2022年中考数学备考冲刺：二次函数与圆的计算考前信息压轴题

这是一份2022年中考数学备考冲刺：二次函数与圆的计算考前信息压轴题，共42页。
二次函数与圆的计算考前信息压轴题
1．已知抛物线y=x2−（m−1）x+2m−1．
(1)当m=0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标．
2．已知抛物线恒经过两个定点A和B（点A在点B左侧），现将直线AB作为对称轴，将抛物线进行翻折而得到抛物线，的顶点P与的顶点Q以及两定点A、B组成四边形APBQ．
(1)点A和点B坐标分别为______和______；
四边形APBQ的是一种特殊的四边形，它是______，的解析式为______．
(2)当点Q到x轴的距离为4时，
①求m值和此时四边形APBQ的面积．
②若直线与两抛物线、共同所组成图像共有4个交点，直接写出当时，a的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），顶点为C点．

(1)求的长；
(2)反比例函数的图像记作G．
①已知点C落在y轴上，抛物线与图像G的交点D在第三象限，若D点的横坐标为a，且，求k的取值范围．
②已知图像G经过点，点，若抛物线与线段有唯一的公共点（包括线段的端点），求m的取值范围．
4．如图，已知AB是的弦，C为上一点，AD是的切线．

(1)求证：；
(2)若于点B，，，求的半径．
5．如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作RtΔABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．

(1)求证：是的中点；
(2)若，，求弦的长．
6．如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．

（1）求证：直线与相切；
（2）若的直径是10，，求的长．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）

(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
8．如图，已知内接于，是圆外一点，为的切线，且，连接，线段与线段相交于点．

(1)求证：为的切线；
(2)若，的半径为5，求线段的长．
9．如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，连接BG．

(1)求证：△ABG∽△AFC．
(2)已知点E 在线段AF上（不与点A、点F重合），点D在线段AE上（不与点A、点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2=GEGD．
10．如图1，AB为半径，点C在AB延长线上且满足，点D是圆上的一个动点，连接AD、CD．

(1)△ACD面积最大时，请直接写出的值；
(2)猜想：当的度数为多少时，CD为的切线，并证明你的猜想．
(3)如图2，点H为AB中点，试猜想CD与DH的数量关系并给出证明．
11．如图，已知为的直径，点D为上一点，于点C，交于点E，与的延长线交于点F，平分．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，直接写出的长________．
12．如图，，是以为直径的圆上两点，且，直线是圆的切线．

(1)求证：AB∥CD；
(2)若的长度为12，，求圆的半径；
(3)过点作，垂足为，求证：．
13．如图，在矩形中，，，点E从点B出发，沿折线段以每秒1个单位的速度向点D（不与D点重合）运动，与此同时，以为直径且在的右侧作半圆O．设点E的运动时间为．

(1)发现：当点D开始落在半圆O上时，_________；此时半圆O的半径为________；
(2)探究：当秒时，
①连接、，判断是否垂直；
②求半圆O与矩形重叠部分的面积；
(3)拓展：若半圆O与矩形的边相切时，求点E到的距离．
14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接，点P在第二象限的抛物线上，连接、，线段交线段于点E．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
(3)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接，点H在x轴上，当时，
①求满足条件的所有点H的坐标
②当点H在线段上时，点Q是平面直角坐标系内一点，保持，连接，将线段绕着点Q顺时针旋转90°，得到线段，连接，请直接写出线段的取值范围．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．

(1)当时，直接写出点A，C，D的坐标：A______，C______，D______；
(2)如图1，直线DC交x轴于点E，若，求a的值和CE的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记．
①用含t的代数式表示f；
②设，求f的最大值．
16．如图，一条抛物线经过原点和点C（8，0），A、B是该抛物线上的两点，AB∥x轴，点A坐标为（3，4），点E在线段OC上，点F在线段BC上，且满足∠BEF=∠AOC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若四边形OABE的面积为14，求S△ECF；
（3）是否存在点E，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由.

