2022-2023学年湖南省永州市宁远县九年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年湖南省永州市宁远县九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省永州市宁远县九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   如果反比例函数的图象经过点，则的值是(    )A.  B.  C.  D.    下列方程中是一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D.    下列四组长度的线段中，是成比例线段的是(    )A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，   下列命题中，属于真命题的是(    )A. 两个菱形一定相似 B. 两个等腰直角三角形一定相似
C. 两个矩形一定相似 D. 两个周长相等的三角形一定相似   下列一元二次方程有实数根的是(    )A.  B.
C.  D.    如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作▱，其中、在轴上，则为(    )
A.  B.  C.  D.    两个相邻自然数的积是，则这两个数中，较大的数是(    )A.  B.  C.  D.    当时，反比例函数和一次函数的图象大致是(    )A.  B.
C.  D.    同一时刻，同一地点，在阳光下影长为米的小王身高为米，一棵树的影长为米，则这棵树的高度为(    )A. 米 B. 米 C. 米 D. 米用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是(    )A.  B.  C.  D. 如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使∽的是(    )A.
B.
C.
D. 已知实数，满足，则的值为(    )A.  B.  C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）与中，，若，则的周长是______．方程的解是______ ．研究发现，近视镜的度数度与镜片焦距米成反比例函数关系，小明佩戴的度近视镜片的焦距为米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为米，则小明的近视镜度数可以调整为______度．在比例尺为：的地图上，量得上海市到杭州市两地的距离是厘米，那么上海到杭州的实际距离是______千米．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染______个人．如图，小红把梯子斜靠在墙壁上，梯脚距墙米，小红上了两节梯子到点，此时点距墙米，长米，则梯子的长为______米．
 关于的方程有两个相等的实数根，则______．在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是______．
   三、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
用适当的方法解下列方程：
；
．本小题分
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高．
本小题分
将一条长为的铁丝剪成两段，分别弯成两个正方形．
若这两个正方形的面积之和为，分别求这两段铁丝的长．
这两个正方形的面积之和能否为？若能，分别求这两段铁丝的长；若不能，请说明理由．本小题分
已知反比例函数的图象位于第二、四象限，正比例函数图象经过第一、三象限，求的整数值．本小题分
已知关于的一元二次方程：．
求证：这个方程总有两个实数根；
若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．本小题分
通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，指标达到或超过时为认真听讲阶段，学生注意力指标随时间分钟变化的函数图象如图所示．当和图象是线段，当时是反比例函数的一部分．
求点对应的指标值；
李老师在一节课上讲一道数学综合题需分钟，他能否经过适当安排使学生在认真听讲阶段进行讲解，请说明理由．
本小题分
如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
求证：；
设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
联结，当与相似时，求的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值．
【解答】
解：根据题意，得，即，
解得，．
故选：．  2.【答案】 【解析】解：该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
B.该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C.该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D.该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 3.【答案】 【解析】解：、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意．
故选：．
如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据比例性质对选项一一分析，排除错误答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
 4.【答案】 【解析】解：、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定相似，是假命题，不符合题意；
B、两个等腰直角三角形一定相似，正确，是真命题，符合题意；
C、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定相似，是假命题，不符合题意；
D、两个周长相等的三角形可能形状、大小不一样，不一定相似，是假命题，不符合题意．
故选：．
利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．
 5.【答案】 【解析】解：、，
这里，，，
，
此方程没有实数根，不符合题意；
B、，
这里，，，
，
此方程没有实数根，不符合题意；
C、，
这里，，，
，
此方程没有实数根，不符合题意；
D、，
这里，，，
，
此方程有实数根，符合题意．
故选：．
找出各方程中，，的值，计算出根的判别式的值，判断即可．
此题考查了根的判别式，弄清根的判别式与方程解的情况是解本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：设的纵坐标是，则的纵坐标也是．
把代入得，，则，即的横坐标是；
同理可得：的横坐标是：．
则．
则．
故选：．
设的纵坐标是，则的纵坐标也是，即可求得、的横坐标，则的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解、的纵坐标是同一个值，表示出的长度是关键．
 7.【答案】 【解析】解：设这两个数中，较大的数是，则较小的数是，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
这两个数中，较大的数是．
故选：．
设这两个数中，较大的数是，则较小的数是，根据这两个自然数的积是，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：当时，反比例函数的图象在二四象限，同时一次函数的图象经过第一、二、四象限；
当时，反比例函数的图象在一三象限，同时一次函数的图象经过第一、二、三象限．
故选B．
根据一次函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
 9.【答案】 【解析】解：设高度为米，
因为太阳光可以看作是互相平行的，
由相似三角形：，
解得：．
故选：．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题考查相似形的知识，解题的关键在于将题目中的文字转化为数学语言再进行解答．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
