2022年四川省遂宁市射洪中学实验校教育联盟中考数学一诊试卷 (word版无答案)

这是一份2022年四川省遂宁市射洪中学实验校教育联盟中考数学一诊试卷 (word版无答案)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年四川省遂宁市射洪中学实验校教育联盟中考数学一诊试卷
一、选择题（每空4分，共40分）
1．（4分）下面四个数中的无理数是（　　）
A．0. B． C． D．
2．（4分）下列式子计算错误的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．（ab）2＝a2b2 C．a0÷a﹣1＝a D．a2a3＝a5
3．（4分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103
4．（4分）若一个多边形的每个内角都相等，且内角和为720°，该多边形的一个外角是（　　）
A．60° B．70° C．72° D．90°
5．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≠2 D．x＞﹣3且x≠2
6．（4分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（　　）

A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2
7．（4分）某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（　　）
零件个数（个）
6
7
8
人数（人）
15
22
13
A．7个，7个 B．7个，6个 C．22个，22个 D．8个，6个
8．（4分）下面命题正确的是（　　）
A．三角形的内心到三个顶点距离相等
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．三角形的外角和为360°
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
9．（4分）已知关于x的分式方程+2＝﹣的解为非负数，则正整数m的所有个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论为（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（4分）关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 　 　．
12．（4分）在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是　 　．
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 　 　．

14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝　 　．
15．（4分）如图，正方形ABCD边长为2，BM，DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM，DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ，PC，CQ．则下列结论：
①BP•DQ＝3.6，
②∠QAD＝∠APB，
③∠PCQ＝135°
④BP2+DQ2＝PQ2，其中正确的有 　 　．

三、解答题（本大题共10个小题，共90分）
16．（7分）计算：|1﹣|﹣2cos45°++（）﹣1．
17．（7分）先化简：（﹣），然后从﹣1，0，1，3中选一个你认为合适的数作为x值代入求值．
18．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．

19．（9分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程
人数
篮球
m
足球
21
排球
30
乒乓球
n
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出表中m，n的值；
（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．

20．（9分）对于任意一个三位数m，若百位上的数字与个位上的数字之和是十位上的数字的2倍，则称这个三位数m为“共生数”，例如：m＝357，因为3+7＝2×5，所以357是“共生数”；m＝435，因为4+5≠2×3，所以435不是“共生数”．
（1）根据题设条件，请你举例说出两个“共生数”：　 　，　 　；
（2）若一个“共生数”的十位上的数字为4，设百位上的数字为x，则个位上的数字用x可表示为 　 　，那么这个“共生数”用x可表示为 　 　．（结果要化简）
（3）对于某个“共生数”，百位上的数字比个位上的数字小2，百位、十位与个位上的数字之和是9，求这个“共生数”是多少？
21．（9分）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为Mate30手机二月份每台售价比一月份每台售价低500元．如果卖出相同数量的华为Mate30手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．
（1）一月份华为Mate30手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划三月份购进华为Mate40手机销售，已知华为Mate30每台进价为3500元，华为Mate40每台进价为4000元，预计用不少于7.4万元且不多于7.6万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）该店计划4月份对华为Mate30的尾货进行销售，决定在二月份售价基础上每售出一台华为Mate30手机再返还顾客现金a元，而华为Mate40按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．

