2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二下学期4月月考数学（文）试题（解析版）

这是一份2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二下学期4月月考数学（文）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二下学期4月月考数学（文）试题
一、单选题
1．如果复数（其中为虚数单位，）为纯虚数，则
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】，由题意，解得，故选D．
2．已知样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所示，则标准差最大的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据数据波动幅度最大的标准差最大，可观察数据得到结果.
【详解】选项中，样本数据都为，数据没有波动幅度；选项中，样本数据为；
选项中，样本数据为；选项中，样本数据为
中数据波动幅度最大，故标准差最大的是
故选：
【点睛】本题考查根据数据判断标准差大小的问题，关键是明确标准差的大小反映数据波动情况，数据波动幅度越大，标准差越大.
3．在用最小二乘法进行线性回归分析时，有下列说法：①由样本，，…，得到回归直线，可能该样本中的样本点都不在回归直线上；②残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越高；③利用来刻画回归的效果，比的模型回归效果好.以上说法正确的（       ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】回归直线必过样本中心，但样本点未必都在该直线，故①正确，再根据相关指数的意义和残差图的应用可得②③正确与否.
【详解】对于①，回归直线必过样本中心点，但样本点未必都在该直线，故①正确.
相关指数越大，说明拟合效果越好，故③正确.
残差图中，宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故②正确.
故选：D.
【点睛】本题考查线性回归的理解，注意相关系数、相关指数的大小对拟合效果的影响，本题属于概念题，较为基础.
4．阅读如图的程序框图，若输入的分别是，则输出的分别是

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由流程图知，赋给赋给，所以的值赋给，即输出为，的值赋给，即输出为，的值赋给，即输出为，故输出的值为，故选B.
【解析】程序框图.
【点睛】本题主要考查程序框图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
   
A．100，40 B．100，20 C．200，40 D．200，20
【答案】D
【分析】首先根据扇形统计图中的数据求出学生总数，接下来结合已知求出样本容量，根据上述所求进一步求出抽取的高中学生人数，然后结合图乙进行解答即可.
【详解】由图甲可知，学生总数为（人），
故抽取的样本容量为（人），
其中抽取的高中学生有（人）；
由图乙可知，高中生近视率为，
∴抽取的高中生近视人数为（人）.
故选：D..
【点睛】本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用，解答本题的关键是能从图中获取关键信息，接下来结合已知中的数据进行解答即可，属于常考题.
6．2012年，在“杂交水稻之父”袁隆平的实验田内种植了，两个品种的水稻，为了筛选出更优的品种，在，两个品种的实验田中分别抽取7块实验田，如图所示的茎叶图记录了这14块实验田的亩产量（单位：），通过茎叶图比较两个品种的均值及方差，并从中挑选一个品种进行以后的推广，有如下结论：①品种水稻的平均产量高于品种水稻，推广品种水稻；②品种水稻的平均产量高于品种水稻，推广品种水稻；③品种水稻比品种水稻产量更稳定，推广品种水稻；④品种水稻比品种水稻产量更稳定，推广品种水稻；其中正确结论的编号为

A．①② B．①③ C．②④ D．①④
【答案】D
【解析】由茎叶图中的数据判断A，B两品种数据的平均水平及波动水平即可.
【详解】∵对品种，由茎叶图中的叶多数分布在90到100，而品种茎叶图中的叶多数分布在70到89，可知品种水稻的平均产量高于品种水稻，
由茎叶图中的数据可知，品种都集中在84附近，而品种比较分散，
∵根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得，
故选：D.
【点睛】本题考查了由茎叶图的数据判断均值及方差，考查了学生综合分析，数据处理，数学运算能力，属于基础题.
7．凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，则凸十二边形的对角线条数为（       ）
A．44 B．54 C．65 D．77
【答案】B
【分析】求出凸六边形、七边形的对角线条数，即可通过观察推理出凸十二边形的对角线条数.
【详解】通过列表归纳可得
凸多边形
4
5
6
7
…
12
对角线
2



