2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二下学期4月月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二下学期4月月考数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数，则下列结论不正确的是（       ）A． B．复数z的共轭复数为C． D．【答案】C【分析】根据复数的模长，共轭复数，乘方等分别计算即可判断选项的正误.【详解】A：，故A正确；B：复数z的共轭复数为，故B正确；C：因为，所以，故C不正确；D：，故D正确；故选：C.2．在用反证法证明“已知，，且，则，中至多有一个大于0”时，假设应为（       ）A．，都小于0 B．，至少有一个大于0C．，都大于0 D．，至少有一个小于0【答案】C【分析】反证法，应假设命题结论的否定.【详解】“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“，都大于0”．故选：C3．欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e､圆周率､虚数单位i､自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的根据欧拉公式，在复平面内对应的点在（       ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】令中即得解.【详解】令中得：，所以在复平面内对应的点为因为，所以在复平面内对应的点在第二象限.故选：B4．已知函数的导函数为，且满足，则曲线在点处的切线的斜率等于（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】对函数求导，根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率即可.【详解】由可得，则，所以，由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率等于.故选：B.5．等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据定积分的几何意义直接求解即可得到结果.【详解】表示以原点为圆心，为半径的上半圆的面积，.故选：C.6．函数的大致图象为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】易知是偶函数，结合导数判断单调性与极值点范围即可得结果．【详解】由可知是偶函数，排除A；当时，，则，可知在上单调递增，且，，则存在，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，且是在上唯一极小值点，故选：D．7．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（       ）A．庚子年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】B【分析】根据“干支纪年法”的规则判断．【详解】天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2021年，经过了7年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年，故选：B.8．执行如图所示的程序框图，若输出的值为5，则判断框内可填入的条件是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，结合输出结果进行判定，即可求解.【详解】执行给定的程序框图，可得：第一次循环：，，应满足条件；第二次循环：，，应满足条件，排除选项D；第三次循环：，，应满足条件，排除选项C；第四次循环：，，这时不再满足条件，结束循环，所以判断框中可填入的条件为．故选：B.9．已知双曲线:的一条渐近线与函数的图象相切，则双曲线的离心率等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设该渐近线方程为，则切点为，由导数的几何意义得出，再由离心率公式得出答案.【详解】设该渐近线方程为，则切点为函数的导数为，则，，即切点为将其代入函数，得，，解得则双曲线的离心率等于故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由导数的几何意义得出，再求离心率.10．若，则的最大值为（       ）A． B． C．e D．2e【答案】C【分析】由题设得，构造并利用导数研究单调性，易知恒成立，进而构造只需即可求的最大值.【详解】由题设，，若，则，即在上单调递增，而，∴，要使，只需恒成立，令，则：当时，即递减；当时，即递增；∴，故只需，即.故选：C【点睛】关键点点睛：转化不等式并构造，利用其单调性将问题转化为恒成立，再次构造函数结合导数求参数a的范围.11．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于、两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出椭圆的两个焦点坐标以及点的坐标，由求出点的坐标，利用椭圆的定义求得的值，进而可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可知，点在直线上，即，可得，直线交轴于点，设点，，，由可得，解得，椭圆的右焦点为，则，又，，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12．若函数满足，且，则函数（       ）A．既无极大值又无极小值 B．有极小值无极大值C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值【答案】A【分析】对已知式子进行整理可得，从而可知，结合可求出，求出导数即可求出极值.【详解】解：因为 ，则，所以，为常数，则，所以，则，所以无解，所以函数既无极大值又无极小值.故选:A.【点睛】本题考查了导数的运算，考查了函数极值的求解.本题的难点是对函数的解析式的求解.本题的关键是对已知式子进行变形整理.二、填空题13．曲线与直线围成的图形的面积为___________.【答案】【分析】根据题意，求出曲线与直线交点的横坐标，可得要求图形的面积，进而计算可得答案．【详解】解；根据题意，，则有，解得或，则曲线与直线围成的图形的面积.故答案为：14．观察下列各式：，，，，……照此规律，当时，_________________．【答案】【分析】根据给出的等式，找出运算结果的结构形式，利用归纳推理，即可求解.【详解】由已知等式观察，等式右边为形式，其中k比等式左侧各组合数下标大1，照此规律，当时，．故答案为：.15．已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为___________．【答案】3【分析】根据极限形式和求导公式得，进而得，计算得解.【详解】由，可得．因为，所以，即，则，所以，．故答案为：3.三、双空题16．2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线：的焦点为，圆：与抛物线在第一象限的交点为，直线：与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则______；周长的取值范围为______．