23．（9分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）

24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．

25．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．


2022年四川省遂宁市射洪中学实验校教育联盟中考数学一诊试卷
解析版
一、选择题（每空4分，共40分）
1．（4分）下面四个数中的无理数是（　　）
A．0. B． C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A.0.是有理数，故本选项不符合题意；
B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.＝3是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（4分）下列式子计算错误的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．（ab）2＝a2b2 C．a0÷a﹣1＝a D．a2a3＝a5
【分析】利用幂的乘方运算法则判断A，利用积的乘方运算法则判断B，利用同底数幂的除法运算法则判断C，利用同底数幂的乘法运算法则判断D．
【解答】解：A、原式＝a6，故此选项符合题意；
B、原式＝a2b2，故此选项不符合题意；
C、原式＝a0﹣（﹣1）＝a，故此选项不符合题意；
D、原式＝a5，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．（4分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．
故选：C．
4．（4分）若一个多边形的每个内角都相等，且内角和为720°，该多边形的一个外角是（　　）
A．60° B．70° C．72° D．90°
【分析】设这个多边形是n边形，它的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，就得到关于n的方程，求出边数n．然后根据多边形的外角和是360°，多边形的每个内角都相等即每个外角也相等，这样就能求出多边形的一个外角．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n﹣2）•180°＝720，
解得n＝6；
那么这个多边形的一个外角是360÷6＝60度，
即这个多边形的一个外角等于60度．
故选：A．
5．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≠2 D．x＞﹣3且x≠2
【分析】根据分母不为0，被开方数大于等于0进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x+3≥0且x﹣2≠0，
∴x≥﹣3且x≠2，
故选：B．
6．（4分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（　　）

A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．
【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l＝＝5（cm），
∴S侧＝•2πr•l＝×2π××5＝15π（cm2）．
故选：B．
7．（4分）某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（　　）
零件个数（个）
6
7
8
人数（人）
15
22
13
A．7个，7个 B．7个，6个 C．22个，22个 D．8个，6个
【分析】根据中位数、众数的意义进行判断即可．
【解答】解：这50名工人某一天生产零件个数出现次数最多的是7个，共出现22次，因此众数是7个，
将这50名工人某一天生产零件个数从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是7个，因此中位数是7个，
故选：A．
8．（4分）下面命题正确的是（　　）
A．三角形的内心到三个顶点距离相等
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．三角形的外角和为360°
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】根据三角形内心、菱形的判定、一元二次方程和三角形外角和判断解答即可．
【解答】解：A、三角形的内心到三条边的距离相等，原命题是假命题，不符合题意；
B、方程x2＝14x的解为x＝14或x＝0，原命题是假命题，不符合题意；
C、三角形的外角和为360°，是真命题；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
9．（4分）已知关于x的分式方程+2＝﹣的解为非负数，则正整数m的所有个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为非负数，可得不等式，解不等式，可得答案．
【解答】解：去分母，得：m+2（x﹣1）＝3，
移项、合并，得：x＝，
∵分式方程的解为非负数，
∴5﹣m≥0且≠1，
解得：m≤5且m≠3，
∴正整数解有1，2，4，5共4个，
故选：B．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论为（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】将点（﹣1，0）代入解析式可判断①；由对称性可得另一个交点为（3，0），可判断②；由﹣＝1，可判断③，由c＝2，a＜0可判断④，即可求解．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故①正确；
②∵对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），
∴另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故②正确；
③由对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，故④正确，
故选：D．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（4分）关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 　﹣2＜a≤﹣1　．
【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式，解之可得答案．
【解答】解：解不等式x﹣a≥0，得：x≥a，
解不等式5﹣2x＞3，得：x＜1，
∵不等式组有2个整数解，
∴﹣2＜a≤﹣1，
故答案为：﹣2＜a≤﹣1．
12．（4分）在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是　　．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有4种，
∴两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率为＝，
故答案为：．
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 　13π﹣24　．

【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝∠C＝90°，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形FCD﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAE）＝﹣（6×4﹣）＝13π﹣24，
故答案为：13π﹣24．
14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝　1　．
【分析】由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，即可求解．
【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，
解得k＝1，
故答案为1．
15．（4分）如图，正方形ABCD边长为2，BM，DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM，DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ，PC，CQ．则下列结论：
①BP•DQ＝3.6，
②∠QAD＝∠APB，
③∠PCQ＝135°
④BP2+DQ2＝PQ2，其中正确的有 　②③④　．

