠ADO＝＝，
∵OA＝OB＝4，
∴OD＝2，
∵OD﹣OB≤BD≤OD+OB，
∴2﹣4≤BD≤2+4，
∴BD的最大值为2+4，
∴OC的最大值＝+，
故答案为+．
38．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是中线，E是边AC的中点，过B，D，E三点的圆交AC于另一点F，交AD于点G，连接BF．若BC＝4，AD＝4，则BF＝　4　，⊙O的直径为 　　．

【解析】解：如图1，连接DE．
∵在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵E为边AC的中点，
∴DE＝AC＝AE＝CE，DE∥AB，
∴∠C＝∠EDC
∵∠DEC与∠FBC所对的弧均为，
∴∠DEC＝∠FBC，
在△BCF与△ECD中，
∠DEC＝∠FBC，∠BCF＝∠ECD，
∴∠BFC＝∠EDC，
∵∠C＝∠EDC，
∴∠BFC＝∠C，
∴BF＝BC＝4；

如图2，设AD交⊙O于点M，连接FM．
∵∠ADB＝90°，即BM为直径，
∴∠BFM＝90°，
∴∠AFM+∠BFC＝90°，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠C＝∠BFC，
∴∠AFM＝∠DAC，
∴MA＝MF，
设MA＝MF＝x，则DM＝4﹣x，
∵DM2+BD2＝BF2+MF2＝BM2，
∴DM2+BD2＝BF2+MF2
即（4﹣x）2+22＝42+x2，
解得x＝，
∴BM＝＝．
故答案为：4，．
39．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，⊙D过A、B、C三点，P是⊙D上一动点，连接PC、PO，则PC+PO的最小值为 　3　．

【解析】解：如图，

由﹣x2+2x+3＝0得，x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
，当x＝0时，y＝3，
∴OC＝3，
∴C（0，3），
∴可得圆心D（1，1），
∴AD＝CD＝BD＝，OD＝，
延长DO至E，使DE＝，连接PE，作EF⊥OC于F，连接CE，
∴＝，＝，
∴，
∵∠D是公共角，
∴△EDP∽△PDO，
∴＝＝，
∴PE＝OP，
∴PC+OP＝PC+PE，
∴当E、P、C共线时，PC+OP最小＝CE，
∵DE＝，OD＝，
∴OE＝﹣＝，
∴EF＝OF＝OE•sin∠EOF＝×＝，
在Rt△CEF中，EF＝，CF＝OF+OC＝，
∴CE＝＝＝，

∴PC+OP最小值是，
∴PC+OP＝（PC+OP）最小值是＝3，
故答案是3．
40．如图，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3．AC＝6，点D是AC上一个动点，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE∥AC，交AB于点E．
（1）当四边形ADFE为菱形时，则∠AED　60°　．
（2）当△DEF为直角三角形时，则CD＝　3或4.8　．

【解析】解：（1）∵AB＝3，BC＝3．AC＝6，
∴32+（3）2＝36＝62，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝30°，∠A＝60°，
∵四边形ADFE为菱形，
∴∠AEF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AED＝AEF＝60°．
故答案为：60°；
（2）讨论：
①当∠DFE＝90°时．
∵FE∥AC，∠C＝30°，
∴∠EFB＝∠C＝30°，
∴∠DFE＝180°﹣90°﹣30°＝60°≠90°，
∴这种情况不存在，
②当∠FDE＝90°时，如图2，

∵DF⊥BC，∠B＝90°，
∴∠DFC＝∠B＝90°，
∴DF∥AB，
∵EF∥AC，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AE＝DF＝CD，
∵∠DFC＝∠FDE＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝30°，∠AED＝∠B＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝（6﹣CD），
即CD＝（6﹣CD），
解得：CD＝3，
③当∠DEF＝90°时，如图3，

