解答题中圆的计算和应用题信息必刷卷--2022年初中数学中考备考冲刺

这是一份解答题中圆的计算和应用题信息必刷卷--2022年初中数学中考备考冲刺，共27页。试卷主要包含了八方支援，同心抗疫等内容，欢迎下载使用。
解答题中圆的计算和应用题信息必刷卷
1．如图，为的直径，点在上，连接，，过点的切线与的延长线交于点，，与交于点．

(1)证明：；
(2)当的半径为，时，求的长．
2．五一节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，商店拟用1000元购进这两种风扇（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
3．如图，为的直径，为弧中点，于点，交于点，交于点，

(1)求证：；
(2)求证：．
4．冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市，非常畅销，小许选两款玩偶各50个，决定在网店进行销售．售后统计，一个冰墩墩玩偶利润为30元/个，一个雪容融玩偶利润为5元/个，调研发现：冰墩墩的数量在50个的基础上每增加3个，平均每个利润减少1元；而雪容融的利润始终不变；小许计划第二次购进两种玩偶共100个进行售卖．设冰墩墩的数量比第一次增加个，第二次冰墩墩售完后的利润为元．
(1)用含的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润；
(2)如何安排购买方案，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？
5．八方支援，同心抗疫．某地农产品物流区计划运输一批货物支援抗疫一线，运输公司有、两种货车，1辆货车与2辆货车一次可以运货50吨，3辆货车与4辆货车一次可以运货120吨．
(1)请问1辆货车和1辆货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排、两种货车将全部货物一次运完（、两种货车均满载），其中每辆货车一次运货花费500元，每辆货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
6．如图，圆中两条互相垂直的弦，交于点．

(1)求证：；
(2)若点是的中点，圆的半径长，，求的长；
(3)点在上，且，求证：．
7．如图，AB是的直径，直线BM经过点B，连接AC、BC，满足．

(1)求证：直线BM是的切线；
(2)过上一动点C作交OA于点D，过点O作交直线BM于点E，连接AE交CD于点F．
①求证：；
②若，求DF的长．
8．五一劳动节，我市为了丰富人民生活，计划用两种花卉对市中心广场进行美化．已知用6万元购买A种花卉与用9万元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多元．
(1)A，B两种花卉每盆各多少元?
(2)计划购买A，B两种花卉共6万盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点 E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若CF=2，tanB=，求⊙O的半径．

10．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现销售量y（件）与售价（元/件）（为正整数）之间满足一次函数关系：
（元/件）
4
5
6
（件）
10000
9500
9000
（1）求与的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及此时的销售单价分别为多少元？
11．开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本，已知一本B种笔记本比一本A种笔记本多3元，且用60元购买的A种笔记本与用75元购买的B种笔记本数量相同．
(1)购进的A、B两种笔记本每本分别多少元？
(2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．若购进的B种笔记本的数量是A种笔记本数量的2倍，当两种笔记本全部售出，并且总利润不少于4200元时，请问至少购进A种笔记本多少本？
12．为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶，15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
13．如图，AB为的直径，C为上一点，的切线BD交OC的延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若，．求CD的长．

14．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上异于A，B的两点，连接CD．过点D作DB⊥CF，垂足为点E，直线AB与CE相交于F点．

(1)若∠ABD=2∠BAC，求证：CF为⊙O的切线；
(2)若⊙O半径为，tan∠BDC=，求AC的长．
15．2022北京冬奥会各类机器人大显神通，为了共享绿色生活，倡导对垃圾进行归类．某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和3台B型机器人同时工作3小时共分拣垃圾4.2吨，3台A型机器人和4台B型机器人同时工作5小时共分拣垃圾10吨．
(1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨?
(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台（10≤a≤45），B型机器人b台，请用含a的代数式表示b；
(3)机器人公司的报价如下表：


型号
原价
购买数量少于20台
购买数量不少于20台
A型
20万元/台
原价购买
打九折
B型
12万元/台
原价购买
打八折
在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．
16．如图，在中，，AD是的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的经过点D．