【分析】根据正方形的性质和角平分线的定义得∠BAP+∠APB＝45°，∠QAD+∠BAP＝45°，则∠QAD＝∠APB，故②正确；根据△ABP∽△QDA，得，可知①错误；再根据△PBC∽△CDQ，得∠BCP＝∠DQC，可知③正确；将△AQD绕点A顺时针旋转90°得△ABG，连接GP，交AB的延长线于点H，利用SAS证明△AGP≌△ADQ，得GP＝QP，再说明∠GBP＝90°，利用勾股定理可判断④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵BM，DN分别是正方形的两个外角的平分线，
∴∠PBC＝∠CDQ＝45°，
∴∠ADQ＝∠ABP＝135°，
∴∠BAP+∠APB＝45°，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠QAD+∠BAP＝45°，
∴∠QAD＝∠APB，
∴△ABP∽△QDA，
∴，
∴BP•DQ＝AD•AB＝4，
故①错误，②正确；
∵，
∴，
∵∠PBC＝∠CDQ＝45°，
∴△PBC∽△CDQ，
∴∠BCP＝∠DQC，
∵∠DQC+∠DCQ＝180°﹣∠CDQ＝180°﹣45°＝135°，
∴∠PCQ＝135°，
故③正确；
将△AQD绕点A顺时针旋转90°得△ABG，
连接GP，交AB的延长线于点H，

则AG＝AQ，BG＝DQ，
∴∠GAP＝∠GAB+∠BAP＝∠QAD+∠BAP＝45°＝∠PAQ，
在△AGP与△AQP中，
，
∴△AGP≌△ADQ（SAS），
∴GP＝QP，
又∵∠ABG＝∠ADQ＝135°，
∴∠GBP＝360°﹣∠ABG﹣∠ABP＝90°，
∴△GBP是直角三角形，
∴BP2+BG2＝GP2，
∴BP2+DQ2＝PQ2，
故④正确，
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分）
16．（7分）计算：|1﹣|﹣2cos45°++（）﹣1．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，二次根式性质，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+2+2
＝﹣1﹣+2+2
＝2+1．
17．（7分）先化简：（﹣），然后从﹣1，0，1，3中选一个你认为合适的数作为x值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x＝3代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝•＝，
当x＝3时，原式＝．
18．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．

【分析】（1）证明△OBF≌△ODE，得到OB＝OD即可得出结论．
（2）由ED＝2AE，AB•AD＝3，可得出菱形BEDF的面积，进而可得出EF•BD的值．
【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合，
∴OE＝OF，EF⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
在△OBF和△ODE中，
，
∴△OBF≌△ODE（AAS），
∴OB＝OD，
∵OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
（2）如图，∵AB•AD＝3，
∴S△ABD＝AB•AD＝，
∵ED＝2AE，
∴ED＝AD，
∴S△BDE：S△ABD＝2：3，
∴S△BDE＝，
∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2，
∴EF•BD＝4．
19．（9分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程
人数
篮球
m
足球
21
排球
30
乒乓球
n
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出表中m，n的值；
（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．

【分析】（1）根据选择排球的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后计算出m、n的值；
（2）用360°乘以样本中“足球”所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以样本中选择“乒乓球”课程的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）30÷＝120（人），
即参加这次调查的学生有120人，
选择篮球的学生m＝120×30%＝36，
选择乒乓球的学生n＝120﹣36﹣21﹣30＝33；