∵EF∥AC，∠C＝30°，
∴∠EFB＝∠C＝30°，
∵∠DFC＝90°，
∴∠DFE＝60°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FDE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠FEB＝60°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠AED＝30°，
∴∠ADE＝90°，∠AED＝∠FDE＝30°，
∴FD∥AE，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AE＝DF＝CD，
在Rt△ADE中，
∠ADE＝90°，∠AED＝30°，
∴AD＝AE，
即6﹣CD＝CD，
解得：t＝4.8．
综上所述，当△FED是直角三角形时，t的值为3或4.8．
故答案为：3或4.8．
41．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF⊥AD垂足为E，连接DF，若S△ADF＝，∠AFB＝∠CFD，则DF的长为 　　．

【解析】解：如图，过点C作CG⊥AC交AD的延长线于G，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAG+∠BAE＝90°，
∵BF⊥AD，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠ABF＝∠CAG，
在△ABF和△CAG中，
，
∴△ABF≌△CAG（ASA），
∴AF＝CG，∠G＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠CFD，
∴∠CFD＝∠G，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，CG⊥AC，
∴∠DCF＝∠DCG＝45°，
在△CDF和△CDG中，
，
∴△CDF≌△CDG（AAS），
∴CG＝CF，DG＝DF，
∴CG＝AF＝CF＝AC，
∴S△ACG＝3S△ADF＝3×＝，
∴AC•CG＝×2CG•CG＝，
∴CG＝，
∴CF＝，
∵∠AFB＝∠CFD，
∴tan∠AFB＝tan∠CFD＝＝＝2，
设EF＝x，则AE＝2x，BE＝2AE＝4x，
AB＝＝2x，
∴2x＝2×，
∴x＝，
∴DF＝DG＝5x﹣2x﹣2＝3x﹣2＝．
故答案为：．

42．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C′的坐标为　（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）　．
【解析】解：因为正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），
所以画图如下：

当正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），
①点B的对应点B′恰好落在x轴正半轴上时，如图，
∵AB′＝AB＝5，OA＝3，
∴OB′＝＝4，

∵∠AB′O+∠OAB′＝90°，∠AB′O+∠C′B′E＝90°，
∴∠OAB′＝∠C′B′E，
在△AB′O和△EB′C′中，
，
∴△AB′O≌△EB′C′（AAS），
∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，
∴OE＝OB′+B′E＝4+3＝7，
∴点C的对应点C′的坐标为（7，4）；
②点B的对应点B′恰好落在y轴负半轴上时，如图，

B′C′＝AB＝BC′＝5，
∴点C的对应点C′的坐标为（5，﹣2）；
③点B的对应点B′恰好落在x轴负半轴上时，如图，

同①可知：
△AB′O≌△EB′C′（AAS），
∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，
∴OE＝OB′﹣B′E＝4﹣3＝1，
∴点C的对应点C′的坐标为（﹣1，﹣4）；
综上所述：点C的对应点C′的坐标为（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．
故答案为：（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．
43．有两根木条，一根长60厘米，一根长100厘米．如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，这两根木条的中点间的距离是　20cm或80cm　．
【解析】解：若两条线段的另一个端点在重合端点的同旁，则中点间的距离为50﹣30＝20cm；
若两条线段的另一个端点在重合端点的异侧，则中点间的距离为50+30＝80cm．
故答案为 20cm或80cm．
44．如图，在矩形ABCD中，点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过A作AF⊥AE交射线DC于点F，若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，EG＝　或　．

【解析】解：①如图1，当点F在线段DC上时，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝＝＝，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴＝＝，
∵AF＝GF+AG，
∴AG＝AF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF．
∴△ABE∽△ADF，
∴＝＝＝，
∴AE＝AF＝＝，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝；
②如图2，当点F在线段DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，
；
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝＝5．
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴＝＝，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴＝＝，
∴AE＝AF＝，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝．
综上所述，EG的长为或．
故答案为：．
45．如图，已知正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于　4或2　．

