湖南省岳阳市2022届高三下学期教学质量监测（三）数学试题-

这是一份湖南省岳阳市2022届高三下学期教学质量监测（三）数学试题-，共26页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
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湖南省岳阳市2022届高三下学期教学质量监测（三）数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
五
总分
得分






注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分



一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），则z的共轭复数（       ）
A． B． C． D．
2．（       ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（       ）
A． B．
C． D．
4．“直线与直线没有公共点”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中k为常数，，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（       ）
A．5% B．3% C．2% D．1%
6．甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（       ）
A．甲胜乙 B．乙胜丙 C．乙平丁 D．丙平丁
7．已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（       ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的两个焦点为、，点M，N在C上，且，，则双曲线C的离心率为（       ）
A． B．
C． D．
评卷人
得分



二、多选题
9．若函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列关于函数的说法中，错误的是（       ）
A．数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数的单调递增区间为
D．函数是偶函数
10．已知随机变量X服从正态分布，密度函数，若，则（       ）
A． B．
C．在上是增函数 D．
11．已知则（       ）
A． B．
C． D．
12．如图，圆柱的轴截面是正方形，E在底面圆周上， ，F是垂足，G在BD上， ，则下列结论中正确的是（       ）

A．
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角的余弦值为．
D．若平面平面，则
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



三、填空题
13．已知是两个单位向量，，且，则__________．
14．过抛物线的焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线的倾斜角为___________．
15．已知函数，，若，，使得，则______．
评卷人
得分



四、双空题
16．在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________．
评卷人
得分



五、解答题
17．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，．
(1)若，求的面积；
(2)试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由．
18．已知数列的前n项和为，且， .请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和，求证：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．如图，在三棱柱中，平面，且D为线段的中点.

(1)证明：；
(2)若到直线的距离为，求二面角的余弦值.
20．2022年是奥运会，我国北京和张家口联合承办第二十四届冬季奥运会，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项.某校为了调查学生是否喜欢冬季冰雪运动与性别有关，在高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：

喜欢
不喜欢
合计
男生



女生



合计




已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，表格中，.
(1)完成列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；
(2)从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：，其中.

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001

0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828

21．已知函数．
(1)若，求a的值；
(2)当时，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
①；
②．
22．在圆上任取点，过点作轴的垂线，是垂足，点满足： .
(1)求点的轨迹方程；
(2)若，过点作与坐标轴不垂直的直线与点的轨迹交于、两点，点是点关于轴的对称点，试在轴上找一定点，使、、三点共线，并求与面积之比的取值范围.

参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据复数除法运算化简，结合共轭复数定义，即可求得答案.
【详解】


故
故选：A.
2．D
【解析】
【分析】
根据余弦的倍角公式，化简运算，即可求解.
【详解】
由余弦的倍角公式，可得.
故选：D.
3．A
【解析】
【分析】
由指数函数和对数函数单调性，结合特殊角三角函数值可比较出大小关系.
【详解】
，.
故选：A.
4．B
【解析】
【分析】
由两直线没有公共点时，可能平行，也可能是异面直线，结合充分、必要条件的概念进行判定.
【详解】
直线与直线没有公共点时，它们可以平行，也可能是异面直线，故“直线与直线没有公共点”是“”的必要不充分条件，
故选：B
5．B
【解析】
【分析】
根据前4小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，求出，再计算经过6小时，空气中剩余污染物的残留量，可得答案.
【详解】
由题可得，前4小时，废气中的污染物恰好被过滤掉90%，
故由得，所以，即，
由再过滤2小时，即共6小时，空气中剩余污染物为
，
，故污染物所剩比率约为,
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为16分，由比赛计分规则可得出在6场比赛中有2场比赛是平局，丁在3场比赛中有1场是平局，丙在3场比赛中有1场是平局，
乙在3场比赛中有2局是平局，由此可得答案.
【详解】
解：甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为6+5+4+1=16分，
由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以在6场比赛中有2场比赛是平局，即，
丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3场比赛中有1场是平局，
丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3场比赛中有1场是平局，
而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，
故选：C.
7．B
【解析】
【分析】
由题意画图，数形结合可知，当圆心在C处时，点到直线的距离最大，进而可求结果.
【详解】