（2）360°×＝63°，
即扇形统计图中“足球”项目所对应扇形的圆心角度数是63°；

（3）2000×＝550（人），
答：估计其中选择“乒乓球”课程的学生有550人．
20．（9分）对于任意一个三位数m，若百位上的数字与个位上的数字之和是十位上的数字的2倍，则称这个三位数m为“共生数”，例如：m＝357，因为3+7＝2×5，所以357是“共生数”；m＝435，因为4+5≠2×3，所以435不是“共生数”．
（1）根据题设条件，请你举例说出两个“共生数”：　147　，　420　；
（2）若一个“共生数”的十位上的数字为4，设百位上的数字为x，则个位上的数字用x可表示为 　（8﹣x）　，那么这个“共生数”用x可表示为 　（99x+48）（x≠0）　．（结果要化简）
（3）对于某个“共生数”，百位上的数字比个位上的数字小2，百位、十位与个位上的数字之和是9，求这个“共生数”是多少？
【分析】（1）根据“共生数”的定义可得答案；
（2）根据“共生数”的定义列代数式可得答案；
（3）设百位上的数是m，则个位上的数是（m+2），十位上的数是（7﹣2m），根据题意列方程可得答案．
【解答】解：（1）由“共生数”的定义可得，147、420等（答案不唯一），
故答案为：147，420（答案不唯一）；
（2）∵十位上的数字为4，百位上的数字为x（x≠0），
∴个位上的数字用x可表示为（8﹣x），
这个“共生数”可表示为100x+40+（8﹣x）＝99x+48（x≠0），
故答案为：（8﹣x），（99x+48）（x≠0）；
（3）设百位上的数是m，则个位上的数是（m+2），十位上的数是9﹣m﹣（m+2）＝7﹣2m，
由题意得，m+（m+2）＝2（7﹣2m），
解得m＝2，
所以百位上的数是2，个位上的数是4，十位上的数是3，
所以这个“共生数”是234．
21．（9分）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为Mate30手机二月份每台售价比一月份每台售价低500元．如果卖出相同数量的华为Mate30手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．
（1）一月份华为Mate30手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划三月份购进华为Mate40手机销售，已知华为Mate30每台进价为3500元，华为Mate40每台进价为4000元，预计用不少于7.4万元且不多于7.6万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）该店计划4月份对华为Mate30的尾货进行销售，决定在二月份售价基础上每售出一台华为Mate30手机再返还顾客现金a元，而华为Mate40按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？
【分析】（1）设一月份华为Mate30手机每台售价为x元，则二月份华为Mate30手机每台售价为（x﹣500）元，利用数量＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出一月份华为Mate30手机每台的售价；
（2）设购进华为Mate30手机m台，则购进华为Mate40手机（20﹣m）台，利用总价＝单价×数量，结合总价不少于7.4万元且不多于7.6万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出进货方案的数量；
（3）设购进的20台手机全部售出获得的利润为w元，利用总利润＝每台的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，结合要使（2）中所有方案获利相同，即可得出100﹣a＝0，解之即可得出a的值．
【解答】解：（1）设一月份华为Mate30手机每台售价为x元，则二月份华为Mate30手机每台售价为（x﹣500）元，
依题意得：＝，
解得：x＝4500，
经检验，x＝4500是原方程的解，且符合题意．
答：一月份华为Mate30手机每台售价为4500元．
（2）设购进华为Mate30手机m台，则购进华为Mate40手机（20﹣m）台，
依题意得：，
解得：8≤m≤12．
∵m为正整数，
∴m可以为8，9，10，11，12，
∴共有5种进货方案．
（3）设购进的20台手机全部售出获得的利润为w元，则w＝（4500﹣500﹣3500﹣a）m+（4400﹣4000）（20﹣m）＝（100﹣a）m+8000．
又∵（2）中所有方案获利相同，
∴100﹣a＝0，
∴a＝100．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．

【分析】（1）设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y＝，故B（﹣6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（2）△AOB的面积S＝×OM×（xA﹣xB）＝2×（3+6）＝9；
（3）分AP＝AO、AO＝PO、AP＝PO三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）AO＝5，OD：AD＝3：4，
设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，
故点A（3，4），
则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y＝，故B（﹣6，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，
故一次函数的表达式为：y＝x+2；

（2）设一次函数交y轴于点M（0，2），

△AOB的面积S＝×OM×（xA﹣xB）＝2×（3+6）＝9；

（3）设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），
AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，
当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；
当AO＝PO时，同理可得：m＝±5；
当AP＝PO时，同理可得：m＝；
综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）．
23．（9分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）