【解析】解：在正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，
设DE＝x，则AE＝2x，由勾股定理x2+62＝（2x）2，
解得：x＝2（负值舍去），
∴AE＝4，
∵点F为AE的中点，
∴AF＝EF＝2，
分两种情况：
①过M作MG⊥BC，G为垂足，则MG＝DC＝AD，

在Rt△MGN和Rt△ADE中，
，
∴Rt△MGN≌Rt△ADE（HL），
∴∠NMG＝∠EAD，
∴∠NMG+∠AMF＝90°，
∴∠EAD+∠AMF＝90°，
∴∠AFM＝90°，
在Rt△AFM中，∠DAE＝30°，AF＝2，
设MF＝m，则AM＝2m，
由勾股定理，得
4m2﹣m2＝12，
解得m＝2（负值舍去），则AM＝4；
②方法一：根据对称性由①可知：AM＝6﹣4＝2，
方法二：如图，过N作NG⊥AD于G，过M作MH⊥AE于H，
则NG＝CD＝AD，

在Rt△ADE和Rt△NGM中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△NGM（HL），
∴∠GNM＝∠DAE＝30°，
∴∠GMN＝60°，
△AMF中，∠GMN＝∠MAF+∠AFM，
∴∠AFM＝∠DAE＝30°，
∴AM＝MF，
∵MH⊥AF，
∴AH＝FH，
设MH＝x，则AM＝2x，AH＝FH＝x，
∵F是AE的中点，
∴AE＝2AF＝4AH＝4x，
Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴DE＝AE＝2x，AD＝DE＝6x，
∵AD＝6，即6x＝6，
x＝1，即AM＝2x＝2；
故答案为：4或2．
46．如图，已知正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点，且AE长为1cm，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处，设运动时间为t秒．
（1）当t＝　5　时，∠B'PC为直角；
（2）若点B'到直线AD的距离为3cm，则BP长为 　或15　．

【解析】解：（1）∵正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点且AE长为1cm，
∴BE＝5（cm），
当∠B'PC＝90°时，∠BPB'＝90°，
∴由折叠可得，∠BPE＝∠BPB'＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴∠BEP＝45°，
∴BP＝BE＝5（cm），
∵点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，
∴t＝5÷1＝5（秒），
故答案为：5；
（2）过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，
∵AD∥BC，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABNM是矩形
同理可得：四边形AEHM是矩形．
①如图：

若点B'在AD下方，则B'M＝3cm，B'N＝3cm，
∵MH＝AE＝1（cm），
∴B'H＝2（cm），
由折叠可得，EB'＝EB＝5（cm），
∴Rt△EB'H中，EH＝＝（cm），
∴BN＝AM＝EH＝（cm），
设BP＝tcm，
∴PB'＝tcm，PN＝（﹣t） cm
∵Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，
∴t2＝（﹣t）2+32，
解得：t＝．
②如图：

若点B'在AD上方，则B'M＝3cm，B'N＝9cm，
同理可得，EH＝3cm，
设BP＝tcm，
∴B'P＝tcm，PN＝（t﹣3）cm，
∵Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，
∴t2＝（t﹣3）2+92，
解得：t＝15．
综上所述，BP的值为或15．
故答案为：或15．
47．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　120　cm3．

【解析】解：根据图中三视图可得出其体积＝上下两个长方体的体积和＝4×1×5+4×5×5＝120cm3．
48．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．
（1）则＝　　；
（2）＝　　．

【解析】解：（1）∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠FEP＝∠PBC＝60°，
∵∠FPE＝∠BPC＝60°，
∴∠FPE＝∠PFE＝∠FEP＝60°，
∴△FEP是等边三角形，
∴△FPE∽△CPB，
∴＝，
设PF＝PE＝x，PC＝y，
∴DC＝y，
∵∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝30°，
∴y＝（x+y），
整理得：（1﹣）y＝x，
解得：＝，
∴＝；
故答案为：；
（2）如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，

