专题03椭圆的离心率——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

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椭圆必会十大基本题型讲与练
03 椭圆的离心率
典例分析
类型一、利用定义法求离心率
1．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于、两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】看问题：求椭圆的离心率（属于求值问题）
想方法：求值问题考查方程思想的应用，找等量关系，因为，所以建立关于 或的方程，利用整体思想求离心率，或者是求出c的值和a的值，再求离心率。
看条件：直线经过椭圆的左焦点，由此可得，即
直线交轴于点，由此得点，
，根据向量相等坐标相同可得，
直线交椭圆于、两点，由此知点A在椭圆上，根据椭圆定义可求出a的值
定措施：利用定义法求该椭圆的离心率.
【详解】由题意可知，点在直线上，即，可得，直线交轴于点，设点，，，由可得，解得，
椭圆的右焦点为，则，
又，，
因此，该椭圆的离心率为.
2、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.
由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.
3、如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设圆柱的底面直径为d，则椭圆的短轴长为d，椭圆的长轴长2a＝＝d，
所以a＝d.根据c＝得，c＝＝d，则椭圆的离心率e＝.故选A.
4．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由直角三角形可把用表示，再由椭圆定义得关系，然后由离心率定义计算．
【详解】设|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝，|PF2|＝，
则椭圆的离心率e＝＝＝＝.故选：B．
类型二、利用齐次式法求离心率的最值或取值范围.
1．设、为椭圆上关于原点的两个对称点，右焦点为，若，，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】看问题：求椭圆的离心率的取值范围（属于范围问题）
想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想
看条件：，由此可得不等关系，
定措施：先求出圆与椭圆的交点，进而表示出，再根据建立关于离心率的不等式，由此解出离心率的取值范围。
【详解】关于原点对称，故，若，则椭圆与圆没有交点，
，即，设，不妨设，
则，整理可得，解得，，解得，，即，，解得.
综上所述，可得.故选：A
2．如图，椭圆的左焦点为F，点P在y轴上，线段交椭圆于点Q．若，，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由可得点的横坐标为，再由可求出得点的纵坐标的绝对值为，然后将点的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率
【详解】由题意得，设，因为，所以，得，因为，所以，所以，因为在椭圆上，所以，
化简得，，因为，所以，
，得，解得或（舍去）故选：D
3．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C．
【解析】设P(x0，y0)，则＋＝1，则线段PF1的中点M，∵线段PF1的中垂线恰好过焦点F2，∴kPF1·kF2M＝·＝－1，化为＝－1，∴b2＋(x0＋c)(x0－3c)＝0，化为c2x－2a2cx0＋b2a2－3a2c2＝0，解得x0＝，∵－a≤x0≤a，∴x0＝，∴－a≤≤a.
∴c≤a≤3c，∴≤≤1.又0