【答案】     2     【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m，然后由分别与抛物线，与圆的方程联立求得A，B的坐标，再结合抛物线的定义求解.【详解】如图所示：由，解得，∴由，解得，所以由，解得，所以，由抛物线的定义得：∴，∴周长，，.，故答案为：2，．四、解答题17．设函数.（1）求的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）最小值为1，最大值为.【分析】（1）求导得，令得，令，得，根据导数的符号确定函数的单调区间；（2）求导得，令，得，，，时，，确定函数的单调性，可得最小值，再求得，作差比较，即可得到最大值．【详解】（1）定义域：，函数，∴，∴当在时，，函数递增，当在时，，函数递减，故函数的增区间为，减区间为；（2）由，得，，令，则，当，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴，，，由，得.∴函数的最小值为1，最大值为.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．18．已知函数．（1）当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式；（2）当f(x)的极大值不小于时，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）[1，＋∞)．【分析】（1）求导，由求出，进而得出解析式；（2）根据导数求出极大值，再解不等式得出m的取值范围．【详解】（1）因为，所以f′(x)＝x2－m2.因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′（1）＝1－m2＝0(m＞0)，所以m＝1，故（2）f′(x)＝x2－m2.令f′(x)＝0，解得x＝±m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－m)－m(－m，m)m(m，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗ 由上表，得，由题意知，所以m3≥1，解得m≥1.故m的取值范围是[1，＋∞)．19．已知曲线C:(m∈R)（1）   若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）       设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．【答案】（1） （2）略【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度不太大，从形式到条件的设计都具有一般性的，相信平时对曲线的复习程度不错的学生做起来应该是得心应手【详解】学生错解：解：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得2＜m＜5，所以m的取值范围是(2，5)． (2)当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，x1＋x2＝，x1x2＝ .直线BM的方程为y＋2＝x，点G的坐标为.因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝，kAG＝－，所以kAN－kAG＝＝ ＝＝ ＝0.即kAN＝kAG.故A，G，N三点共线．审题引导：(1)方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆；(2)证明三点共线的常用方法．规范解答：解：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得＜m＜5，所以m的取值范围是 .(2)当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×24＞0，即k2＞.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，x1＋x2＝，x1x2＝.直线BM的方程为y＋2＝x，点G的坐标为.因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝，kAG＝－，所以kAN－kAG＝＝0.即kAN＝kAG.(13分)故A，G，N三点共线．错因分析：易忽视焦点在x轴上，漏掉这一条件，从而失误．联立消元后易忽视Δ＞0这一前提条件．20．设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）.【详解】（Ⅰ）．若，则当时，，；当时，，．若，则当时，，；当时，，．所以，在单调递减，在单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．【解析】导数的综合应用．21．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得的方程；（2）设，，，利用导数得出切线的方程，由在切线上，从而可得直线的方程，由直线方程可得定点坐标．【详解】（1）设，则，，，，所以，可以化为，化简得．所以，的方程为．（2）由题设可设，，，由题意知切线，的斜率都存在，由，得，则，所以，直线的方程为，即，①因为在上，所以，即，②将②代入①得，所以直线的方程为同理可得直线的方程为．因为在直线上，所以，又在直线上，所以，所以直线的方程为，故直线过定点．【点睛】关键点点睛：本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由在切线上，根据直线方程的意义得出直线方程，然后得定点坐标．22．已知函数．（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的单调区间；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值集合．【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【分析】（1）由题意知：定义域为且，求a值，利用导数研究其单调区间即可；（2）法一：由，讨论a的范围，利用导数研究其单调性，进而确定在区间内是否恒为非正数，即可求的取值集合；法二：令，则等价于，构造，利用导数结合分类讨论的方法，研究的单调性确定在定义域区间内是否恒为非正数，求的取值集合.【详解】（1）由题意知：，且，解得，∴．∵的定义域为，即，且函数在上为增函数，，即当时，；当时，．∴的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）（法一）且定义域为，①当时，，此时在上单调递减，当时，，显然不符合题意．②当时，，不合题意．③当时，令，得，即．令，则，所以在上单调递增，则存在，使得，两边同时取对数可得．当时，，；当时．，．∴．令，则．由，得；由，得．从而，所以．又，所以，∴，故的取值集合为．（法二），令，则等价于．设，则，①当时，，此时在上单调递减，因为，所以不恒成立．②当时，在上单调递增，在上单调递减，则．令，则．由，得；由，得．从而，所以．又，所以，∴，故的取值集合为．【点睛】关键点点睛：（1）由解析式确定导函数及其定义域，根据导数的几何意义求参数，进而研究其单调区间；（2）应用分类讨论的方法，利用导函数研究相关函数的单调性，根据恒成立确定在区间内是否恒为非正数，进而求参数取值的集合.