专题01求椭圆标准方程——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

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椭圆必会十大基本题型讲与练求椭圆的标准方程典例分析   类型一、待定系数法第一步，做判断，根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能，（这时需要分类讨论）。第二步，设方程，根据上述判断，设方程为或。第三步，找关系，根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组（注意椭圆中固有的等式关系，第四步，得方程，由上一步所得方程组求得出a,b,c，将解代入所设方程，即得所求。1．已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】看问题：求椭圆的方程（属于轨迹方程问题）想方法：求轨迹方程基本方法：（1）待定系数法：已知曲线类型用此法； （2）定义法；（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。看条件：是椭圆上的一点，想定义想坐标，椭圆的长轴长是焦距的倍，则，注意定措施：用待定系数法，即利用条件建立方程组去求a,b,c.，从而可得得椭圆方程．【详解】由题意，解得，所以椭圆方程为．2.  椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为( )A.  B.  C.  D.  【答案】A【解析】由椭圆的定义知,则的周长为,所以,所以椭圆的方程为.不妨设点在第一象限,则由,均是线段的三等分点, 得是线段的中点,又,所以点的横坐标为,由,得, 所以,所以,.把点的坐标代入椭圆方程得,即,化简得,又, 所以,解得,所以,所以椭圆的标准方程为.3．已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得的坐标，利用点差法建立的关系式，由此求得，进而求得椭圆方程.【详解】直线过点，令则，所以，即.设，则，两式相减并化简得，所以，，所以椭圆的方程为.4．已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝，则椭圆C的方程为____________．【答案】＋＝1.．【解析】由题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，如图，连接BF2，由椭圆的对称性易得四边形AF1BF2为平行四边形，由∠AF1B＝120°，得∠F2AF1＝60°，又AF2⊥F1F2，设|AF2|＝|BF1|＝m(m＞0)，则|F1F2|＝m，|AF1|＝2m，又S△F1AB＝·|BF1|·|F1F2|＝×m×m＝，解得m＝，又由2c＝|F1F2|＝m＝2,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m＝2，解得c＝1，a＝，b＝＝，则椭圆C的方程为＋＝1.故选C.类型二、巧设方程法1．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1【答案】A【解析】由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为＋＝1.2．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（    ）A． B．或C． D．以上都不对【答案】A【分析】设经过两点和点的椭圆标准方程为，利用待定系数法能求出椭圆方程．【详解】设经过两点和点的椭圆标准方程为，代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为．类型三、定义法1．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是(　　)A.＋＝1(x≠0)   B.＋＝1(x≠0)C.＋＝1(x≠0)   D.＋＝1(x≠0)【答案】B【分析】看问题：求顶点A的轨迹方程（属于轨迹方程问题）想方法：求轨迹方程基本方法：（1）待定系数法：已知曲线类型用此法； （2）定义法；（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。看条件：△ABC的周长为20，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，则|BC|＝8，定措施：由已知得|AB|＋|AC|＝12＞8，符合椭圆的定义，故用定义法，．【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是＋＝1(x≠0)．2．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等式表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.【详解】因动点满足关系式，则该等式表示点到两个定点的距离的和为8，而，即动点M的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，于是短半轴长b有，所以动点M的轨迹方程为.3．若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________．【答案】【分析】根据题意可得，由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，去除不符合题意的点，进而可得点的轨迹方程.【详解】因为的两个顶点，，所以，因为三角形周长为，即，所以，由椭圆的定义：动点到定点，两点的距离之和等于定值，且距离之和大于两定点间的距离，所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，所以，，，可得椭圆的方程为：，又因为三点不共线，所以点不能在轴上，所以顶点的轨迹方程是：，方法点拨1．求椭圆标准方程的2种常用方法（1）定义法：根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程（2）待定系数法（先定位，在定量）：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，(2)如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为(A＞0，B＞0，A≠B)．(3)与椭圆＋＝1共焦点的椭圆可设为＋＝1(k＞－m，k＞－n且m≠n)．(4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有相同离心率的椭圆，可设为＋＝k1(k1＞0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2＞0，焦点在y轴上)．巩固练习   夯实基础1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为(　　)A.＋＝1   B.＋y2＝1C.＋＝1   D.＋＝1【答案】A【解析】由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.2．过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（  ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题设条件设出椭圆方程，再列出关于a2与b2的方程组即可作答.【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，又点(，－)在所求椭圆上，即，联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，所以所求椭圆的标准方程为.3、如果椭圆的一个焦点坐标为,过此焦点且垂直于轴的弦的长等于,则这个椭圆的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设椭圆的标准方程为. 把代入,得,即. ∵过焦点且垂直于轴的弦长为, ∴,由,可得∴所求椭圆的标准方程为.4．已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q，则此椭圆的标准方程为(　　)A.＋x2＝1   B.＋y2＝1C.＋y2＝1或＋x2＝1  D．