如图：圆心为，经过原点，可得
则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为
延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，
当圆心在C处时，点到直线的距离最大为
此时，圆上点D到直线的距离最大为
故选：B
【点睛】
关键的点睛：由题意画图，数形结合可得，点D到直线的距离最大是解题的关键.本题考查了作图能力，数形结合思想，运算求解能力，属于一般题目.
8．D
【解析】
【分析】
根据，，由双曲线对称性可知，直线与交于y轴上一点P，且为等腰直角三角形，可得的坐标，分别求出，再根据双曲线的定义即可得出答案.
【详解】
解：因为，，
由双曲线对称性可知，直线与交于y轴上一点P，
且为等腰直角三角形，
所有，
如图，则，，，
所以，，
则，即，
则．
故选：D.

9．ABC
【解析】
【分析】
先根据函数平移变换得到的解析式，再代入检验对称轴和对称中心，验证AB选项，整体法求解函数递增区间，判断C选项，化简得到，为偶函数.
【详解】
由题意得：，
将代入得：
故A错误；
将代入得：，B错误；
令，解得：，
故）的单调递增区间不是，C错误；
，为偶函数，D选项正确.
故选：ABC
10．ACD
【解析】
【分析】
根据正态曲线的性质，再结合正态分布的密度曲线定义，由此逐一分析四个选项从而得出答案.
【详解】
随机变量服从正态分布，正态曲线关于直线对称，在上是增函数，选项C正确；
，根据正态曲线的对称性可得，选项A正确；
，选项B错误；
，选项D正确.
故选：ACD.
11．AD
【解析】
【分析】
利用赋值法判断A、B、C，对二项式及展开式两边对求导，再令，即可判断D.
【详解】
因为，
令，则，故A正确；
令，则，所以，故B错误；
令，则，
所以，，，
所以，故C错误；
对两边对取导得
，再令得，故D正确；
故选：AD
12．AD
【解析】
【分析】
选项A：由线面垂直的判定定理，以及线面垂直的性质定理得出；
选项B：平移法找出异面直线所成角，构造三角形，求解三角形可得；
选项C：找出线面垂直，作出线面角，再求解三角形可得；
选项D：运用线面平行的判定定理，以及线面平行的性质定理可得.
【详解】
对于A：由圆柱的性质得：面，面，
又是下底面圆的直径
又，面，面
面，又面 ，又
又，面，面
面，又面，A正确；
对于B：过点作交于点，如图

则就是直线与直线所成角（或补角）
设，则
在中，
，
在等腰中，，又
在中，，，

即：
在中，，，

在中，，
，B错误；
对于C：取的中点，连接，如图所示

则：，面，又面
又，面，面
面
就是直线与平面所成角
又
，C错误；
对于D：在中，，，
，又面，面
面
又平面平面，面
，D正确.
故选：AD.
13．##0.5
【解析】
【分析】
根据给定条件，结合垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律计算作答.
【详解】
是两个单位向量，，且，则，解得，
所以.
故答案为：
14．或
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，根据抛物线的定义和相似三角形列出比例式，再利用直角三角形的边角关系求出直线的倾斜角.
【详解】
如图所示，

由抛物线的焦点为，准线方程为，
分别过A，B作准线的垂线，垂足为，，直线l交准线于，如图所示：
则，，，
所以，，
所以，即直线l的倾斜角等于，
同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为.
故答案为：或
15．78
【解析】
【分析】
根据题意可知，y＝f(x)的值域应该是y＝值域的子集，据此即可求解m﹒
【详解】
时，，
时，，
∵，，
由题意可知，，
∴，，∴，∴﹒
故答案为：78．
16．         
【解析】
【分析】
注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.
【详解】
过点C作，垂足为E，
为等腰梯形，
，
由余弦定理得，即