…


故凸十二边形的对角线条数为.
故选：B
【点睛】本题考查数与式中的逻辑推理，属于基础题.
8．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．？ B．？ C．？ D．？
【答案】A
【解析】根据流程图逐次计算可得判断框中的条件.
【详解】第一次判断前，，第二次判断前，，
第三次判断前，，第四次判断前，，
第五次判断前，，
此时终止循环，故填“？”
故选：A．
9．在区间上随机取一个数，则的值介于到1的概率为 （       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得在区间的解集，结合长度比的几何概型，即可求解.
【详解】根据题意，在区间上，由，解得，
则的值介于到1的概率，
故选：C.
10．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的面积，列出面积公式，求的近似值.
【详解】圆的周角为，，所以当等腰三角形的顶角为时，共割了60个等腰三角形，设圆的半径为，则由题意可知，解得：，
所以的近似值是.
故选：A
11．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为，则（     ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据频率分布直方图读出众数a，计算中位数b，平均数c，再比较大小.
【详解】由频率分布直方图可知：众数；
中位数应落在70-80区间内，则有：，解得：；
平均数
                 
             =4.5+8.25+9.75+22.5+21.25+4.75=71
所以
故选：B
【点睛】从频率分布直方图可以估计出的几个数据：
(1)众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；
(2)平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；
(3)中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
12．某校高三年级有男生人，学号为，，，；女生人，学号为，，，.对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这名学生中抽取5人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为）；再从这5名学生中随机抽取人进行数据分析，则这人中既有男生又有女生的概率是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分析出所抽取的5人中男生3人，女生2人，利用组合求概率即可.
【详解】由题意，采用系统抽样的方法，抽出的号码为030，170，310，450，590，其中号码为030，170，310的是男生，号码为450，590的是女生.
这人中既有男生又有女生的概率是.
故选：A
二、填空题
13．i是虚数单位，则为________.
【答案】
【分析】先利用复数的除法运算化简，然后利用模的公式计算.
【详解】,,
故答案为：
【点睛】本题考查复数的除法运算和模的计算，利用复数的除法运算化简是关键，注意分子分母同乘以分母的共轭复数，并利用复数的乘法运算法则化简.
14．天气预报说，未来三天每天下雨的概率均为，小明设计了模拟实验的方法来估计未来三天的天气情况，用0，1，2，3，4，5表示下雨，用6，7，8，9表示不下雨．利用随机数表产生了如下的40组数据．根据这些数据，用频率估计概率的方法估计未来三天中恰有两天下雨的概率为___________．
557   430   774   044   227   884   260   433   460   952
280   797   065   774   572   565   765   929   976   860
719   138   675   413   581   824   761   554   559   552
274   237   865   348   559   064   729   657   693   610
【答案】
【解析】从组数据中找出事件“未来三天中恰有两天下雨”代表的数据，利用古典概型的概率公式求得结果.
【详解】事件“未来三天中恰有两天下雨”代表的数据有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共组，
因此，用频率估计概率的方法估计未来三天中恰有两天下雨的概率为.
故答案为：.
15．“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，设球冠底的半径为，球冠的高为，则球的半径______________．