以上都不对【答案】A【解析】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则解得∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.5．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题中所给结论得，由的周长为16结合椭圆定义得，进而可得结果.【详解】依题意得，则，由的周长为16结合椭圆定义可得，所以，，又椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为.6．过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，可得右焦点的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，求出的中点的坐标，由直线的斜率可得，的关系，再由椭圆中，，的关系求出，的值，进而可得椭圆的方程．【详解】解：直线中，令，可得，所以右焦点，，设，，，，则，的中点，联立，整理得，所以，，所以，所以，又，，所以，，所以椭圆的方程为，7．阿基米德（公元前年-公元前年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．【详解】由题意可得：，解得，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．8．（多选题）已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】分别分析A，B为椭圆E的两个顶点的位置，从而求得参数a，b，写出标准方程.【详解】∵∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时，解得，椭圆方程为，故D正确；②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时，解得，椭圆方程为，故A正确；③A为上顶点时，B为左顶点时，此时，解得，椭圆方程为，故C正确；9．（多选题）椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，其中长轴长等于10，则椭圆的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，且长轴长等于10，结合椭圆的性质列方程求出，讨论焦点位置后可得标准方程.【详解】设椭圆的焦距，短轴长和长轴长分别为2c，2b，2a．由条件得：解得：．若焦点在横轴上椭圆的标准方程为：，若焦点在纵轴上椭圆的标准方程为：．10．（多选题）点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，则需，，即，，则，所以选项ACD满足.11.如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B，若椭圆的焦距为2，且＝2，则椭圆的方程为_______．【答案】＋＝1.．【解析】由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由＝2，得解得x＝，y＝－.代入＋＝1，得＋＝1.即＋＝1，解得a2＝3.所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆方程为＋＝1.12．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________.【答案】＋＝1【分析】根据题意求得a=3，两焦点恰好将长轴三等分，求得c=1，从而写出椭圆方程.【详解】椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝·2a＝2，得c＝1，∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为＋＝1.13．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F（0，3），直线4x+3y﹣13＝0与其相交于MN两点，MN中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是_______．【答案】【分析】先设出椭圆的方程，然后利用平方差法，及的中点的横坐标为1，即得，，然后求解椭圆标准方程．【详解】设椭圆方程为，依题意，设，，，，可得；，两式作差化简可得：，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为1，则，则，，且，解得，，椭圆的标准方程是：．故答案为：14．已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．则椭圆的方程为_______．【答案】（1）；（2）.【分析】把，代入椭圆方程可得①，又②，③，联立方程组，解得，，即可得出答案．【详解】把，代入椭圆，解得，所以过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，所以，①，由②，，③，由①②③解得或（舍），所以，所以椭圆．15.根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)两顶点坐标为,且经过点; (2)焦距是,离心率是,焦点在轴上.(3)椭圆上的所有点中,到焦点的距离最小为,最大为,【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】(1)当焦点在轴上时,可知.设椭圆的标准方程为,因为椭圆经过点,所以,得,此时椭圆的标准方程为. 当焦点在轴上时,可知.设椭圆的标准方程为,因为椭圆经过点,所以,得,不满足题意舍去.综上所述,所求椭圆的标准方程为.（2）设椭圆方程为,由己知,得,即.因为,所以,因此.故所求椭圆方程为.（3）由条件可得,解得,所以. 故当焦点在轴上时,椭圆的标准方程为; 当焦点在轴上时,椭圆的标准方程为.16．求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）两个焦点的坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.（2）焦点在坐标轴上，且经过和两点.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意，，，再由，即可求出、，从而得解；（2）设椭圆方程为，将点的坐标代入方程，即可得到方程组，解得即可；【详解】（1）由题意椭圆焦点在轴，且，，又，∴，，∴椭圆方程为.（2）设椭圆方程为，则点，代入可得，∴，，∴.17．（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（－2，0），（2，0），并且经过点，求它的标准方程；（2）若椭圆经过两点（2，0）和（0，1），求椭圆的标准方程.【答案】（1）＋＝1；（2）＋y2＝1.【分析】（1）先由椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为＋＝1（a>b>0），用待定系数法求解；（2）椭圆的焦点位置未知，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n），用待定系数法求解.【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1（a>b>0）.由椭圆的定义知2a＝＝2，∴a＝.又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.（2）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n）.∵椭圆过（2，0）和（0，1）两点，∴∴综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.18.（1）如图,从椭圆()上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点.又点是椭圆与轴正半轴的交点,点是椭圆与轴正半轴的交点,且,,求椭圆的方程.（2）求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程.【答案】（1）；（2）.（1）由题意知,,,,①, 所以,, 因为,所以,即,即. 由知,②. 将②代入①,得,,, 所以椭圆的方程为.（2）把原椭圆方程化为标准形式得. 因为所求椭圆与原椭圆有相同焦点,所以可设椭圆方程   为. 又椭圆过点,所以,解得或. 当时,不合题意,所以舍去. 因此所求椭圆标准方程为.