2021-2022学年广东省广州市番禺实验中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省广州市番禺实验中学九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

3. 一元二次方程用配方法可变形为   

A.  B.  C.  D.

4. 设，是一元二次方程的两根，则

A.  B.  C.  D.

5. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为

A.  B.
C.  D.

6. 若抛物线与轴交点为，则下列说法不正确的是

A. 抛物线开口向上
B. 对称轴为直线
C. 当时，随的增大而减少
D. 的值为

7. 是等边三角形，点在内，，将绕点逆时针旋转得到，则的长等于

A.
B.
C.
D.

8. 如图，已知是的直径，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手次，设有人参加会议，则可列方程为

A.  B.  C.  D.

10. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象．正确的是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 若是一元二次方程的一个根，那么______．
12. 已知的半径长为，圆心到弦的距离为，则弦的长为______．
13. 抛物线的顶点坐标为______．
14. 一元二次方程的两根是______．
15. 一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶的高度是时，水面的宽度为______
16. 如图，是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为______．
     

三、解答题（本大题共9小题，共70分）

17. 用公式法解方程：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
    画出绕点顺时针旋转后得到的．
    画出关于点对称的．

19. 随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的年销售量年为万只，预计年将达到万只．求该地区年到年高效节能灯年销售量的平均增长率．
20. 已知抛物线的图象的顶点坐标为，且图象过点．
    求这个抛物线的关系式；
    直接写出抛物线与轴的交点坐标．
21. 如图，的直径，弦长，的平分线交于点．
    求的长；
    求的面积．
    
    
     

22. 已知关于的方程．
    若方程总有两个不相等的实数根，求的取值范围；
    若两实数根，满足，求的值．
23. 如图，在一面靠墙的空地上用长为米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米．
    求与的函数关系式及自变量的取值范围；
    当取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
    若墙的最大可用长度为米，则求围成花圃的最大面积．

24. 如图，四边形内接于，，的延长线交于点，是延长线上一点，．
    求证：是等边三角形；
    判断，，之间的数量关系，并证明你的结论．

25. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点顺时针旋转后得到．
    点的坐标是______，线段的长等于______．
    点是的中点，抛物线经过点、．
    求和的值．
    如果点在轴上，且位于点的下方，点在直线上，那么在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图形重合．
 

2.【答案】

【解析】解：点坐标为，
点的坐标为．
故选：．
关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点的坐标．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
 

3.【答案】

【解析】

【分析】

此题考查了解一元二次方程 配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
方程常数项移到右边，两边加上 ，即可确定出结果．
【解答】
解：一元二次方程 用配方法可变形为 ，
故选 C ．

4.【答案】

【解析】

【分析】
因为 ， 是一元二次方程 的两根，所以 ， ，利用整体代入的思想解决问题即可．
本题考查根与系数的关系，记住 ， 是一元二次方程 的两根时， ， ，是解题的关键．
【解答】
解： ， 是一元二次方程 的两根，
， ，
，
故选： ．   

5.【答案】

【解析】解：把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线的解析式是，
故选：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：与轴交点为，
，故D正确，不符合题意，
抛物线解析式为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故A、B正确，不符合题意，不正确，
故选：．
由条件可求得点的值，再利用二次函数解析式，逐项判断即可．
本题主要考查二次函数的性质，求得函数解析式、化为顶点式是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出 是等边三角形，注意“有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于 根据等边三角形的性质推出 ， ，根据旋转的性质得出 ≌ ，推出 ， ，求出 ，得出 是等边三角形，即可求出答案．
【解答】
解： 是等边三角形，
， ，
将 绕点 逆时针旋转得到 ，
≌ ，
， ，
，
即 ，
是等边三角形，
．
故选 A ．   

8.【答案】

【解析】解：，
．
是的直径，
，
，
故选C．
先根据圆周角定理求出及的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：设人参加这次聚会，则每个人需握手：次；
依题意，可列方程为：；
故选：．
如果有人参加了聚会，则每个人需要握手次，人共需握手次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手次”，据此可列出关于的方程．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．
 