设正方形ABCD的边长是4，
∵△BPC为正三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，
∵∠PCD＝30°，
∴PN＝PB•sin60°＝4×＝2，PM＝PC•sin30°＝2，
S△BPD＝S四边形PBCD﹣S△BCD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD＝×4×2+×2×4﹣×4×4＝4+4﹣8＝4﹣4，
∴＝＝．
故答案为：．

49．如图所示，已知直线m∥n，m、n之间的距离为1，E、F点分别在直线m、n上，A、B分别为直线n、直线m上的动点，使AB＝，且AB⊥EF，则
（1）EF的值为 　　；
（2）AB在运动的过程中，AE+BF的最小值为 　　．

【解析】解：（1）如图，移动点A使其与点F重合，过点A作AC⊥m于点C，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，
∵AB＝，AC＝1，
∴BC＝＝＝2，

∵AB⊥EF，
∴∠EAB＝90°，
∴∠CAE+∠CAB＝90°，
∵∠CBA+∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝∠CBA，
∵∠ECA＝∠BCA＝90°，
∴△ACE∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝，
在Rt△AEC中，根据勾股定理，得
EF＝＝；
故答案为：；
（2）如图，过点A关于m的对称点A′，作点B关于n的对称点B′，连接A′E交直线n于点H，连接B′H，AB与EF交于点Q，
当四边形AEBF为菱形时AE+BF取得最小值，

∵四边形AEBF为菱形，
∴AE＝BF，
∵m∥n，
∴∠CEA＝∠EAH，∠BEH＝∠EHA，
∵∠A′EC＝∠AEC＝∠BEH，
∴∠EAH＝∠EHA，
∴EA＝EH，
∴EA＝EH＝A′E，
∵BF＝B′F＝AE，
∴EH＝B′F，
∴AE+BF＝A′H最短，
过点E作EN⊥n于点N，
∵AQ⊥EF，
∴∠AQF＝∠ENF＝90°，
∵∠AFQ＝∠EFN，
∴△AFQ∽△EFN，
∴＝，
∵AB＝，AQ＝AB＝，EF＝，EN＝1，
∴＝，
∴AF＝，
∴AE＝AF＝BF＝，
∴AE+BF＝+＝．
故答案为：．
50．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，那么CN的长 　　；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 　2或　．

【解析】解：①∵BE＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EN⊥AE，
∴∠AEN＝90°，
∴∠BEA+∠NEC＝90°，
∴∠BAE＝∠NEC，
∴△ABE∽△ECN，
∴＝，
∴＝，
解得：CN＝；
故答案为：；
②过点E作EF⊥AD于F，如图所示：

则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，AF＝BE，
由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，
∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，
∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，
∴∠EC′F＝∠C′ND，
∵∠D＝∠EFC′，
∴△EC′F∽△NC′D，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴C′D＝BE，
设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，
∴＝，＝，
∴DN＝x（2﹣x），CN＝，
∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，
解得：x＝2或x＝，
∴BE＝2或BE＝．
故答案为：2或．
51．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E为对角线BD上一个动点，过点E作EF⊥AE交BC于F．
（1）当AE＝1时，EF的长为 　　；
（2）EF长的最小值为 　　．

【解析】解：（1）如图，连接AF交BD于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ABF＝∠AEF＝90°，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），
∴BF＝EF，
∵AB＝AE，
∴AF是BE的垂直平分线，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAF＝∠FBG，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠FBG，
∴∠ADB＝∠BAF，
∴△ABF∽△DAB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴当AE＝1时，EF的长为；
故答案为：；
（2）如图，因为EF⊥AE，
所以当点F与点B重合时，EF长最小，

在矩形ABCD中，
∵AB＝1，AD＝2，
∴BD＝＝，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAD＝∠AEF＝90°，
∵∠DBA＝∠AFE，
∴△DBA∽△AFE，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝．
故答案为：．
52．问题：如图1，正方形ABCD内有一点P，PA＝，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连接PP′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图2中∠BPC的度数为　135°　．
（2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2，PB＝4，PC＝2，则正六边形ABCDEF的边长为　2　．

