北京市燕山区2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题

这是一份北京市燕山区2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题，共22页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，下列运算正确的是，有下列四个条件等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前
北京市燕山区2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分



一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ）
A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形
2．如图，□ABCD中，AD＝4，AB＝2，则□ABCD的周长为（       ）

A．6 B．8 C．12 D．14
3．下列根式中，化简后可以与合并的是（       ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（       ）
A． B． C． D．
5．下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（       ）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．，， D．1，，2
6．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（       ）

A．5 B．6 C．8 D．10
7．如图，□ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC的中点，CD＝8，则OE＝（       ）

A．3 B．4 C．5 D．7
8．已知菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的边长为（     ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
9．有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是（       ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
10．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（       ）.

A．6 B．8 C．12 D．24
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



二、填空题
11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____．
12．计算：__________，________．
13．如果，那么的值是________．
14．比较大小：_____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
15．如图,四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD为平行四边形,则可添加的条件为_______________________________.(填一个即可) 

16．一艘船以20海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船以15海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距______海里．
17．如图，点E在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形，则∠EAD＝______°．

18．在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．


小云的作法如下：
(1)在直线l上任取一点B；
(2)以B为圆心，BA长为半径作弧，交直线l于点C；
(3)分别以A、C为圆心，BA长为半径作弧，两弧相交于点D；
(4)作直线AD．直线AD即为所求．



小云作图的依据是_______________________________．
评卷人
得分



三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．已知，，求的值．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且，求证：四边形AECF是平行四边形．

22．如图，四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．

23．春节期间，乐乐帮妈妈挂灯笼时，发现，如图长2.5米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为1.5米，当梯子的底端向右移动0.5米到处时，你能帮乐乐算算梯子顶端下滑多少米吗？（处）．

24．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．

（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．
25．阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记半周长为p，即，那么这个三角形的面积，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式．中国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，称“三斜求积术”，所以这个公式也称为“海伦—秦九韶公式”．
完成下列问题：
如图，△ABC中，三边长分别为a＝7，b＝5，c＝6．

(1)求△ABC的面积；
(2)过点C作CD⊥AB，垂足为点D，请补全图形，并求线段BD的长．
26．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形．
(1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是 （请填序号）；
①平行四边形            ②菱形             ③矩形          ④正方形

(2)如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，BC上的点，且AE＝BF，求证：四边形DEBF是完美四边形；
(3)完美四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，连接AC．
①如图2，求证：CA平分∠DCB；
②如图3，当∠BAD＝90°时，直接用等式表示出线段AC，BC，CD之间的数量关系．

参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义即可判断．
【详解】
A. 矩形是轴对称图形，不符合题意；
B. 菱形是轴对称图形，不符合题意；
C. 平行四边形不是轴对称图形，符合题意；
D. 正方形是轴对称图形，不符合题意；
故选C.
【点睛】
本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义.
2．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】
解：在中，
∵AD=4，AB=2，
∴的周长为2×（2+4）=12，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
3．B
【解析】
【分析】
先把每一个二次根式根式化成最简二次根式，即可判断．
【详解】
解：A、=2，不可以与合并，故A不符合题意；
B、，可以与合并，故B符合题意；
C、，不可以与合并，故C不符合题意；
D、，不可以与合并，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了同类二次根式，准确熟练地把每一个二次根式根式化成最简二次根式是解题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
直接根据二次根式的加减运算法则进行计算后再判断即可．
【详解】
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，计算正确，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】
解：A.∵1+2=3，
∴以1、2，3为边不能组成三角形，
故A不符合题意；
B.∵42+52=16+25=41，62=36，
∴42+52≠62，
∴以4、5，6为三角形的三边，不是直角三角形，
故B不符合题意；
C.∵，，
∴，
∴以，，为三角形的三边，不是直角三角形，
故C不符合题意；
D.∵，22=4，
∴，
∴以1，，2为三角形的三边，是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
【详解】
解：Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是斜边AC的中点，AC=10，
则OB=AC=5，
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得出，然后由三角形中位线的性质得出．
【详解】
由题意可知：，
，分别为，的中点，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线的性质，解题的关键是掌握相关知识并学会应用，属于基础题．
8．D
【解析】
【分析】
先结合题意作图，再根据菱形的性质求得OD，OA的长，再根据勾股定理求得边长AD的长．
【详解】
根据题意作图如下：

∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，
∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，
在直角三角形AOD中AD===5cm，故选D.
【点睛】
本题考查勾股定理和菱形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和菱形的性质.
9．B
【解析】
【分析】
根据平行四边形和矩形的判定逐项判断即可．
【详解】
解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本条件不合题意；
②对角线互相垂直的四边形不一定互相平分，不一定是平行四边形，故本条件不合题意；
③对角线相等的平行四边形是矩形，故本条件合题意；
④有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本条件合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形和矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
10．C
【解析】
【分析】
根据题意和图形，可以先设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图2和图3可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得图1中菱形的面积．
【详解】
解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
，
解得，
∴图1中菱形的面积为：，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．
【解析】
【分析】
由使得二次根式有意义的条件即可得到答案．
【详解】
解：二次根式有意义，则
解得

故答案为：
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．     5     8
【解析】
【分析】
根据平方根的性质，即可求解．
【详解】
解：；
．
故答案为：5；8.
【点睛】
本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
13．9
【解析】
【分析】
本题可根据非负数的性质“几个非负数相加和为0，这几个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入原式中即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴a=3，b=2，
∴．
故答案为：9．
【点睛】
此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
14．＜
【解析】
【分析】
先把根号外的因式移入根号内，再比较大小即可．
【详解】
∵=，=，＜，
∴＜，
故答案为：＜
【点睛】
本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．
15．AD∥BC(答案不唯一)
【解析】
【分析】
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得添加的条件为．
【详解】
解：四边形ABCD中，，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为，
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
16．25
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，根据题目中AB、AC的夹角可知它为直角三角形，然后根据勾股定理解答．
【详解】
解：如图，