【分析】过点D作DH⊥BC于点H，则四边形DHCE是矩形，DH＝EC，DE＝HC，设建筑物BC的高度为xm，则BH＝（x﹣5）m，由三角函数得出DH＝（x﹣5），AC＝EC﹣EA＝（x﹣5）﹣30，得出x＝tan60°•[（x﹣5）﹣10]，解方程即可．
【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：

则四边形DHCE是矩形，DH＝EC，DE＝HC＝5，
设建筑物BC的高度为xm，则BH＝（x﹣5）m，
在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，
∴DH＝（x﹣5），AC＝EC﹣EA＝（x﹣5）﹣30，
在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，tan∠BAC＝，
∴＝
解得：x＝，
答：建筑物BC的高为m．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．

【分析】（1）连接OC，由AB为⊙O的直径，可得∠A+∠ABC＝90°，再证明∠ABC＝∠BCO，结合已知∠BCD＝∠A，可得∠OCD＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，由△ABC的面积为2，可得CM＝2，由∠BCM＝∠A得＝，可解得BM＝﹣1，根据△BCM≌△BCN，可得CN＝CM＝2，再由△DBN∽△DCM，得＝＝即＝＝，解DN＝2﹣2，故CD＝DN+CN＝2；
（3）过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，由CM⊥AB，EH⊥AB，可得＝＝，而＝，故HE＝1，MF＝2HF，Rt△OEH中，OH＝2，可得AH＝OA﹣OH＝﹣2，设HF＝x，则MF＝2x，则（﹣1）+2x+x+（﹣2）＝2，可解得HF＝1，MF＝2，从而BF＝BM+MF＝（﹣1）+2＝+1．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠BCO，
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图：

∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA，
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA，
∴∠BCM＝∠A，
∴tan∠BCM＝tanA，即＝，
∴＝，
解得BM＝﹣1，（BM＝+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A，∠BCM＝∠A，
∴∠BCD＝∠BCM，
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC，
∴△BCM≌△BCN（AAS），
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBN∽△DCM，
∴＝＝，
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2；
方法二：过C作CM⊥AB于M，连接OC，如图：

∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△MOC中，OM＝＝1，
∵∠DMC＝∠CMO＝90°，∠CDM＝90°﹣∠DCM＝∠OCM，
∴△DCM∽△COM，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
（3）过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图：

∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF，
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x，则MF＝2x，
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴（﹣1）+2x+x+（﹣2）＝2，
解得：x＝1，
∴HF＝1，MF＝2，
∴BF＝BM+MF＝（﹣1）+2＝+1．
25．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．

【分析】（1）将A（a，﹣2a）代入y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解方程求出a，即可求得抛物线解析式，当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），建立方程求解即可；
（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，得出P的坐标为（1，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），进而得出M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解方程即可，将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，解方程即可得出答案；
（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，利用勾股定理可得R'M＝＝，当n＝时，R'M长度的最小值为，进而可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，﹣2a），代入y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，
解得：a＝﹣，
抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2，
当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），
则，
解得或（舍去），
∴P的坐标为（1，﹣2）；
（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，
由（1）方法知，P的坐标为（t，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），
由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），
矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1，
然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，
将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，
解得：t＝，或t＝﹣1（舍），
将N（t，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，
解得：t＝1+或t＝1﹣（舍）．
所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，
时间t的取值范围是：≤t≤1+；
（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），
当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），
过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，
则R'M＝＝，
又∵n＝﹣m2﹣2m+2得（m+1）2＝3﹣n，
消去m得：R'M＝
＝
＝
＝，
当n＝时，R'M长度的最小值为，
此时，n＝﹣m2﹣2m+2＝，
解得：m＝﹣1±，
∴点R的坐标是（﹣1±，）．