(1)求证：BC是切线；
(2)若，求AC的长．
17．如图，已知AB是的直径，CB是的弦，D是的中点，连接AC，AD，CD，E是AB延长线上一点，且．

(1)判断DE与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求AC长．
18．“水都数学建模”兴趣小组对某超市一种热卖的商品做了市场调查，发现该商品的进价为每件30元，开始到3月底的一段时间，超市以每件40元售出，每天可以卖出120件．从4月1日开始，该商品每天比前一天涨价1元，销售量每天比前一天减少2件；从5月1日起到5月30日当天，该商品价格一直稳定在每件70元，销售量一直持续每天比前一天减少2件，设从4月1日起的第x天的销售量为y元，销售该商品的每天利润为w元．
(1)第天的销售价为每件_______元，这段时间每天的销售量y（元）与x（天）的函数关系式为__________；
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于2000元？
19．小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：
信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；
信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：
生产甲产品数（件）
生产乙产品数（件）
所用时间（分钟）
10
10
350
30
20
850
信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．
信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；
（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？
20．如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．

(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若，⊙O的半径为3，求EF的长．

1．(1)证明见解析
(2)
【解析】
（1）如图，连接，利用切线的性质可推出，利用圆周角定理可推出，从而得到，再根据和，通过等量代换即可得证；
（2）由（1）知，，在中，利用正弦的定义计算出，再利用三角形中位线性质得到，接着在中利用正弦定义计算出，然后计算与的差即可．
(1)
证明：如图，连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．



(2)
解：由（1）知：，
∵，的半径为，
∵在中，，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．

2．（1）A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；（2）为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．
【解析】
（1）设A种品牌电风扇每台进价元，B种品牌电风扇每台进价元，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可．
（2）设购进A品牌电风扇台，B品牌电风扇台，根据题意可列等式，由a和b都为整数即可求出a和b的值的几种可能，然后分别算出每一种情况的利润进行比较即可．
（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
由题意得：，
解得：，
答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；
（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，
由题意得：100a+150b＝1000，
其正整数解为：或或，
当a＝1，b＝6时，利润＝80×1+100×6＝680（元），
当a＝4，b＝4时，利润＝80×4+100×4＝720（元），
当a＝7，b＝2时，利润＝80×7+100×2＝760（元），
∵680＜720＜760，
∴当a＝7，b＝2时，利润最大，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．
3．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
（1）先证明∠BAD=∠CBD，再由直径所对的圆周角是直角可得∠DGB+∠DBG=90°，再由DE⊥AB，推出∠BAD+∠ADE=90°，即可证明∠ADE=∠BGD，则GF=DF；
（2）证明△ABD∽△DBE，得到，证明△ADB∽△BDG，得到，即可证明结论．
(1)
解：∵D是弧BC的中点，
∴，.
∴∠BAD=∠CBD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DGB+∠DBG=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠BAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BGD，即∠FGD=∠FDG，
∴GF=DF；
(2)
解：∵∠ADB=∠DEB=90°，
∴∠A+∠ABD=∠EDB+∠EBD=90°，
∴∠A=∠EDB，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴，
∵∠ADB=∠BDG=90°，∠BAD=∠GBD，
∴△ADB∽△BDG，
∴，
∴，
∴．

