2022年广西南宁三中中考数学一模试卷

这是一份2022年广西南宁三中中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣3的相反数为（ ）
A．﹣3B．C．D．3
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（ ）
A．y＝﹣2xB．y＝2xC．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3ab﹣2ab＝1B．（3a2）2＝9a4C．a6÷a2＝a3D．3a2•2a＝6a2
5．（3分）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）设，则（ ）
A．2＜a＜3B．3＜a＜4C．4＜a＜5D．5＜a＜6
7．（3分）已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（3分）如图尺规作图，OC为∠AOB的平分线，这样的作法依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
9．（3分）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．80°B．120°C．100°D．90°
10．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
11．（3分）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．水温不低于30℃的时间为min
12．（3分）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
A．﹣2＜cB．﹣4＜cC．﹣4＜cD．﹣10＜c
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）因式分解：x3﹣81x＝ ．
15．（3分）将一个宽度相等的纸条按如图所示的方法折叠一下，则∠1＝ ．
16．（3分）以▱ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后的坐标是 ．
17．（3分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m．
18．（3分）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）﹣15．
20．（6分）解方程：x2﹣4x+2＝0．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）．
（1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2．
（3）在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
22．（8分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“A”或“B”），理由是 ，
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．
23．（8分）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cs66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，1.414）
24．（10分）某苹果经销商在销售苹果时，经市场调查：当苹果的售价为10元/千克时，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．设苹果售价为x元/千克（x≥10，且x为整数）．
（1）若某日苹果的销售量为28千克，直接写出该日苹果的销售单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克，设该经销商的日销售额为W元，求W的最大值和最小值；
（3）若政府每日给该经销商补贴10m元后（m为正整数），发现只有5种不同的售价使日收入不少于500元，请直接写出m的值．（日收入＝销售额+政府补贴）
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于点D，BE交⊙O于点F，连接BD、BC、CF，∠BFC＝∠AED．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求证：OB2＝OD•OE；
（3）设△BAD的面积为S1，△BDE的面积为S2，若tan∠ODB，求的值．
26．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+1的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，点D是第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交x轴于点E，线段CB的延长线交DE于点M，连接OM，BD交于点N．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当S△OEM＝S△DBE时，求点D的坐标及sin∠DAE的值；
（3）在（2）的条件下，点P是x轴上一个动点，求DPAP的最小值．
2022年广西南宁三中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（3分）﹣3的相反数为（ ）
A．﹣3B．C．D．3
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：D．
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（ ）
A．y＝﹣2xB．y＝2xC．D．
【解答】解：设该正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵正比例函数的图象经过点（2，﹣1），
∴﹣1＝2k，解得k，
∴这个正比例函数的表达式是yx．
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3ab﹣2ab＝1B．（3a2）2＝9a4C．a6÷a2＝a3D．3a2•2a＝6a2
【解答】解：A、3ab﹣2ab＝ab，故此选项错误；
B、（3a2）2＝9a4，正确；
C、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
D、3a2•2a＝6a3，故此选项错误．
故选：B．
5．（3分）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：解不等式x+1＞2，得：x＞1，
解不等式2x﹣3≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：A．
6．（3分）设，则（ ）
A．2＜a＜3B．3＜a＜4C．4＜a＜5D．5＜a＜6
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴23，
∴42＜5，
∴4＜a＜5．
故选：C．
7．（3分）已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：根据题意得：，
解得：a＝1，