∵由图可知AC=20×1=20（海里），
AB=15×1=15（海里），
在Rt△ABC中，BC=（海里）．
故它们相距25海里．
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
17．15
【解析】
【分析】
由E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，易证得△ABE是等腰三角形，且∠ABE=30°，易求得∠ADE=∠ADC-∠EDC，继而求得答案．
【详解】
解：∵E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，∠EBC=60°，BC=BE=AB，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=30°，
∵BA=BE，
∴∠EAB=∠AEB=（180°-30°）=75°，
∴∠EAD=90°-75°=15°，
故答案为：15．
【点睛】
此题考查了正方形的性质以及等腰三角形、等边三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18．四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．
【解析】
【分析】
利用作法可判定四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质得到AD与l平行．
【详解】
由作法得：BA＝BC＝AD＝CD，
所以四边形ABCD为菱形，
所以AD∥BC．
故答案为：四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．
【点睛】
本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19．(1)；
(2),
【解析】
【分析】
（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的乘除运算法则计算即可．
(1)
解∶ 原式＝
＝；
(2)
解∶ 原式＝   
＝．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
20．19
【解析】
【分析】
先将原式转化为，再将a、b的值代入计算即可．
【详解】
解：
＝
＝   
＝28－9
＝19，
故答案为：19.
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，属于常考题型，熟练掌握完全平方公式和二次根式的运算法则是解题关键．
21．证明见解析．
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质得到，，，，证明，得到，再证明，得到，即可证明四边形AECF是平行四边形．
【详解】
证明：∵ABCD为平行四边形，
∴，，，，
∴，
在和中，

∴，
∴，
同理：∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质.解题的关键是证明，．
22．S四边形ABCD＝144
【解析】
【分析】
连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．
【详解】
解：连接AC，

在△ABC中，
∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC==10，
S△ABC=AB•BC=×6×8=24，
在△ACD中，
∵CD=24，AD=26，AC=10，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD=AC•CD=×10×24=120．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=24+120=144．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
23．0.5米
【解析】
【分析】
在中，由勾股定理可求出AC的值，在中，由勾股定理可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可得出答案．
【详解】
解：∵，在中，由勾股定理得，，
∴米，（负值已舍去）
∵米，
∴在中，，
∴米
∴（米）
答：梯子顶端下滑0.5米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，在直角三角形里根据勾股定理，知道其中两边就可求出第三边，从而可求解．
24．（1）见解析；（2）EF=．
【解析】
【分析】
（1）先证明四边形BCEF是平行四边形，再根据垂直，即可求证；
（2）根据勾股定理的逆定理，求得△CDF是直角三角形，等面积法求得CE，勾股定理即可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵EF=DA，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF=90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3，
∵CF=4，DF=5，
∴CD2+CF2=DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°，
∴△CDF的面积=DF×CE=CF×CD，
∴CE=，
由（1）得：EF=BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC=90°，BF=CE=，
∴BC=，
∴EF=．
【点睛】
此题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
25．(1)；
(2)补全图形见解析，BD＝5.
【解析】
【分析】
（1）根据海伦公式计算即可；
（2）根据等面积法求出CD的长，再根据勾股定理求BD即可．
(1)
解：，

=   
＝；
(2)
解：补全图形如图所示：

，
∴CD＝，
∴BD＝＝5．
【点睛】
本题考查了二次根式的应用、数学常识，根据等面积法求出CD的长是解题的关键．
26．(1)④
(2)见解析
(3)①见解析；②
【解析】
【分析】
（1）根据完美四边形的定义即可选择；
（2）连接BD，由菱形的性质易证△ADE≌△BDF(SAS)，即得出DE＝DF，∠AED＝∠BFD．从而可求出∠BFD+∠DEB＝180°，即证明四边形DEBF是完美四边形；
（3）①延长CB至点E，使BE＝CD，即可证明△ADC≌△ABE(SAS)，得出∠ACD＝∠E，AC＝AE，从而可证明∠ACE＝∠E，得出∠ACD＝∠ACE，即CA平分∠DCB；②由全等三角形的性质可得∠DAC＝∠BAE，BE=CD，即可求出∠DAC=∠CAE=90°，即证明为等腰直角三角形，再结合勾股定理即得出，即．
(1)
平行四边形邻边不相等，故①不是完美四边形；菱形对角不互补，故②     不是完美四边形；矩形邻边不相等，故③不是完美四边形；正方形邻边相等，且对角互补，故④是完美四边形．
故答案为：④；
(2)
证明：如图，连接BD，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，．
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝120°，
∴AD＝BD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝60°＝∠A．
∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴DE＝DF，∠AED＝∠BFD．
∵∠AED+∠DEB＝180°，
∴∠BFD+∠DEB＝180°，
∴四边形DEBF是完美四边形；
(3)
①证明：延长CB至点E，使BE＝CD，

∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC +∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠D．
又∵AB＝AD，
∴△ADC≌△ABE(SAS)，
∴∠ACD＝∠E，AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E，
∴∠ACD＝∠ACE，
∴即CA平分∠DCB．
②∵△ADC≌△ABE
∴∠DAC＝∠BAE，BE=CD，
∴∠DAC+∠CAB＝∠BAE+∠CAB，即∠DAC=∠CAE=90°，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，
∴．
【点睛】
本题考查特殊四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识．读懂题意，理解完美四边形的定义是解题关键．