【解析】解：（1）如图2．
∵△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP＝90°，BP′＝BP＝，P′A＝PC＝1，∠BP′A＝∠BPC，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
∴PP′＝PB＝2，∠BP′P＝45°，
在△APP′中，AP＝，PP′＝2，AP′＝1，
∵（）2＝22+12，
∴AP2＝PP′2+AP′2，
∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P＝90°
∴∠BP′A＝45°+90°＝135°，
∴∠BPC＝∠BP′A＝135°．
故答案为：135°．

（2）如图3．

∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC＝120°，
把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP＝120°，BP′＝BP＝4，P′A＝PC＝2，∠BP′A＝∠BPC，
∴∠BP′P＝∠BPP′＝30°，
过B作BH⊥PP′于H，
∵BP′＝BP，
∴P′H＝PH，
在Rt△BP′H中，∠BP′H＝30°，BP′＝4，
∴BH＝BP′＝2，P′H＝BH＝2，
∴P′P＝2P′H＝4，
在△APP′中，AP＝2，PP′＝4，AP′＝2，
∵（2）2＝（4）2+22，
∴AP2＝PP′2+AP′2，
∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P＝90°，
∴∠BP′A＝30°+90°＝120°，
∴∠BPC＝120°，
过A作AG⊥BP′于G点，
∴∠AP′G＝60°，
在Rt△AGP′中，AP′＝2，∠GAP′＝30°，
∴GP′＝AP′＝1，AG＝GP′＝，
在Rt△AGB中，GB＝GP′+P′B＝1+4＝5，
AB＝＝＝2，
即正六边形ABCDEF的边长为2．
故答案为：2．

53．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝15，点E是边AD上一动点，将△ABE沿BE折叠，使得点A落在点F处，点F分别到AD、BC的距离分别记为h1，h2，若，则AE的长为 　　．

【解析】解：①如图1，当点F在矩形ABCD内，
过点F作MN∥AB交BC于点M，交AD于点N，
则四边形ABMN是矩形，

∴MN＝AB＝8，
∵，
∴＝3，
∴FN＝h1＝6，FM＝h2＝2，
由折叠可知：BF＝AB＝8，EF＝AE，
∴BM＝＝＝＝AN，
设AE＝x，
由折叠可知：AE＝EF＝x，
在Rt△EFN中，根据勾股定理得：
EN2+FN2＝EF2，
∴（﹣x）2+62＝x2，
解得x＝；
②如图2，当点F在矩形ABCD外，
过点F作FN∥AB交BC于点M，交AD于点N，
则四边形ABMN是矩形，

∴MN＝AB＝8，
∵，
∴＝＝＝3，
∴FN＝h1＝12，FM＝h2＝4，
由折叠可知：BF＝AB＝8，EF＝AE，
∴BM＝＝＝4＝AN，
设AE＝x，
由折叠可知：AE＝EF＝x，
在Rt△EFN中，根据勾股定理得：
EN2+FN2＝EF2，
∴（x﹣4）2+122＝x2，
解得x＝8；
综上所述：AE的长为或8．
故答案为：或8．
54．已知正方形ABCD的边长为12，E、F分别在边AB、BC上，将△BEF沿EF折叠，使得点B落在正方形内部（不含边界）的点B′处，DB′的延长线交AB于点G．若点B′在正方形的对称轴上，且满足S△ADG＝S正方形ABCD，则折痕EF的长为　或5　．
【解析】解：∵S△ADG＝S正方形ABCD，
∴AG＝DG＝6，
如图1中，当GB′＝B′D时，满足条件，过点B′，作B′H⊥AB于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GHB′＝∠A＝90°，
∴AD∥HB′，
∵GB′＝B′D，
∴AH＝GH＝3，
∴HB′＝AD＝6，
∴BB′＝＝＝3，
∴OB＝OB′＝，
∵∠OBE＝∠HBB′，∠EOB＝∠BHB′＝90°，
∴△BOE∽△BHB′，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BE＝，OE＝，
∵∠BEO＝∠BEF，∠BOE＝∠EBF＝90°，
∴△EBO∽△EFB，
可得BE2＝EO•EF，
∴EF＝＝．
如图2中，当点B′落在AC上时，同法可得EF＝5，