【答案】
【分析】作出图形，可知球心到截面圆的距离为，利用勾股定理列等式可求得.
【详解】如下图所示：


球心到截面圆的距离为，由勾股定理可得，化简得，
解得.
故答案为：.
16．甲每次解答一道几何体所用的时间在5至7分钟，乙每次解答一道几何体所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何体，则乙比甲先解答完的概率为__________．
【答案】
【分析】【详解】
由题意可设甲、乙解一道几何题所用时间分别为，由题设可知，“乙比甲先解答完”即是．画出不等式组表示的区域如图，则问题转化为几何概型的计算问题．结合图像可知 ，则事件“乙比甲先解答完的概率”是，
应填答案．
点睛：
解答本题的关键是将其转化为所学的数学模型，求解时先依据题设将其转化与化归为线性规划的前提下，几何概型背景的几何概型的概率的计算问题．解答思路是先画出不等式组表示区域，分别计算出，再运用几何概型的概率计算公式求出其概率，使得问题获解．
三、解答题
17．为了了解某工厂生产的产品情况，从工厂一个月生产的产品中随机抽取了一个容量为200的样本，测最它们的尺寸（单位：mm），将数据分为，七组，其频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中x的值；
（2）记产品尺寸在内为A等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损3元；其余的为合格品，每件可获利4元，若该工厂一个月共生产2000件产品，以样本的频率代替总体在各组的频率，求该工厂生产的产品一个月所获得的利润.
【答案】（1）0.12；（2）8960元.
【解析】（1）根据总频率为1列方程求解即可；
（2）分别求出每类产品的数量，再结合获利单价计算总利润即可.
【详解】解：（1）因为
解得，
的值为0.12.
（2）由题意可得，这批产品中优等品有件，
这批产品中不合格品有件，
这批产品中合格品有件
元.
所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为8960元
【点睛】关键点点晴：在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，因此可建立等量关系.
18．某房地产公司新建小区有A、B两种户型住宅，其中A户型住宅每套面积为100平方米，B户型住宅每套面积为80平方米，该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，表是这24套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元平方米）：
房号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A户型
2.6
2.7
2.8
2.8
2.9
3.2
2.9
3.1
3.4
3.3
3.4
3.5
B户型
3.6
3.7
3.7
3.9
3.8
3.9
4.2
4.1
4.1
4.2
4.3
4.5

（1）根据表格数据，完成下列茎叶图，并分别求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；
A户型

B户型

2.


3.


4.


（2）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会，小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格，为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？
【答案】（1）茎叶图见解析. 户型销售价格的中位数是,户型销售价格的中位数是 (2) 小明应该选择户型抽签.
【分析】（1）由表格数据，能作出茎叶图，并能求出类户型住宅每平方米销售价格的中位数．
（2）若选择户型抽签，求出成功购房的概率；若选择户型抽签，求出成功购房的概率．由此得到该员工选择购买户型住房的概率较大．
【详解】(1)由表格数据，作出茎叶图：

户型销售价格的中位数是
户型销售价格的中位数是
(2)小明购买能力最多为320万元.
若选择户型抽签，则每平方米均价不得高于3.2万元，
有能力购买其中的8套住房，
∴成功购房的概率是
若选择户型抽签，每平方米均价不得高于4.0万元，有能力购买其中的6套住房，
成功购房的概率是
所以小明选择购买户型成功的概率更大. 他应该选择户型抽签.
【点睛】本题考查茎叶图的作法，考查中位数、概率的求法，解题时要认真审题，注意数据分析处理及运算求解能力的培养．属于基础题
19．在极坐标系中，已知在直线：上，点在圆：上（其中，）.
（1）求；
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接把，点坐标代入相应表达式可得，，由可得，利用勾股定理即可得；
（2）联立方程组可直接求出公共点坐标.
【详解】（1）∵在直线：上，∴，解得，
∵点在圆：上，∴，解得，
∵，∴，∴；
（2）由直线与圆的方程联立得，得，故，
，，
∴，∴，∴，
∴公共点的极坐标为.
【点晴】
此题考极坐标的应用，关键是弄清楚极坐标两个坐标的几何意义.
20．互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业（以下外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如下表：

