宁夏平罗中学2022届高三下学期第三次模拟数学（理）试题

这是一份宁夏平罗中学2022届高三下学期第三次模拟数学（理）试题，共24页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知，则，某四棱锥的三视图如图所示等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前宁夏平罗中学2022届高三下学期第三次模拟数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分    注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．已知复数z在复平面内所对应点的坐标为，则（       ）A． B． C． D．2．已知集合，，则为（       ）A． B． C． D．3．第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式．在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（每组数据以区间的中点值为代表）（       ）A．直方图中b的值为0.025B．候选者面试成绩的中位数约为69.4C．在被抽取的学生中，成绩在区间之间的学生有30人D．估计候选者的面试成绩的平均数约为69.5分4．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（       ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则5．像2，3，5，7这样只能被1和它自己整除的正整数称为素数（也称为质数），设x是正整数，用表示不超过x的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x充分大时，，则利用此公式求出不超过10000的素数约有（）（       ）A．1085个 B．1025个 C．980个 D．860个6．朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五向中有如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，”其大意为“官府陆续派遣1864人修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人”，则派出总人数为708人时，共用时（       ）A．7天 B．8天 C．9天 D．10天7．已知，则（       ）A． B． C． D．8．某四棱锥的三视图如图所示（实线部分），图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积为（       ）A． B．5 C．2 D．9．在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且，则（       ）A．6 B．8 C．9 D．1210．一个6位数的密码，第1位的数字为8，其余5个位置，每个数字都小于3，并且5个数字之和小于等于3，则满足条件的密码个数为（       ）A．49 B．50 C．51 D．5211．已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．12．已知正方体的棱长为3，动点M在侧面上运动（包括边界），且，则与平面所成角的正切值的取值范围为（       ）A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  二、填空题13．在的展开式中，的系数为___________(用数字作答)14．实数x，y满足约束条件，则的最大值为_______15．双曲线的左，右焦点分别为、，过点的直线l交双曲线的右支于A、B两点，且，，则双曲线的离心率为______．16．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若集合，集合，则______．评卷人得分  三、解答题17．已知数列的前项和为．(1)求出数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．18．如图，正三棱柱中，，点是棱的中点．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．19．我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为，收益率为％的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为0.4，收益率为％的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5．(1)已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；(2)若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：年份x20182019202020211234累计投资金额y（单位：亿元）2356 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元．附：收益＝投入的资金×获利的期望；线性回归中，，．20．已知椭圆：的左、右焦点，恰好是双曲线的左右顶点，椭圆上的动点满足，过点的直线交椭圆C于，两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆上是否存在点使得四边形（为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数（，e为自然对数的底数）．(1)若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；(2)讨论函数的单调性；(3)当时，求证：．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．23．设函数．(1)求不等式的解集；(2)当，若恒成立，求的最小值．
参考答案：1．A【解析】【分析】先求得，然后求得，由此求得.【详解】因为复数z在复平面内所对应的点为，所以，故，故．故选：A2．B【解析】【分析】解不等式求得集合，由此求得.【详解】.所以，由于，所以．故选：B3．C【解析】【分析】利用频率之和为求得，由此判断A选项的正确性，根据中位数、平均数的求法判断BD选项的正确性，通过计算成绩在区间之间的频数来判断C选项的正确性.【详解】对于A，∵，∴，故A正确；对于B，设候选者面试成绩的中位数为x，则，解得，故B正确；对于C，成绩在区间的频率为，故人数有，故C错误；对于D，，故D正确．故选：C4．D【解析】【分析】根据空间中线面的位置关系逐一分析判断即可得解.【详解】解： 对于A，若，，则平行，相交或异面，故A错误；对于B，若，，则相交或平行；对于C，若，，，则平行或异面或相交，故C错误；对于D，若，，则，又，则，故D正确.故选：D.5．A【解析】【分析】根据进行计算，从而确定正确选项.【详解】由题知：．故选：A6．B【解析】【分析】根据已知条件可知每天派出的人数构成一个等差数列，利用等差数列的前n项和公式即可求解.【详解】由题意可知，每天派出的人数构成一个等差数列，其中首项，公差，记数列的前n项和为，则，当时，解得．故选：B．7．D【解析】【分析】根据已知条件，求出，利用正弦的二倍角公式及平方关系，结合齐次式即可求解.【详解】由，得，．故选：D．8．C【解析】【分析】根据三视图还原原图，结合锥体体积计算公式求得几何体的体积.【详解】根据三视图，还原后的图形如图所示，，，，，平面ABCD，，．故选：C9．D【解析】【分析】设出的坐标，根据列方程，化简求得，结合抛物线的定义求得.【详解】依题意.设，，，，，，，又，故，∴，∴．故选：D10．C【解析】【分析】结合数字的限制条件进行分类讨论，由此求得满足条件的密码个数.