17．如图，已知抛物线经过点，，点D是第一象限抛物线上的一点，于点C．

(1)直接写出抛物线的表达式________；
(2)如图1，当取得最大值时，求点D的坐标，并求的最大值；
(3)如图2，点D满足（2）的条件，点P在x轴上，且，直接写出点P的横坐标________．
18．如图，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，设四边形和的面积分别为和，记，求最大值点的坐标及的最大值；
(3)点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

1．(1)不在
(2)（2，5）
【解析】
（1）根据m的值求出二次函数解析式，求出x=2时的二次函数的函数值并与4比较即可判断．
（2）根据二次函数的解析式用m表示二次函数的顶点坐标，根据二次函数的最值确定当m=5时，二次函数的顶点移动到最高处，再代入计算即可求出此时二次函数的顶点坐标．
(1)
解：当m=0时，抛物线的解析式为．
∴当x=2时，．
∵，
∴当m=0时，点（2，4）不在该抛物线上．
(2)
解：∵抛物线的解析式为y=x2−（m−1）x+2m−1，
∴抛物线的顶点坐标为．
∴当m=5时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，即抛物线的顶点移动到最高处．
∴此时抛物线顶点坐标为（2，5）．
2．(1)，菱形，；
(2)①，四边形APBQ的面积为2，时，四边形APBQ的面积10；②且
【解析】
（1）根据抛物线解析式求得定点，，求得顶点坐标为，设抛物线的顶点坐标为，根据菱形对角线互相平分求得，进而即可求解．求得的解析式；
（2）①根据题意得的值，进而求得面积；②根据条件可得，进而求得的坐标，结合图象即可求解．
(1)
，
当时，，当时，，
抛物线过定点，
点A在点B左侧，
，
如图，

由翻折可知，，
，
轴，轴，
则是抛物线的对称轴，
平分，
，
，
四边形是菱形，
，
顶点坐标为，
设抛物线的顶点坐标为，
根据菱形的性质可得，
得，
，
(2)
①当点到轴的距离为时，则，
，
或，
当时，则点坐标为，点坐标为，
，
，
，
当时，则点的坐标为，点坐标为，
，
，
②，
，
由①可知当时，点的坐标为，点，
要使直线与两抛物线共同组成的图象共有4个交点，则的取值范围是：
且．
3．(1)6
(2)①28＜k＜162；②－6≤m≤－1或－－6≤m≤－1
【解析】
（1）根据抛物线的解析式求出A、B两点坐标即可得出AB=6;
（2）①根据题意可得 且，求解即可；②先将点P，点Q坐标代入求出，得点P，点Q坐标，再代入抛物线解析求出m的值，结合函数图象可得结论．
(1)
抛物线与x轴相交于A、B两点
令
∴，即 ，
∴，
∴A（m－3,0）,B(m+3,0),
∴AB= m+3－(m－3)=6
(2)
①由题意得，
∴
∵在第三象限，y=-x2+9中，y随x增大而增大；
（）中，y随x增大而减小；
y=-x2+9与交点的横坐标为a，且－6＜a＜－4
∴ 且
∴28＜k＜162；
②的图像经过点P（，-12），点Q（-6，）
∴ ，
∴
∴P（-1，-12），点Q（-6，-2）
当抛物线经过点P（-1，-12）时，-12=-1-2m+9－m2，
解得，m1=-1，m2=-1
当抛物线经过点Q（-6，-2）时，-2=-36-12m+9-m2，
解得，m1=-6，m2=--6
由于抛物线的对称轴为直线，因此可以看用随着的减小抛物线向左平移，
∴m的取值范围为-6≤m≤-1或--6≤m≤-1．

4．(1)见解析
(2)半径为
【解析】
（1）连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，由AE为直径，可得∠EAB+∠E＝90°．由AD是⊙O的切线，可得∠EAB+∠BAD＝90°，可推出∠E＝∠BAD即可；
（2）由BD⊥AB，可得∠ABD＝90°，可证D，B，E三点共线，由勾股定理求出AB，再证△ADE∽△BDA，利用对应边长成比例可求AE．
(1)
证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，

∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠EAB+∠E＝90°．
∵AD是⊙O的切线，
∴∠DAE＝90°，
∴∠EAB+∠BAD＝90°，
∴∠E＝∠BAD，
∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠BAD；
(2)
解：∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
由（1）可知∠ABE＝90°，
∴∠DBE＝180°，
∴D，B，E三点共线，
∵AD＝9，BD＝7，
∴AB＝，
∵∠E＝∠C＝∠BAD，∠D＝∠D，
∴△ADE∽△BDA，
∴，
∴，
∴．
∴⊙O半径为．
5．(1)见解析
(2)弦DG的长为．
【解析】
（1）连AD，由AB为直径，根据圆周角定理得推论得到∠ADB=90°，从而有∠C+∠EAD=90°，∠EDA+∠CDE=90°，而∠CAB=90°，根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线，而DE与⊙O相切，根据切线长定理得ED=EA，则∠EDA=∠EAD，利用等角的余角相等可得到∠C=∠CDE，则ED=EC，即可得到EA=EC；
（2）由（1）可得AC=2AE=6，结合cos∠ACB=推知sin∠ACB=，然后利用圆周角定理、垂径定理，解直角三角形即可求得DG的长度．
(1)
证明：连接AD，如图，

∵AB为⊙O的直径，∠CAB=90°，
∴AC是⊙O的切线，
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EA，
∴∠EAD=∠EDA，
而∠C=90°-∠EAD，∠CDE=90°-∠EDA，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EA=EC，
即E为AC的中点；
(2)
解：由（1）知，E为AC的中点，则AC=2AE=6．
∵cos∠ACB=，
设AC=2x，BC=3x，
根据勾股定理，得AB=，
∴sin∠ACB=．
连接AD，则∠ADC=90°，
∴∠ACB+∠CAD=90°，
∵∠CAD+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠ACB，
在Rt△ACD中，AD=AC•sin∠ACB=6×=2．
在Rt△ADF中，DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB=2×=，
∴DG=2DF=．
6．（1）见解析；（2）．
【解析】
（1）连接OD，由点D是的中点得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半径可得DE是切线；
（2）证明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论．
解：（1）连接OD交BC于点F，如图，

∵点是的中点，
∴OD⊥BC，
∵DE//BC
∴OD⊥DE
∵OD是的半径
∴直线与相切；
（2）∵AC是的直径，且AB=10,
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥BC
∴∠OFC=90°
∴OD//AB

∴
∵
∴
∴
由勾股定理得，
∴．
7．(1)抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，顶点坐标为(-1，4)；
(2)①P(−−1，2)
②当x＝−时，S四边形PABC最大=，此时P(-，)．
【解析】
(1)把点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
(2)①由PA⊥NA，且PA=NA，可证△PAD≌△ANQ(AAS)，则PD=AQ，PD=AQ=AO-QO=3-1=2，即：即y=-x2-2x+3=2，即可求解；②利用S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA，求解即可．
(1)
解：把点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得，
故：抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴顶点坐标为(-1，4)；
(2)
∵A(-3，0)，B(1，0)，
OA=3，OB=1，
如解图，作PD⊥x轴于点D，设对称轴l与x轴交于点Q，连接AC，OP，

∵点P在y=-x2-2x+3上，
∴设点P(x，-x2-2x+3)，
∵PA⊥NA，且PA=NA，
∴∠PAD+∠APD=∠PAD+∠NAQ=90°，
∴∠APD=∠NAQ，
又∵∠PDA=∠AQN=90°，
∴△PAD≌△ANQ(AAS)，
∴PD=AQ，
∴PD=AQ=AO-QO=3-1=2
即：y=-x2-2x+3=2
解得：x＝−1(舍去)或x＝−−1，
∴点P坐标为(−−1，2)；
②连接OP，设P(x，-x2-2x+3)，且-3＜x＜0
S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA
∵S△OBC=OB×OC=×1×3=，S△OCP=OD×OC=|x|×3
又-3＜x＜0，所以S△OCP=−x，
S△OAP=×3×|yP|=(-x2-2x+3)=−x2−3x+
∴S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA
=+(−x)+(−x2−3x+)=−x2−x+6，
∴当x＝−时，S四边形PABC最大=，
此时P(-，)．
8．(1)见解析
(2)
【解析】
（1）连接OA、OB，证明△OAP≌△OBP即可；
（2）根据可以得到OP和OD的长，从而可以解答本题．
(1)
连接OA、OB，如图所示．