10.【答案】

【解析】解：，
二次函数的对称轴为轴，
符合题意．
故选：．
由可得出二次函数的对称轴为轴，对照四个选项中图象即可得出结论．
本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，由找出抛物线的对称轴为轴是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：把代入，得
，
解得．
故答案为：．
方程的根就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把代入关于的一元二次方程，就可以求出的值．
考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出的值．
 

12.【答案】

【解析】解：如图，连接、，由题意可知，，，，
，是弦，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
故答案为：．
根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．
本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确计算的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，，
顶点坐标是．
利用公式法求顶点坐标．
公式法：的顶点坐标为，对称轴是．
 

14.【答案】，

【解析】解：，
，
或，
解得：，．
故答案为：，．
首先利用提公因式分解法将分解因式，继而可求得一元二次方程的两根．
此题考查了因式分解法解一元二次方程的知识．此题比较简单，解题的关键是时注意选择因式分解法解此一元二次方程．
 

15.【答案】

【解析】解：根据题意的纵坐标为，
把代入，
得，
，，
．
即水面宽度为．
故答案为：．
根据题意，把直接代入解析式即可解答．
此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：在中，，，
，
根据中心对称的性质得到．
故答案为：．
在直角中根据角所对的直角边等于斜边的一半求得，而，据此即可求解．
本题主要考查了直角三角形的性质：的锐所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质．
 

17.【答案】解：，，，
，
，
所以，．

【解析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式计算方程的根．
本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
 

18.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．

【解析】分别作出，的对应点，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：设该地区年到年高效节能灯年销售量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该地区年到年高效节能灯年销售量的平均增长率为．

【解析】设该地区年到年高效节能灯年销售量的平均增长率为，利用年的年销售量年的年销售年销售量的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
当时，，
解得，
抛物线与轴的交点坐标为，．

【解析】设顶点式，再把代入求出，从而得到抛物线解析式；
通过解方程得到抛物线与轴的交点坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式．
 

21.【答案】解：是直径

在中，，，

；

平分，
，
，
又在中，

．
的面积．

【解析】先根据直径所对的角是，判断出和是直角三角形，根据圆周角的平分线交于，判断出为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．
求得和的长后利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是圆周角定理及勾股定理、等腰三角形的性质，根据题意得出等腰直角三角形是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：，
方程总有两个不相等的实数根，
，
．
由，
，，
原式，
整理得，
解得或．
，
故的值为．

【解析】由方程求出判别式即可．
由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．
 

23.【答案】解：，
，
，
；

，
，
当时，有最大值为平方米；

，
，
当时，花圃的最大面积为平方米．

【解析】根据为，为，利用长方形的面积公式，可求出关系式．
由可知与为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的的长；
根据的长度大于且小于等于列出不等式组求解即可．
本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉．
 

24.【答案】证明：，
，
四边形内接于，
，
由圆周角定理得，，
是等边三角形；
解：，
理由如下：在上截取，

，
为等边三角形，
，，
，
，
，
由圆周角定理得，，
在和中，

≌，
，
．

【解析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理、等边三角形的判定定理证明；
在上截取，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论．
 

25.【答案】 

【解析】解：当时，，解得，则，
当时，，则，
，，
绕点顺时针旋转后得到，
，，
，；
故答案为，；
，，
而点是的中点，
；
把，代入得，
解得，；
存在．
抛物线的解析式为，易得直线的解析式为，
当为对角线时，如图，
、点在轴上，四边形为菱形，
点与点关于轴对称，
设，则，
把代入得，解得舍去，，
此时，
，
菱形的周长；
当为边时，如图，设，则，
四边形为菱形，
，，
，
把代入得，解得舍去，，
此时菱形的周长，
综上所述，菱形的周长为或．
先利用一次函数解析式确定，，则，，再利用旋转的性质得，，从而得到，；
先确定，然后把点和点坐标代入得，再解方程组可确定、的值；
抛物线的解析式为，易得直线的解析式为，讨论：当为对角线时，如图，利用菱形的性质得点与点关于轴对称，设，则，
再把代入得，解方程求出得到点坐标，然后计算的长，从而得到菱形的周长；当为边时，如图，设，则，利用菱形的性质得，，则可表示出，再把代入得，解方程求出，然后计算可得到此时菱形的周长．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握旋转的性质、二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．