，
所以．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：、当时，再由，可得出∽，故此选项不合题意；
B、当时，再由，可得出∽，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出∽，故此选项符合题意；
D、当时，即，再由，可得出∽，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：，则原方程换元为 ，
，
解得：，，
即 或 不合题意，舍去，
．
故选：．
设 ，则原方程换元为 ，可得，，即可求解．
本题考查了高次方程，解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：，
∽，
，
，
，
的周长是，
故答案为：．
由根据“三边成比例的两个三角形相似”证明∽，再由“相似三角形周长的比等于相似比”得，而，即要求得，即的周长是．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确理解和运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：，
．
．
故答案为：．
先求得的值，然后利用平方根的定义求解即可．
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：设函数的解析式为，
度近视眼镜镜片的焦距为米，
，
解析式为，
当时，度，
答：小明的近视镜度数可以调整为度，
故答案为：．
设函数的解析式为，由时，可求，进而可求函数关系式，然后把代入解析式即可求得答案．
本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：设上海到杭州的实际距离是厘米，
根据题意得，：：，
解得，
厘米千米．
即上海到杭州的实际距离是千米．
故答案为：．
根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式即可求得上海到杭州的实际距离．要注意统一单位．
本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换是解决问题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则，
即：，
则，
解得：，不合题意，舍去．
答：每轮传染中平均一个人传染了个人．
故答案为：．
设平均一人传染了人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，列方程求解．
此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
 18.【答案】 【解析】解：因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，
即∽，则，
设梯子长为米，则，
解得，．
即梯子的长为米，
故答案为：．
根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点三者构成的直角三角相似，利用相似三角形对应边成比例解答即可．
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 19.【答案】 【解析】解：关于的方程，即有两个相等的实数根，
，即，
解得：．
故答案为：．
根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于，进而建立方程，求出的值即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
 20.【答案】 【解析】解：由表格可得：，，，
如图所示：作，，，，
，
∽，
则与相似比的值是．
故答案为：．
根据表格求出，，的长，由题意画出与相似，且面积最大，求出相似比即可．
此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
 21.【答案】解：，
，，，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 【解析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
 22.【答案】解：，，
∽，
，
在中，
，，
由勾股定理得，
，
，
，
，
答：树高是． 【解析】先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上小明同学的身高即可求得树高．
本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得∽．
 23.【答案】解：设其中一段铁丝的长为，则另一段铁丝的长，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，；
当时，，．
答：这两段铁丝的长分别为，．
这两个正方形的面积之和不能为，理由如下：
设其中一段铁丝的长为，则另一段铁丝的长，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
即这两个正方形的面积之和不能为． 【解析】设其中一段铁丝的长为，则另一段铁丝的长，根据弯成的两个正方形的面积之和为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其代入及中，即可求出这两段铁丝的长；
这两个正方形的面积之和不能为，设其中一段铁丝的长为，则另一段铁丝的长，根据弯成的两个正方形的面积之和为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即这两个正方形的面积之和不能为．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 24.【答案】解：根据题意，得，
解这个不等式组，得，
的整数值为． 【解析】根据反比例函数的性质得，解得，根据正比例函数的性质得，所以得，然后找出此范围内的整数即可．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数，当，图象分布在第一、三象限；当，图象分布在第二、四象限．也考查了正比例函数的性质．
 25.【答案】证明：

，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；

解：，
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为． 【解析】先计算，化简得到，易得，然后根据的意义即可得到结论；
利用求根公式计算出方程的两根，，则可设，，然后讨论：当、为腰；当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．
 26.【答案】解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：，
解得，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
，
即对应的指标值为；
设当时，的解析式为，将、代入得，
解得，
的解析式为；
当时，，
解得，
由得反比例函数的解析式为，
当时，，
解得，
当时，注意力指标都不低于，
指标达到为认真听讲，
而，
李老师能经过适当的安排，
使学生在认真听讲时，进行讲解． 【解析】设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值；
求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案．
本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式．
 27.【答案】解：，
，．
，，
，
．
；
过点作，过点作，垂足分别为点、．

，，
，．
，
，
．
，
，
，
，
．
，
，
，
，
．
；
，
．
当时，
，
，
，
，
，
，
．
当时，
，
又，
∽．
，
，整理得，
解得 ，或舍去．
综上所述，当与相似时，的长为或． 【解析】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点．
由知，，结合，知，从而得，据此可得答案；
作，，求得，，由知，，根据得，即，再根据知，由三角形的面积公式可得答案；
分和两种情况分别求解可得．