4．(1)
(2)购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是1802元
【解析】
（1）由题意第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少元，根据利润=一个利润×数量，即可求得第二次冰墩墩售完后的的利润；
（2）由题意知，第二次购买雪容融的数量为个，根据两种玩偶销售利润的和得关于x的函数式，然后求最大值即可．
(1)
由题意，第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少元，则第二次冰墩墩售完后的的利润；
整理得：．
(2)
第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，第二次购买雪容融的数量为个，
∴第二次售卖两种玩偶的销售利润
,
∴,
由题意知，x为正整数，所以当x=12或13时，w最大，最大值为1802；
当x=12时，50+x=62，50-x=38；当x=13时，50+x=63，50-x=37；
即购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是1802元．
5．(1)1辆货车一次可以运货20吨，1辆货车一次可以运货15吨；
(2)①货车2辆，货车10辆；②货车5辆，货车6辆；③货车8辆，货车2辆；随的增大而减小，费用越少，越大，故方案③费用最少
【解析】
（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨，根据1辆货车与2辆货车一次可以运货50吨，3辆货车与4辆货车一次可以运货120吨列出方程组解答即可；
（2）设A货车运输m吨，则B货车运输（190−m）吨，设总费用为w元，列出w的一次函数表达式，化简得w随m的增大而减小；根据A、B两种货车均满载，得，都是整数，分类列举得到符合题意的方案，最后根据费用越少，m越大得到费用最少的方案．
(1)
解：设1辆货车一次可以运货吨，1辆货车一次可以运货吨，
根据题意得：，
解得，
答：1辆货车一次可以运货20吨，1辆货车一次可以运货15吨；
(2)
解：设货车运输吨，则货车运输吨，设总费用为元，
则：
，
∵，
∴随的增大而减小．
∵、两种货车均满载，
∴，都是整数，
当时，不是整数；当时，；
当时，不是整数；当时，不是整数；
当时，；当时，不是整数；
当时，不是整数；当时，；
当时，不是整数；
故符合题意的运输方案有三种：
①货车2辆，货车10辆；
②货车5辆，货车6辆；
③货车8辆，货车2辆；
∵随的增大而减小，
∴费用越少，越大，
故方案③费用最少．
6．(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析
【解析】
(1)连接AC，证明即可．
(2)连接OC，运用垂径定理和勾股定理计算即可．
(3) 延长交于，证明即可．
(1)
连接．
∵，，
∴，
∴，
∴．

(2)
如上图，连接．
∵是的中点，
∴，
∵，
∴．
在中，
∴．
(3)
证明：如上图，延长交于，
∵，，   
∴．
又∵，
∴，
∵，为弧所对的圆周角．
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
7．(1)见解析；
(2)①见解析；②．
【解析】
（1）由直径所对的圆周角是直角可得，又，由此可得，即，由此可证为的切线；
（2）①由平行线的性质可得，又，由此即可得证；②设的半径为，先证，可得，由可得，两式联立，即可解得的长．
(1)
解：是的直径，
，
，
又，
，
即，
又是的直径，
直线是的切线．
(2)
解：①，
，
又，
．
②设的半径为．
，，
，
，即①．
，
，即②．
联立①②，解得．
8．(1)A种花卉每盆1元，则B种花卉每盆1.5元
(2)购买A种花卉15000盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是82500元
【解析】
（1）设A种花卉每盆元，则B种花卉每盆元，根据“用6万元购买A种花卉与用9万元购买B种花卉的数量相等”列分式方程，求解检验即可；
（2）设购买A种花卉盆，总费用为元，则购买B种花卉盆，根据两种花卉的费用之和列出函数解析式，再根据m的范围和一次函数的性质求解即可．
(1)
解：设A种花卉每盆元，则B种花卉每盆元，
由题意得，，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：A种花卉每盆1元，则B种花卉每盆1.5元．
(2)
设购买A种花卉盆，总费用为元，则购买B种花卉盆，
由题意得，，
，
解得，
是的一次函数，，
随的增大而减小，
当时，最小，
，
所以，购买A种花卉15000盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是82500元．
9．（1）证明见解析；（2）5.
【详解】
（1）证明：连接OE，
∵AC与圆O相切，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵O为DB的中点，
∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，
∴OE=BF，
又∵OE=BD，
则BF=BD；
（2）解：设BC=3x，根据题意得：AC=4x，AB=5x
又∵CF=2，
∴BF=3x+2，
由（1）得：BD=BF，
∴BD=3x+1，
∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=5x﹣=，
∵OE∥BF，
∴∠AOE=∠B，
∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，
解得：x=，
则圆O的半径为=5．