1日
2日
3日
4日
5日
外卖甲日接单x（百单）
5
2
9
8
11
外卖乙日接单y（百单）
2
3
10
5
15

（1）试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；
（2）据统计表明，y与x之间具有线性关系.
①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断；（若，则可认为y与x有较强的线性相关关系（r值精确到0.001））
②经计算求得y与x之间的回归方程为，假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围.（x值精确到0.01）
相关公式：，
参考数据：.
【答案】（1）外卖甲平均日接单与乙相同﹐但外卖甲日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好.（2）①可认为y与x之间有较强的线性相关关系；②外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6006元.
【分析】（1）求得甲乙两个企业的平均值,再根据数据的集中情况综合比较即可.
（2）根据参考公式和数据,代入计算得,即可判断相关性的强弱;根据乙外卖的接单量,可先求得甲外卖的日接单量的最小值.根据利润即接单量即可求得日纯利润的范围.
【详解】（1）由题可知,（百单）,
（百单）
外卖甲的日接单量的方差为,
外卖乙的日接单量的方差,
因为,,即外卖甲平均日接单与乙相同,但外卖甲日接单量更集中一些,所以外卖甲比外卖乙经营状况更好.
（2）①因为
由：
代入计算可得,相关系数
所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系；
②令,得
解得,
又,
所以当外卖乙日接单量不低于25百单时,外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6006元.
【点睛】本题考查了平均数与方差的求法,相关系数的求法及简单应用,计算量较为复杂,属于基础题.
21．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是(φ为参数).以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程是.
（1）求曲线C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；
（2）过点O的直线l与C1异于点O的交点为点A，与C2的交点为点B，求|OA|•|OB|的值.
【答案】（1）的极坐标方程ρ=2sinθ，直角坐标方程为；（2）.
【分析】（1）将曲线C1的参数方程消去参数φ得到直角坐标方程，再将代入即可；根据直线C2的极坐标方程是，由求解.
（2）设直线l的极坐标方程为θ=α，分别与曲线C1和曲线C2的极坐标方程联立，然后由求解.
【详解】（1）因为曲线C1的参数方程是(φ为参数)，
消去参数φ得x2+(y﹣1)2=1，即x2+y2=2y，
将代入上式得ρ=2sinθ.
因为直线C2的极坐标方程是，
将代入上式得.
（2）设直线l的极坐标方程为θ=α，与曲线C1的交点为A，
则，整理得ρ1=2sinα，
与曲线C2的交点为B，则，整理得，
所以.
【点睛】方法点睛：曲线的直角坐标方程与极坐标方程，通过转化.
22．盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的、、三种样式，且每个盲盒只装一个.
（1）若每个盲盒装有、、三种样式玩偶的概率相同.某同学已经有了样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是多少？
（2）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占；而在未购买者当中，男生女生各占.请根据以上信息填写表，并分析是否有的把握认为购买该款盲盒与性别有关？

女生
男生
总计
购买



未购买



总计


200

参考公式：，其中.
参考数据：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

（3）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如表：
周数
1
2
3
4
5
6
盒数
16

23
25
26
30

由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1、3周数据进行检验.
①请用4、5、6周的数据求出关于的线性回归方程；（注，
②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？
【答案】（1）；（2）表格见解析，有；（3）①；②可靠.
【分析】（1）由题意列出基本事件，得到恰好能收集齐这三种样式的事件数，再由古典概型概率计算公算求解；
（2）由题意填写列联表，求出的值，结合临界值表得结论；
（3）①由数据，求得与的值，可得关于的线性回归方程；
②分别求出，时的值，再求出与实际值差的绝对值，与1比较大小得结论.
【详解】解：（1）由题意，基本事件空间为：
，，，，，，，，
基本事件个数共9个.
恰好能收集齐这三种样式为事件，则，，事件个数共2个.
则恰好能收集齐这三种样式的概率；
（2）列联表如下：

女生
男生
总计
购买
40
20
60
未购买
70
70
140
总计
110
90
200

，
又，
故有的把握认为购买该款盲盒与性别有关；
（3）①由数据，求得，.
.
.
关于的线性回归方程为；
②当时，，；
同样，当时，，.
①中所得的线性回归方程是可靠的.