∵，
∴
∴，
∵PA为⊙O的切线，
∴，
∴，
∴PB为⊙O的切线
(2)
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，⊙O的半径5
∴，，
∴，OD＝3
∴
∴
9．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
（1）利用平分可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，由此证明三角形相似；
（2）证明，利用相似三角形的对应边成比例即可证明．
(1)
证明：平分，
，
又，
．
(2)
解：，，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
．
10．(1)
(2)，证明见解析
(3)，证明见解析
【解析】
（1）过点作，根据三角形的面积公式可得取得最大值时，面积最大，勾股定理求得，进而根据正弦的定义即可求解；
（2）根据切线的性质，特殊角的三角函数值，即可求解；
（3）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
(1)
解：如图，过点作，

，
点D是圆上的一个动点，
，
时，最大，则，，
∵，，
设，
中，，
，
(2)
当的度数为时，CD为的切线，
证明：为的切线，
，
，
，
，

(3)
，理由如下，如图，

，，设，则，
为的中点，
，
，
，
又，
，
，
．
11．(1)见解析
(2)
【解析】
（1）连接OD，只要证明CD⊥OD即可，利用角平分线，等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余可得结论；
（2）连接AE交OD于H，先证明四边形HBCD是矩形，利用矩形的性质、垂径定理勾股定理得到△OAH的三边长，再利用△OAH∽△OFD即可求得DF的长．
(1)

连接
∵平分．
∴，
又∵，
∴，∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
(2)

连接OD，AE交于点H，
为的直径，
，
，
，
，
四边形HECD是矩形，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，

．
12．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【解析】
（1）连接OD，根据圆周角定理得∠AOD=2∠AED=90°，根据切线的性质得∠CDO=∠AOD=90°，根据平行的判定方法即可得出结论；
（2）根据圆周角定理可得∠B=∠ADE，由sin∠ADE= ，可得AB=13，然后利用解直角三角形的知识即可解得；
（3）作DG⊥BE，连接BD，先证明DE平分∠AEB，再结合角平分线的定义可得四边形DFEB为正方形，即可得DF=EF=EG，根据HL证明Rt△ADF≌Rt△BDG，可得AF=BG，从而根据线段间的和差关系即可得出结论．
(1)
解：连接，

∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
∵直线CD与圆O相切，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=∠AOD=90°，
∴ABCD；
(2)
解：∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠B=∠ADE，
∴sinB＝sin∠ADE＝，
∵AE的长度为12，
又∵sinB＝=，
∴AB=13，
∴⊙O的半径为；
(3)
证明：DG⊥EB，交EB的延长线于点G，连接 DB，

∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠AED=45°，
∴∠BED=∠AED=45°，
∴ED平分∠AEB，
∵DF⊥AE，DG⊥EB，
∴DF=DG，
∴四边形DFEG为正方形，
∴DF=EF=EG，
∵∠AOD=∠BOD=90°，OA=OB，
∴AD=BD，
∴Rt△ADF≌Rt△BDG（HL），
∴AF=BG，
∴AE+BE=EF+EG=2EF=2DF，
即有：．
13．(1)4；
(2)①不垂直；②
(3)或
【解析】
（1）根据矩形的性质和圆周角定理的推论即可确定当点E与点C重合时，点D开始落在半圆O上，进而求出t的值；根据勾股定理求出AC的长度，进而即可求出半圆O的半径．
（2）①取BE的中点为P，连接OP，OB，OC．根据线段中点的性质，线段的和差关系求出BP和CP的长度，根据三角形中位线定理，矩形的性质，角的和差关系求出OP的长度，并确定∠OPB=90°，∠OPE=90°，根据勾股定理求出 OB2和OC2，再根据勾股定理逆定理验证即可．
②设半圆O与AD的另一交点为M，过点O作ON⊥AM于N．根据直角三角形的边角关系和特殊角的三角函数值求出∠AEB，根据矩形的性质，平行线的性质求出∠OAM，根据矩形的性质，勾股定理，直径与半径的关系求出半圆O的半径，根据直角三角形的边角关系求出ON的长度，根据等边三角形的判定定理和性质，角的和差关系求出AM的长度和∠EOM，根据三角形面积公式求出△OAM的面积，根据扇形面积公式求出扇形OME的面积，最后将△OAM和扇形OME的面积相加即可求出半圆O与矩形ABCD重叠部分的面积．
（3）当半圆O与AD，BC分别相切时，连接AC，过点B作BF⊥AC于F．根据矩形的性质，勾股定理求出AC的长度，再根据三角形面积公式求解即可．当半圆O与CD相切时，连接FO并延长交AB于G，连接AC，过点E作EQ⊥AC于Q，设半圆O的半径为x，根据切线的性质定理，矩形的性质，平行线的性质求出∠OGA，根据平行线的判定定理，平行线分线段成比例定理求出AG的长度，在中根据勾股定理求出x的值，进而求出AE的长度，根据勾股定理和线段的和差关系求出CE的长度，再根据三角形面积公式求解即可．
(1)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°．
∵AE是半圆O的直径，
∴当A，D，E组成直角三角形时，且AE是斜边时，点D在半圆O上．
∴当点E与点C重合时，点D开始落在半圆O上．
∵AB=3，BC=4，点E的运动速度是每秒1个单位，
∴（秒），．
∵AE是半圆O的直径，
∴．
∴此时半圆O的半径为．
故答案为：4；．
(2)
解：①如下图所示，取BE的中点为P，连接OP，OB，OC．
∵秒，
∴．
∵点P是BE中点，
∴．
∵BC=4，
∴，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∵AE是半圆O的直径，
∴点O是AE中点．
∴OP是△ABE的中位线．
∴，．
∴∠OPE=∠ABC=90°．
∴∠OPB=180°-∠OPE=90°．
∵AB=3，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴OB与OC不垂直．