10．（1）；（2）一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价分别为12元
【详解】
解：（1）设和的函数表达式为，
则，
解得，
故和的函数表达式为；．
（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为元，
由题意得：，
解得，
这一周该商场销售这种商品获得利润：，
∴，
∵，
故时，有最大值为54000，
答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价为12元．
11．(1)购进的A、B两种笔记本每本分别12元，15元
(2)至少购进A种笔记本150本
【解析】
（1）设购进的A种笔记本每本x元，则B种笔记本每本元,由题意列出方程，解方程即可；
（2）设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本，列出一元一次不等式，解不等式即可．
(1)
解：设购进的A种笔记本每本x元，则B种笔记本每本元,
∴，
解得，，
经检验，是原分式方程的解；
元，
∴购进的A、B两种笔记本每本分别12元，15元．
(2)
设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本，
∴，
∴
∴至少购进A种笔记本150本．
12．（1）甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；（2）甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．
【详解】
解：（1）设甲种消毒液每桶的单价为x元，乙种消毒液每桶的单价为（x-6）元，
依题意，得： ，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合实际意义，则x-6=24．
答：甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据题意得到不等式：
m≥(300-m)，解得：m≥75，
∴75≤m≤300，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(300-m)=5m+4500，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=75时，W有最小值，
∴W=5×75+4500=4875元
∴甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．
13．（1）见解析；（2）CD＝
【详解】
（1）证明：∵DB是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠OBD＝∠OBC＋∠DBC＝90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°．
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB．
∴∠DBC＝∠OCA；
（2）解：在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，AC＝2，
设，则，
∴，
解得：，
则，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∴∠D＝90°−∠COB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°．
∴∠DBC＝∠OCA＝30°，
∴∠D＝∠DBC．
∴CB＝CD．
∴CD＝．
14．(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：如下图所示，连接OC．

∵DB⊥CF，
∴∠DEF=90°．
∵∠BAC和∠BOC分别是所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC．
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠BOC=∠ABD．
∴．
∴∠OCF=∠DEF=90°．
∵OC是半径，
∴CF为⊙O的切线．
(2)
解：如下图所示，连接BC．

∵AB为⊙O的直径，⊙O半径为，
∴∠ACB=90°，．
∴．
∵∠BAC和∠BDC都是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠BDC．
∵，
∴．
设AC=x，则．
∴．
解得，（舍）．
∴．
15．(1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨；
(2)b＝100﹣2a（10≤a≤45）；
(3)选购A型号机器人40台，B型号机器人20台时，总费用w最少，此时需要912万元．理由见解析．
【解析】
（1）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，根据题意列出方程组即可求出答案．
（2）根据题意列出方程，方程变形后即可求出答案．
（3）根据a的取值，求出w与a的函数关系，从而求出w的最小值．
(1)
解：设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，
由题意可知：，
解得：，
答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨．
(2)
解：由题意可知：0.4a+0.2b＝20，
∴b＝100﹣2a（10≤a≤45）．
(3)
解：当10≤a＜20时，
此时60＜b≤80，
∴w＝20×a+0.8×12（100﹣2a）＝0.8a+960，
∵0.8＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝10时，此时w有最小值，w＝968，
当20≤a≤40时，
此时20≤b≤60，
∴w＝0.9×20a+0.8×12（100﹣2a）＝﹣1.2a+960，
∵﹣1.2＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝40时，此时w有最小值，w＝912，
当40＜a≤45时，
此时10≤b＜20，
∴w＝0.9×20a+12（100﹣2a）＝﹣6a+1200，
∵﹣6＜0，
∴w随a的增大而减小，
当a＝45时，此时w有最小值，此时w＝930，
答：选购A型号机器人40台时，总费用w最少，此时需要912万元．
16．(1)见解析
(2)6
【解析】
（1）要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可．
（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长．
(1)
连接OD；


∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠3．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∴OD⊥BC．
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O切线．
(2)
过点D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分线，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得：
∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC．
∴．
∴．
∴AC=6．
17．(1)是的切线；理由见解析
(2)
【解析】
（1）根据题目条件证得，根据圆周角定理得，由于，故，进而证得，于是,即可证明为的切线；
（2）由题可知，在中，，设,则,继而可求,,利用勾股定理得到，利用解得，,根据为直径得到 ,根据，即可求出。
(1)
证明：连接 ，
是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
为的半径，
是的切线；

(2)
解：，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
,，   
， ，
为的直径，
，
，
，
，
即，
．
18．(1)（x+40）；
(2)销售该商品第25天时，当天销售利润最大，最大利润是240元；
(3)该商品在销售过程中，共有26天每天销售利润不低于2000元；
【解析】
（1）先直接写出第天的销售价，再依据每天销售量=每一件的售价×每天的销售件数列函数关系式即可；
（2）列出两个函数关系式，再根据函数性质结合自变量的取值范围求出最大值，比较大小可得；
（3）分别求出在上述两种情况中利润W≥2000时x的范围，两个范围相结合即可得．
(1)
第天的销售价为每件（x+40）元
由题意可知：第x天每天销售（120-2x）件，
∴这段时间每天的销售量y（元）与x（天）的函数关系式为；
故答案为：（x+40）；；
(2)
设销售利润为W元，
4月份时，，
∵-2＜0，开口向下
∴当x=时，W有最大值，W最大值=，
5月份时，，
∵-80＜0，W随x的增大而减小，
∴当x=31时，W有最大值，W最大值=，
∵2320＜2450，
∴销售该商品第25天时，当天销售利润最大，最大利润是240元；
(3)
由（2）知，当1≤x≤30时，令，
解得：，
根据二次函数图像性质，当10≤x≤30时，W≥2000，
当31≤x≤61时，令，
解得：x=35，
根据一次函数图像性质，当31≤x≤35时，W≥2000，
∴10≤x≤35，
∴35-10+1=26，
∴该商品在销售过程中，共有26天每天销售利润不低于2000元；
19．（1）生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分；（2）小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．
【详解】
（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．
由题意得：，
解这个方程组得：，
答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．
（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60-x）分．
则生产甲种产品件，生产乙种产品件．
∴w总额=1.5×+2.8×=0.1x+×2.8=0.1x+1680-0.14x=-0.04x+1680，
又≥60，得x≥900，
由一次函数的增减性，当x=900时w取得最大值，此时w=0.04×900+1680=1644（元），
则小王该月收入最多是1644+1900=3544（元），
此时甲有=60（件），
乙有：=555（件），
答：小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．
20．(1)见解析
(2)
【解析】
（1）连接OD，证明∠ODC=∠OCD，根据CD平分∠OCB，得到∠OCD=∠DCE，推出∠ODC=∠DCE，得到OD∥CE，根据CE⊥DF，推出OD⊥DF，得到DF是⊙O的切线；
（2）根据AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，根据⊙O的半径为3，得到AB=6，根据，得到AD=2BD，根据，得到，，根据∠ADB=∠ODF=90°，得到∠ADO=∠BDE，推出∠BAD=∠BDE，根据∠ADB=∠DEB=90°，推出△ABD∽△DBE，得到，，推出，，根据OD∥CE，推出△FOD∽△FBE，得到，推出．
(1)
连接OD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵CD平分∠OCB，
∴∠OCD=∠DCE，
∴∠ODC=∠DCE，
∴OD∥CE，
∵CE⊥DF，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

(2)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵⊙O的半径为3，
∴AB=6，
∵，
∴AD=2BD，
∵，
∴，
∴，，
∵∠ADB=∠ODF=90°，
∴∠ADO=∠BDE，
∴∠BAD=∠BDE，
∵∠ADB=∠DEB=90°，
∴△ABD∽△DBE，
∴，，
∴，，
∵OD∥CE，
∴△FOD∽△FBE，
∴，
∴，
∴．