经检验，a＝1是原分式方程的解，
∴a＝1．
故选：A．
8．（3分）如图尺规作图，OC为∠AOB的平分线，这样的作法依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【解答】解：在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
∴∠EOC＝∠DOC．
故选：A．
9．（3分）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．80°B．120°C．100°D．90°
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：B．
10．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
故选：A．
11．（3分）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．水温不低于30℃的时间为min
【解答】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：8min，
故A选项不合题意；
由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y，
代入点（8，100）可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y，
故B选项不合题意；
令y＝20，则20，
∴x＝40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100℃，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x＝10，则y80℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min，
令y＝30，则30，
∴，
∴水温不低于30℃的时间为min，
故选：D．
12．（3分）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
A．﹣2＜cB．﹣4＜cC．﹣4＜cD．﹣10＜c
【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x，
将x＝﹣2代入y＝2x得y＝﹣4，
将x＝4代入y＝2x得y＝8，
设A（﹣2，﹣4），B（4，8），如图，
联立方程x2﹣x+c＝2x，
当Δ＞0时，抛物线与直线y＝2x有两个交点，
即9﹣4c＞0，
解得c，
此时，直线x＝﹣2和直线x＝4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝6+c，
把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c，
∴，
解得c＞﹣4，
∴﹣4＜c满足题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式有意义．
故答案为：x≠2．
14．（3分）因式分解：x3﹣81x＝ x（x+9）（x﹣9） ．
【解答】解：x3﹣81x，
＝x（x2﹣81），
＝x（x+9）（x﹣9）．
15．（3分）将一个宽度相等的纸条按如图所示的方法折叠一下，则∠1＝ 70° ．
【解答】解：根据题意知题中所给的纸条两边平行，由两直线平行内错角相等可得出：2∠1＝140°，
解得：∠1＝70°．
故答案为：70．
16．（3分）以▱ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后的坐标是 （5，5） ．
【解答】解：图形如上：可得C（5，3），
∴平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是（5，5）．
故答案为：（5，5）．
17．（3分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 （44） m．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA＝OBAB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过将A点坐标（﹣2，0）代入抛物线解析式可得出：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：
﹣2＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（44）米，
故答案为：44．
18．（3分）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 ．
【解答】解：∵CF⊥AE，
∴∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的圆上运动，
以AC为直径画半圆AC，连接OA，
当点E与B重合时，此时点F与G重合，
当点E与D重合时，此时点F与A重合，
∴点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，
∵点G为OD的中点，
∴OGODOA＝2，
∵OG⊥AB，
∴∠AOG＝60°，AG＝2，
∵OA＝OC，
∴∠ACG＝30°，
∴AC＝2AG＝4，
∴所在圆的半径为2，圆心角为60°，
∴的长为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）﹣15．
【解答】解：2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）﹣15
＝2×9﹣4×（﹣3）﹣15
＝18+12+（﹣15）
＝15．
20．（6分）解方程：x2﹣4x+2＝0．
【解答】解：x2﹣4x+2＝0
x2﹣4x＝﹣2
x2﹣4x+4＝﹣2+4
（x﹣2）2＝2，
则x﹣2＝±，
解得：x1＝2，x2＝2．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）．
（1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2．
（3）在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）如图所示：当△OB2P的面积为6时，点P的坐标为：（0，4），
（0，﹣4）．
22．（8分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 B （填“A”或“B”），理由是 该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数 ，
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．
【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8＝60，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，
∴中位数在70≤x＜80这一组，
∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，
∴A课程的中位数为78.75，即m＝78.75；
（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，
∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，
故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．
（3）估计A课程成绩超过75.8分的人数为300180人．
23．（8分）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cs66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，1.414）
【解答】解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK⊥DE，垂足为K，
∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，
∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），
在Rt△BMH中，
cs∠BMH0.4，
∴∠BMH＝66.4°，
∵AB∥MP，
∴∠BMH+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；
（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，
∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，
∵MN＝28cm，
∴cs45°，
∴MI≈19.80cm，
∵KI＝50cm，
∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），
∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．
24．（10分）某苹果经销商在销售苹果时，经市场调查：当苹果的售价为10元/千克时，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．设苹果售价为x元/千克（x≥10，且x为整数）．
（1）若某日苹果的销售量为28千克，直接写出该日苹果的销售单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克，设该经销商的日销售额为W元，求W的最大值和最小值；
（3）若政府每日给该经销商补贴10m元后（m为正整数），发现只有5种不同的售价使日收入不少于500元，请直接写出m的值．（日收入＝销售额+政府补贴）
【解答】解：（1）根据题意得：40﹣2（x﹣10）＝28，
解得x＝16，
∴该日苹果的单价为16元/千克；
（2）根据题意得：W＝x[40﹣2（x﹣10）]＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，
由题意得：10≤x≤18，且x为正整数，
∵﹣2＜0，
∴当x＝15时，W有最大值，最大值为450元．
当x＝10时，W有最小值，最小值为：﹣2×（10﹣15）2+450＝400（元）．
∴W的最大值为450元，W的最小值为400元；
（3）由题意得：﹣2x2+60x+10m≥500，
∵只有5种不同的单价使日收入不少于500元，5为奇数，
∴由二次函数的对称性可知，x的取值为13，14，15，16，17．
∵当x＝13时，y＝442+10m，
当x＝12时，y＝432+10m，
∴432+10m＜500≤442+10m，
解得5.8≤m＜6.8，
∵m为正整数，
∴m＝6．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于点D，BE交⊙O于点F，连接BD、BC、CF，∠BFC＝∠AED．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求证：OB2＝OD•OE；
（3）设△BAD的面积为S1，△BDE的面积为S2，若tan∠ODB，求的值．
【解答】解：（1）证明：∵∠BFC＝∠AED，
又∠BFC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠AED，
∵OE⊥AC于点D，
∴∠ADE＝∠ADO＝90°，
∴∠AED+∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝90°，即∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵∠OAE＝∠ADO＝90°，∠AOD＝∠EOA，
∴△AOD∽△EOA，
∴，
∴OA2＝OD•OE，
∵OB＝OA，
∴OB2＝OD•OE；
（3）∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADO＝90°，
∴∠ACB＝∠ADO，
∴OE∥BC，
∴∠ODB＝∠DBC，
在Rt△BCD中，tan∠DBC＝tan∠ODB，
设DC＝2m，则BC＝3m，
∴ODBC，
∵OE⊥AC于点D，
∴AD＝DC＝2m，
∴OA＝OB，
由（2）知OB2＝OD•OE，
∴，
而∠BOD＝∠EOB，
∴△BOD∽△EOB，
∴，
∴设S△BOD＝9k，则S△EOB＝25k，
∴△BDE的面积为S2＝S△EOB﹣S△BOD＝16k，
而△BAD的面积为S1＝2S△BOD＝18k，
∴．
26．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+1的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，点D是第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交x轴于点E，线段CB的延长线交DE于点M，连接OM，BD交于点N．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当S△OEM＝S△DBE时，求点D的坐标及sin∠DAE的值；
（3）在（2）的条件下，点P是x轴上一个动点，求DPAP的最小值．
【解答】（1）把点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，0）代入y＝ax2+bx+1得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为y；
（2）∵二次函数的表达式为y；
∴C点坐标为（0，1），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1，
∵DE∥y轴，
∴，，
∵S△OEM＝S△DBE，
∴OE•EM＝BE•DE，
设D（m，），M（m，﹣m+1），
∴BE＝m﹣1，EM＝m﹣1，OE＝m，DE，
∴m（m﹣1）＝（m﹣1）（），
解得a＝2，a＝1（舍去），a＝﹣1（舍去），
∴D（2，﹣2），
∴AE＝OA+OE＝2+2＝4，DE＝2，
∴，
∴sin∠DAE．
（3）如图，作D关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AD于点H，交轴于点P，则PD＝PF，
∵∠AED＝90°，
∴sin∠DAE，
∴
∴DPAP＝FP+HP，此时FH最小，
∵∠APH＝∠FPE，
∴∠DAE＝∠HFD，
∴，
∴．
∴DPAP的最小值为．
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