②如下图所示，设半圆O与AD的另一交点为M，过点O作ON⊥AM于N．
∵，AB=3，
∴．
∴∠AEB=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，∠ABC=90°．
∴∠OAM=∠AEB=60°，．
∴．
∵ON⊥AM，
∴．
∵OA=OM，
∴△OAM是等边三角形．
∴∠AOM=60°，．
∴，∠EOM=180°-∠AOM=120°．
∴．
∴半圆O与矩形重叠部分的面积为．

(3)
解：如图1所示，当t=0时，点E与点B重合，此时半圆O与BC相切于点B，与AD相切于点A，连接AC，过点B作BF⊥AC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∵AB=3，BC=4，
∴，．
∴．
∴此时点E到的距离是．
如图2所示，当半圆O与CD相切于点F时，连接FO并延长交AB于G，连接AC，过点E作EQ⊥AC于Q，设半圆O的半径为x．
∴OA=OE=OF=x．
∵AE是半圆O的直径，
∴．
∵半圆O与CD相切于点F，
∴∠OFC=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，∠ABE=∠BCD=90°．
∴∠OGA=∠OFC=90°，四边形BGFC是矩形．
∴，∠OGA=∠ABE，GF=BC．
∴．
∴．
∵AB=3，BC=4，
∴，GF=BC=4．
∴OG=GF-OF=4-x．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵AC=5，
∴．
∴此时点E到的距离是．
∴若半圆O与矩形的边相切时，点E到的距离是或．
             
                    图1                                                图2
14．(1)y=-x2-2x+3；
(2)点P的坐标是（-2，3）或（-1，4）；
(3)①点H的坐标是（-1，0）或（-9，0）；②2-≤MH≤2+．
【解析】
（1）先把点A（1，0），点B（-3，0）代入抛物线y=ax2-2x+c中列方程组，解方程组可得a和c的值，从而得抛物线的表达式；
（2）先根据待定系数法求BC的解析式为：y=x+3，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得，证明△OEH∽△OPG，得，可设E（3m，3m+3），则P（5m，-25m2-10m+3），代入比例式可得方程，解出即可得结论；
（3）①由对称得：N（-2，3），有两种情况：如图2，i）当BN∥CH1时，∠H1CB=∠NBC，根据平移的性质可得点H1的坐标；ii）当∠H2CB=∠NBC，设H2（n，0），直线CH2与BN交于点M，确定BN和CH2的解析式，利用方程组的解可得M的坐标（-），根据两点的距离公式利用BM=CM，列方程可得结论；②如图3，当Q在x轴下方时，且MH⊥x轴时，MH最小，作辅助线，构建矩形MFGH是，证明△BGQ≌△QFM（AAS），得GQ=GH=FM，可得△QHG是等腰直角三角形，由斜边为1可得QG=GH=，利用全等三角形的性质与线段和与差可得结论；同理如图4，当Q在x轴上方时，且MH⊥x轴时，MH最大，同理可得最大值MH的长，从而得结论．
(1)
把点A（1，0），点B（-3，0）代入抛物线y=ax2-2x+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3；
(2)
如图1，过P作PG⊥y轴于G，过E作EH⊥y轴于H，