故答案为或5．
55．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 　5　个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．


【解析】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形如图：

共5个．
56．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，D为AB的中点，E点在边AC上，将△BDE沿DE折叠得到△B1DE，若△B1DE与△ADE重叠部分面积为△ADE面积的一半，则CE＝　或　．
【解析】解：情形1：如图1中，设AD交EB1于O，当DO＝OA时，△B1DE与△ADE重叠部分面积为△ADE面积的一半．

作DM⊥BE于M，DN⊥EB1于N．
∵BC＝8，AC＝15，∠C＝90°，
∴AB＝＝17，
∵D是AB中点，
∴BD＝AD＝，
∵∠BED＝∠DEB1，
∴DM＝DN，
∵＝＝＝2，
∴BE＝2EO，
∵BE＝EB1，
∴EO＝OB1，∵DO＝OA，
∴四边形DEAB1是平行四边形，
∴DB1＝BD＝AE＝，
∴CE＝AC﹣AE＝


情形2：如图2中，当DB1平分线段AE时，满足条件．

∵BD＝AD，EO＝OA，
∴OD∥BE，
∴∠BED＝∠EDO＝∠BDE，
∴BE＝BD＝，
在Rt△BCE中，EC＝＝＝．
综上所述，满足条件的CE的值为或．
57．（按课改要求命制）如图，设P是等边三角形ABC内的一点，PA＝1，PB＝2，PC＝，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点P旋转到P′外，则sin∠PCP′的值是 　　（不取近似值）．

【解析】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°．
根据旋转的性质，有
∠PAP′＝60°，AP′＝AP＝1，CP′＝BP＝2．
∴△APP′是等边三角形，PP′＝1．
在△PCP′中，
PC＝，PP′＝1，CP′＝2．
∴PC2＝P′P2+P′C2．
∴△PCP′是直角三角形，且∠PP′C＝90°．
∴sin∠PCP′＝．
58．如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与y＝的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则＝　　．

【解析】解：如图，过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M．

∵AN∥BM，
∴△OBM∽△OAN，
∵S△OBM＝，S△AON＝2k，
∴＝（）2＝，
∴＝＝，
设A（m，），则B（，），
∵BC∥x轴，EC∥y轴，
∴C（2m，），E（2m，），
∴直线OC的解析式为y＝x，直线BE的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴F（，），
∴＝＝，
故答案为：．
59．在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为（3，），（1，），点D，E分别在y＝x（x＞0），y＝x（x＞0）上，则CE+DE+DB的最小值是　　．
【解析】解：如图，作点C关于直线y＝x的对称点C′，点B关于直线y＝x的对称点B′，连接B′C′交直线y＝x于E′，交直线y＝x于D′．此时CE′+E′D′+BD′的值最小．

∵CC′垂直直线y＝x，C（1，），
∴直线CC′的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴E′（，），设C′（m，n），
则有，解得，
∴C′（，），
同法可得B′（0，2），
∴CE′+E′D′+BD′的最小值＝B′C′＝＝，
故答案为．
60．如图，已知A1（0，1），，，A4（0，2），，，A7（0，3），A8（，﹣），…则点A2010的坐标是　　．

【解析】解：根据所给出的这9个点的坐标，可以发现规律：A1、A4、A7…横坐标为0，纵坐标大1；A2、A5、A8…横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，…；A3、A6、A9…横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，…；
∵2010是3的倍数，
∴点A2010的坐标符合A3、A6、A9…的变化规律，
∵2010是3的670倍，
∴点A2010的坐标应是横纵坐标依次扩大为A3的670倍，
则点A2010的坐标是（﹣335）．
故答案为：（﹣335）．