中考数学全等三角形初步——几何模型练习册（一）

这是一份中考数学全等三角形初步——几何模型练习册（一），共21页。试卷主要包含了角平分线四大模型，旋转手拉手，一线三等角，夹半角旋转等内容，欢迎下载使用。
初三-几何模型练习册（一）一、角平分线四大模型【模型1】过角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。结论：PB=PA，△AOP≌△BOP。 【模型专练】1.（1）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是     ；（2）如图，∠1=∠2，∠3=∠4。 求证：AP平分∠BAC。  2．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠BAD+∠BCD=180°。    3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=      。  4. 如图，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC。  5、如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，BC=CD。求证：AC平分∠BAD。 6、如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A=∠GBD。求证：AO+BO=2CO。     【模型2】截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。结论：△OPB≌△OPA。  【模型专练】1.（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由； （2）如图②所示， AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。  2．已知，在△ABC中，，AD是的平分线，AC=16，AB=8。 求线段BD、CD的长。  3．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。 求证：BC=AB+CD。   4、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=60º，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．求证：AC=AE+CD．   5．如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。  6、如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC。     7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。求证：。 【模型3】角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。结论：△AOB是等腰三角形；△APO≌△BPO。【模型专练】1. 如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE。 2．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C。  3．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E。 求证：。【模型4】角平分线+平行线得等腰三角形如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。结论：△POQ是等腰三角形。【模型专练】1、解答下列问题：（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由。（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？     2、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。  3、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E、F分别在BD、AD上，EF∥AB，且DE=CD。求证：EF=AC。  三、旋转手拉手【模型5】旋转手拉手如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=。结论：△BAD≌△CAE。    【模型专练】1．如图，△ADC与△EDC都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问：（1）AG与CE是否相等？（2）AG与CE之间的夹角为多少度？    2、如图，△BCE和△ABD是两个等边三角形，且A,B,C在同一条直线上。（1）求证：AE=DC；（2）求证：CN=EM；（3）求证：△BNM为等边三角形；（4）求证：MN∥AB；（5）若CD和AE的交点为H，请在图中标出点H，并求∠DHA和∠MHN的度数；（6）若CD和AE的交点为H，连接BH，则BH平分∠CHA吗？若平分，请给予证明；若不平分，请说明理由；           3、如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F(点E不与A，B重合)。（1）求证：△PFA≌△PEB；（2）求证：△PEF是等腰直角三角形；（3）求证：BE+CF=AB；（4）求证：。    4、两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由。     5、已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DG⊥CE于G，DG交AC于F.求证：OE=OF              四、一线三等角01. 一般化的一线三等角如图，，，则△ADE≌△EBC。  02. 一线三垂直与弦图如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。结论：Rt△BCD≌Rt△CAE。正方形内弦图模型三垂直图形变形如下图③、图④，这是由弦图演变而来的。             1、（长春）感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为　　　　　　．     2．如图，∠ACB-90°，AC=BC，BE⊥CE于点D，AD=2.5cm，BE=0.8cm。求DE的长。 3、如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F。（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）连接DF，求证：AB垂直平分DF。    4、如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上， 求第三个顶点的坐标。5、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点N，CM⊥AE交AE的延长线于点M，连接DE，则下列结论：①AE+DE=BD；②BN－CM=MN；③∠ADB=∠CDE；④∠BDE=45°。其中，正确的是                。6、如图1，已知Rt△ABC,∠B=90°，以AC边作正方形ACMD，多点D做AB边上的高DE，交BA延长线于点E.⑴证明：△ADE≌△ACB⑵若△ABC为锐角三角形，分别以AC、BC为边做正方形，如图2，试判断线段GF、DE、AB之间的关系，并证明。⑶若△ABC为钝角三角形，分别以AC、BC为边做正方形，如图3，试判断线段GF、DE、AB之间的关系，不需要证明。 五、夹半角旋转★120°夹60° ★1、在等边三角形的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形ABC外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．               ⑴如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是            ；若AB=AC=6，则△AMN的周长为       ；                                                                                                      ⑵如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想⑴问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。小明是这样思考的：延长MB至H，使得BH＝NC，证△MDN≌△MDH即可。请你帮他补全过程。                                                                                    图1              图2         ★90°夹45°★2、已知：正方形中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N． ⑴如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．                                          ★2α夹α★3、⑴如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有∠EAF=45°，求证：。⑵如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； ⑶如图，若将⑵中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。小明根据⑴、⑵问的作法，发现AB=AD，延长DF至N，使得DN＝BC，连接AN。先证△ABE≌△AND，再证△AFN≌△AFE，发现题中结论是错误的，你能帮他写完证明过程吗？并写出正确的结论吗？   4、如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，求证：。  5、如图，△ABD为等腰直角三角形，AB=AD，，求证：以、、为边的三角形是直角三角形。  6、如图，在四边形ABCD中，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF. 求证：.    7、已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N。（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2 ＝ AM2＋BN2；（2）当扇形GEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2＋BN2是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.        六、截长补短-线段和差关系证明的基本思路对截长补短的理解：给定三条线段a,,b,c。其中：。以这三条线段为例，阐述截长法和补短法的具体做法。①截长法：示例一：截长法。在线段c上截取，再证：即可。【自己配图如下】：   ②补短法：       1、如下图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。         2、⑴在中，的平分线交于，，，求的大小。  ⑵如图，在中，，的平分线交于点。求证：。       ⑶已知：在中，，，求证：。