当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
设BC的解析式为：y=kx+b，
则，解得，
∴BC的解析式为：y=x+3，
∵△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，且，
∴，
∵EH∥PG，
∴△OEH∽△OPG，
∴，   
∴设E（3m，3m+3），则P（5m，-25m2-10m+3），
∴，
整理，得：25m2+15m+2=0，
解得，
当时，5m=-2，则P（-2，3），
当时，5m=-1，则P（-1，4），
综上，点P的坐标是（-2，3）或（-1，4）；
(3)
①由对称得：N（-2，3），
∵∠HCB=∠NBC，

如图2，连接CN，有两种情况：
i）当BN∥CH1时，∠H1CB=∠NBC，
∵CN∥AB，
∴四边形CNBH1是平行四边形，
∴H1（-1，0）；
ii）当∠H2CB=∠NBC，
设H2（n，0），直线CH2与BN交于点M，
∴BM=CM，
∵B（-3，0），N（-2，3），
∴同理可得BN的解析式为：y=3x+9，
设CH2的解析式为：y=k1x+b1，
则，解得：，
∴设CH2的解析式为：，
∴，
∵BM=CM，
∴，
解得：n=-9或-1（舍），
∴H2（-9，0），
综上，点H的坐标是（-1，0）或（-9，0）；
②如图3，当Q在x轴下方时，且MH⊥x轴时，MH最小，过Q作QG⊥x轴，过M作MF⊥QG于F，则四边形MFGH是矩形，

∴FM=GH，FG=MH，
∵∠BQM=∠F=90°，
∴∠BQG+∠GQM=∠FMQ+∠GQM=90°，
∴∠BQG=∠FMQ，
∵BQ=QM，∠BGQ=∠F=90°，
∴△BGQ≌△QFM（AAS），
∴FM=GQ，BG=FQ，
∴GQ=FM=GH，
∵QH=1，
∴QG=GH=，
∴MH=FG=FQ-QG=BG-GH=2--=2-；
如图4，当Q在x轴上方时，且MH⊥x轴时，MH最大，过Q作QG⊥x轴，作QF⊥MH于F，则四边形QFHG是矩形，

∴FQ=GH，GQ=FH，
同理得△BGQ≌△MFQ（AAS），
∴QG=FQ=GH，BG=MF，
∵QH=1，
∴QG=GH=，
∴MH=FM+FH=BG+GH=2++=2+；
∴MH的取值范围是2-≤MH≤2+．
15．(1)，，
(2)，
(3)①；②
【解析】
1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2＋24x＋18，即可求解；
（2）由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax＋4a−6，进而求出点E（，0），利用tan∠AED＝，即可求解；
（3）①证明△FJH∽△ECO，故，则 ，即可求解；
②（），即可求解．
(1)
当时，
当时，，解得或
则点A的坐标为
当时，则点C的坐标为
将化成顶点式为
则点D的坐标为
故答案为：，，；
(2)
如图，作轴于点

将化成顶点式为
则顶点D的坐标为，
∴，
在中，，即
解得，
∴
在中，，即，
解得，
∴

将点代入得：，
解得；
(3)
①如图，作与的延长线交于点
由（2）可知，，，
∴
当时，，解得或，
∴，
为OC的中点，
∴
设直线AN的解析式为
将点，代入得：，解得
则直线AN的解析式为
∵，
∴
∴
由（2）知，，
∴，
设直线CE的解析式为
将点，代入得：，解得
则直线CE的解析式为
∴
∴
∵，轴
∴，
∴
∴，即
解得
∴
即；
②将化成顶点式为
由二次函数的性质可知：
则当时，取得最大值，最大值为．

16．（1）；（2）；（3）存在点E，点E的坐标为(2，0)或(3，0) 或(，0)
【解析】
（1）根据题意可设该抛物线的解析式为：（a≠0）．然后将点A的坐标代入求值即可；
（2）由已知易得OE的长，且BE⊥OC，则可求得△BCE的面积；由抛物线对称性及已知可证明△BEF∽△BCE，由面积比等于相似比的平方，则易求△ECF的面积；
（3）需要分类讨论：当BE=BF、EB=EF和FB=FE时，分别求点E的坐标即可．
试题解析：
（1）设抛物线解析式为，
把A（3，4）代入得：   
∴
∴抛物线解析式为，即
（2）∵AB∥x轴
∴四边形OABC关于抛物线对称轴直线x=4对称
∴∠AOC=∠BCO，B（5，4）