【详解】其余5个数在0，1，2三个数中任取一个，要5个数字和小于等于3，则有以下情况：五个0；四个0，一个1或2；三个0，两个1或一个1一个2；两个0，三个1．总数为．故选：C11．C【解析】【分析】令，由已知得在区间单调递减， 为偶函数，且在区间单调递增，由此可将不等式等价转化为，求解即可.【详解】解：令，则当时，，所以在区间单调递减，又，所以为偶函数，且在区间单调递增，又，即，所以，即，得或，故选：C.12．B【解析】【分析】找到点M在平面的投影为点N，在平面平面上，建立平面直角坐标系，求出点N的轨迹方程，进而数形结合求出，从而求出答案.【详解】设点M在平面的投影为点N，则，所求线面角为，则，因为，所以，在平面上，以A为坐标原点，AD为x轴，为y轴建立平面直角坐标系， 则，，设，，化简得：，，故点N的轨迹为以为圆心，半径为2的且位于第一象限的圆弧ST，如图所示，连接，与圆弧ST相交于点，此时取得最小值，由勾股定理得：，所以，当点N与S重合时，取得最大值，由勾股定理得：，则，． 故选：B．【点睛】立体几何中轨迹问题，建立合适的坐标系，求出轨迹方程是解决问题的重要方法，将几何问题代数化，数形结合解决问题.13．15【解析】【分析】集合二项式展开式的通项公式即可求出结果.【详解】由二项式的展开式的通项公式，得，令，则，所以系数为，故答案为：15.14．2【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，平移目标函数，找出最优解，即可求出的最大值.【详解】如图，作出约束条件表示的可行域，目标函数可化为，当且仅当动直线经过点时，取得最大值，由，解得，的最大值为2.故答案为：215．##【解析】【分析】设出双曲线的焦距，利用双曲线定义结合三角形余弦定理列式计算作答.【详解】令，则，依题意，，，等腰中，，而，在中，由余弦定理得：，整理得：，即，而，解得，所以双曲线的离心率为.故答案为：16．【解析】【分析】根据图像求出g(x)的解析式，再求出f(x)解析式，求出A集合，根据集合交集运算法则计算即可.【详解】由图可知周期，∴．由得，∴，，∵，∴k取0，，∴，∴，∴．∴，，∴，∴．故答案为：﹒17．(1)(2)【解析】【分析】(1)根据写式子，两式子相减整理得，即为等比数列，即可写出通项公式.(2)由(1)可得，利用错位相减求和法即可得到答案.(1)∵①，∴②，由②﹣①可得：，即，又当时，有，∴数列是以3为首项，公比为2的等比数列，故；(2)由(1)可得：，∴③，又④，由③﹣④可得：，∴.18．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，证得，由平面平面，证得，得到，证得平面，得到，进而证得平面，从而得到；（2）以为原点建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.(1)证明：设的中点为，连接∵正方形中，，∴，∴，∵平面平面，∴，又∵，M为中点，∴，∵，且平面，∴平面，又∵平面，∴，∵平面平面，∴平面∵平面，∴(2)解：如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量则，取，可得，设平面的法向量则，取，可得，所以，又由二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．19．(1)该风投公司投资光刻胶项目；(2)；2022年年末．【解析】【分析】（1）设投资光刻机项目和光刻胶项目的年收益分别为和，分别列出和的分布列，计算出数学期望，使期望值相等求解出的值，再计算方差即可比较；（2）根据题目所给公式先计算回归系数和，写出回归直线方程，列出收益的表达式，使收益大于或等于亿元，求解的取值范围．(1)若投资光刻机项目，设收益率为，则的分布列为0.3Pp 所以．若投资光刻胶项目，设收益率为，则的分布列为0.30P0.40.10.5 所以．因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，所以，所以．因为，，所以，，这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥．综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目．(2)，，，，则，，故线性回归方程为．设该公司在芯片领域的投资收益为Y，则，解得，故在2022年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过0.75亿元．20．(1)(2)存在，使得四边形为平行四边形【解析】【分析】（1）先求出，再根据求出，代入公式求解即可；（2）分直线的斜率不存在和存在两种情况计算即可.(1)因为的左右顶点为和，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以椭圆的标准方程为：(2)假设存在点使得四边形（为原点）为平行四边形，设，当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，所以，，因为为平行四边形，所以，所以，所以，即，点在椭圆上，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，，，，整理得，所以，，，因为为平行四边形，所以，所以，即，所以，将点代入椭圆方程得，，方程无解，故当直线的斜率存在时，不存在点.综上所述，存在，使得四边形为平行四边形.【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．21．(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解；（2）由于，令，得或，通过比较两个值分类讨论得到单调区间；（3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明.(1)，则，由已知，解得(2)（ⅰ）当时，，所以，，则在上单调递增，在上单调递减；（ⅱ）当时，令，得，①时，，所以或，，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；②时，，则在上单调递增；③时，，所以或，，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．综上，时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．(3)方法一：等价于当时，令令，则在区间上单调递增   ∵，∴存在，使得，即当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增∴∴，故方法二：当时，令，则，令，则当时，；当时，∴在区间上单调递减，上单调递增．∴，即∴，【关键点点睛】解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用.22．(1)曲线C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为.(2)【解析】【分析】（1）消去参数得到普通方程，利用公式将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）写出符合要求的直线参数方程，利用t的几何意义求解答案.(1)已知曲线（为参数），则曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为，则直线l的直角坐标方程为．(2)由于在直线l上，可设直线l的参数方程的标准形式为（t为参数），代入曲线C：，化简得：，，设A，B对应的参数分别为，，则，，由于，故，所以23．(1)(2)9【解析】【分析】（1）利用零点分段法来求得不等式的解集.（2）画出的图象，结合图象以及恒成立求得的最小值.(1)原不等式，即为，当时，，解得：，即当时，，解得：，即，当时，，解得，即，综上所述，不等式的解集为．(2)，函数的图象如图所示，由函数的图象知各部分所在直线的斜率的最大值为4，且过点，故当且仅当且时，在恒成立，因此，当，时取等号．故的最小值为9．