专题10以椭圆为情景的探索性问题——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

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椭圆必会十大基本题型讲与练10   以椭圆为情景的探索性问题典例分析   角度一、以探索多边形形状为情景的问题1、已知椭圆C：()，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边行？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．2.已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率.（1）求该椭圆的方程；（2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有；（3）在（2）的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论.角度二、以探索定点存在性为情景的问题1、如图，椭圆：的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．角度三、以探索直线与圆锥曲线位置关系为情景的问题1、椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，且满足向量.（1）若，求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上异于顶点的点，以线段为直径的圆经过，问是否存在过的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.2、已知抛物线与过点的直线交于两点.（1）若，求直线的方程；（2）若，轴，垂足为，探究：以为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.角度四、以探索定值存在性为情景的问题1、已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。角度五、以探索最值存在性为情景的问题1、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心、过椭圆左顶点M的圆与直线3x－4y＋12＝0相切于点N，且满足＝.(1)求椭圆C的标准方程．(2)过椭圆C右焦点F2的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，问：△F1AB内切圆的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由．角度六、以探索直线存在性为情景的问题1、如图，已知、，、分别为的外心，重心，.（1）求点的轨迹的方程；（2）是否存在过的直线交曲线于，两点且满足，若存在求出的方程，若不存在请说明理由.2、设经过点的直线与抛物线相交于、两点，经过点的直线与抛物线相切于点.（1）当时，求的取值范围；（2）问是否存在直线，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.方法点拨1、探索性问题：此类问题一般分为探究条件、探究结论两种。若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论。2.圆锥曲线中存在性问题的求解方法：(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．(3)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(4)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(5)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.巩固练习  1、如图，在平面直角坐标系中，己知是椭圆的右焦点，是椭圆上位于轴上方的任意一点，过作垂直于的直线交其右准线于点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求证：直线与椭圆相切；（3）在椭圆上是否存在点，使四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由.2、已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于、两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，试问直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．3、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程．(2)是否存在过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足·＝2(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．4、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线x＋y－1＝0被圆x2＋y2＝b2截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程．(2)过点(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在定点P，使得 ·为定值？若存在，求出点P的坐标和·的值；若不存在，请说明理由．5、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为.(1)求椭圆C的方程．(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问：kMN·kOP(O为坐标原点)是否为定值？请说明理由．6．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．(1)求椭圆E的方程．(2)是否存在直线l，使得△OPQ的面积为？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．7.在平角坐标系中，椭圆的离心率，且过点，椭圆的长轴的两端点为，，点为椭圆上异于，的动点，定直线与直线，分别交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在定点经过以为直径的圆，若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由．8. 已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．9、已知椭圆C：()，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边行？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．10．如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，过点的动直线与椭圆相交于两点，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．11、在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O： 相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由．12、一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．13、已知椭圆：的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点.问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.14．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.15．已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由