∴AB=2
由勾股定理得：
∵四边形OABE的面积为
解得：OE=5，即E(5，0)
∴BE⊥OC
∴CE=3，BE=4
∴
∵∠BEF=∠AOC=∠BCO, ∠EBF=∠CBE
∴△BEF∽△BCE
∴
即
∴     
(3)存在点E使得△BEF为等腰三角形
①当BE=BF时，则∠BEF=∠BFE
∵∠BEF=∠ACO=∠BCO
∴∠BFE=∠BCE
∴EF与EC重合
∴∠BEC=∠BEF=∠AOC
∴OA∥BE
∵AB∥x轴
∴四边形AOEB是平行四边形
∴OE=AB=2
∴E(2，0)          
②当EB=EF时，则∠EBF=∠EFB
∵△BEF∽△BCE
∴∠BEC=∠BFE
∴∠BEC=∠EBF
∴EC=BC=5
∴OE=OC-EC=8-5=3
∴E(3，0)     
③当FB=FE时，则∠FBE=∠FEB
∴∠BCO=∠FEB=∠FBE
∴BE=EC，即点E在BC的垂直平分线上
过E作EM⊥BC，垂足为M；过A作AN⊥OC，垂足为N，如图

则CM=，ON=3，OA=5
∵∠AON=∠ECM，∠ANO=∠EMC=90°
∴△AON∽△ECM
∴ 即
∴EC=
∴OE=OC-EC=
∴E(，0)
∴综上所述，存在点E，点E的坐标为(2，0)或(3，0) 或(，0)
17．(1)
(2)；最大值为
(3)，
【解析】
（1）根据待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据当最大时，的面积最大，连接，，，设，求得的面积的表达式，根据二次函数的性质即可求解．
（3）连接，以为腰向下作等腰直角三角形，，过分别作轴的垂线，垂足分别为，以的中点为圆心，为半径，作，交轴与点，根据等腰直角三角形的性质与圆周角定理可得点即为所求，证明，可得的坐标，根据中点坐标公式求得的坐标，进而根据勾股定理求得的半径，根据是轴与的交点，设，则，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
(1)
解：已知抛物线经过点，，
将点，，代入得，

解得
抛物线解析式为
(2)
当最大时，的面积最大，连接，，，

设



当时的面积最大值是8，
将代入得，
∴

∵，
∴的最大值是.；
(3)
连接，以为腰向下作等腰直角三角形，，过分别作轴的垂线，垂足分别为，以的中点为圆心，为半径，作，交轴与点，如图，

是等腰直角三角形，
则，，
即，
，则点即为所求，
轴，轴，
，
又，
，
，   
又，
，
，
，
，
，
，
，
，即，   
的半径为，
设，则，
，
解得，．
综上所述的横坐标为：，．
18．(1)
(2)，最大值为56
(3)存在，，，
【解析】
（1）利用待定系数法求出函数解析式；
（2）首先求出直线BC的函数解析式，过点作轴，交轴于点，交于点，设点P的横坐标为t，表示PF的长，然后利用S=S四边形PBOC−S△AOC列出函数解析式，得出结果；
（3）分MN=ME、NM=NE、EM=EN三种情况，根据相似三角形列出比例式求解．
(1)
解：分别把A(−2,0)和点B(8,0)代入函数解析式，得
，
解得
∴；
(2)
当时，，
∴，
∴直线的解析式为：.
过点作轴，交轴于点，交于点，
设，则，
则，
，


，

，
当时，，
当时，，
∴；

(3)
，，，
∴是等腰直角三角形.
抛物线的对称轴为，
∴点的横坐标是3，又点在直线上，
∴.
设，.
①当，时，
，
则，
解得：或（舍去），
∴.

②当，时，
，
则，
解得：或（舍去），
∴.

③当，时，
，
此时的点与点关于②的结果对称，
，
，
∴.

故在射线上存在点，点的坐标为：，，.