易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，
此时，平面
易知，


记O为外接球球心，半径为R
平面，
O到平面的距离
又的外接圆半径


故答案为：，

17．(1)；
(2)不成立，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，由两角和的余弦公式将展开可求出的值，由正弦定理化边为角，，代入面积公式即可求解；
（2）假设，利用余弦定理可求出，结合基本不等式判断即可.
(1)
由，得，
因为，即．
又因为，所以．
在中，由正弦定理，
所以，．
所以
.
(2)
假设，
由余弦定理，，即，
所以，因为，所以，
解得：或－2（舍），此时．
不满足，所以假设不成立.
18．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，即可得到是首项为，公差为1的等差数列，
若选①将条件转化为，求出，即可求出通项公式；
若选②将条件转化为，求出，即可求出通项公式；
若选③将条件转化为，求出，即可求出通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可得证．
(1)
解：因为，所以，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，其公差．
若选①，由，得，即，
所以，解得，
所以，即数列的通项公式为；
若选②，由，，成等比数列，得，
则，所以，
所以；
若选③，因为，
所以，所以，
所以；
(2)
解：由题可知，
所以①，
所以②，
两式相减得，

所以．
所以，又，
所以是递增数列，，故.
19．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据线面垂直的性质可证得，理由勾股定理证得，再根据线面垂直的判定定理可证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）过B作于H，连接，易证，则，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.
(1)
证明：因为平面平面，所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以；
(2)
解：过B作于H，连接，
因为平面，，
所以平面，
又因平面，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以，则，
因为，所以.
以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，
同理可得平面的一个法向量为，
则，
由图可知，二面角为钝角，
故二面角的余弦值为.

20．(1)列联表见解析，没有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）从这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，可以推算出200人中喜欢冰雪运动的总人数，
进而可以完成表格；
（2）按照分层抽样的原理算出8人中男生和女生的人数，进而确定X的可能取值，按照组合的方法即可算出分布列.
(1)
由题可知，从200名学生中抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，
故喜欢冰雪运动的有人，
不喜欢冰雪运动的有人，即，，，，
列联表如下：

喜欢
不喜欢
合计
男生
100
20
120
女生
60
20
80
合计
160
40
200

，
故没有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关；
(2)
按分层抽样，设抽取女生名，男生名，，解得，，
即抽取的8人中喜欢冰雪运动的女生有3人，男生有5人，
故，1，2，3，
，，
，，
的分布列如下：

0
1
2
3






；
故答案为：列联表见解析，没有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关；
分布列见解析， .
21．(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）讨论的值，由导数得出其单调性，结合得出的值；
（2）选①当时，，构造函数，利用导数证明得出；选②当时，，构造函数，利用导数证明得出；
(1)
由，得，又，
当时，有恒成立，所以在R上单调递减，又由，则不成立，
当时，令，得，
则时，有，时，有
即在单调递减，在单调递增
所以是的极小值，
又因为，且，故，即，经验证成立．
(2)
选择①作答：
当，时，，
设，
当时，，，又由（1）知，故，
当时，，
设，则，，
则在单调递增，，
所以，则在单调递增，，
综上，，即当时，．
选择②作答：
当，时，，
设，
当时，，，，故，
当时，，
设，则，，
则在单调递增，，所以，
则在单调递增，，
综上，，即当时，．
【点睛】
关键点睛：在证明不等式时，关键是构造函数，利用导数得出其单调性，进而由最值证明不等式.
22．(1)；
(2)定点，
【解析】
【分析】
（1）设，则，根据已知条件可得出 再代入中即可求解；
（2）点的轨迹为椭圆，设直线：与椭圆方程联立求出、，设出直线的方程，令结合根与系数的关系计算为定值即可得定点的坐标，设，再由的范围得出的范围即可求解.
(1)
设，则，，，
由可得，所以，
因为点在圆上，所以，
所以，所以，即点的轨迹方程为.
(2)
若，则点的轨迹为椭圆，设直线：
代入椭圆方程整理得：，
，
设，则，则，，
直线的方程为：，
令得

所以在轴上存在定点，使、、三点共线，
，令，
因为，，
所以，
又因为，
所以，所以，即，
解得：，
即与面积之比的取值范围为.
【点睛】
解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．